文科高考数学一轮复习人教A版2.9函数模型及其应用教案

1、名校名 推荐第九节函数模型及其应用 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解指数函数、 对数函数、幂函数的增长特征， 结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用(对应学生用书第27 页 ) 基础知识填充 1常见的几种函数模型(1)一次函数模型： ykxb(k0)k(2)反比例函数模型： yxb(k，b 为常数且 k0)(3)二次函数模型： yax2 bxc(a，b，c 为常数， a0)(4)指数函数模型： yabxc(a，b，c 为常数， b0，b1，a0)(5)对数

2、函数模型： y mlogax n(m，n，a 为常数， a0，a1，m0)(6)幂函数模型： y axn b(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数yax(a 1)ylogax(a1)y xn(n0)性质在 (0， )上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表随 x 的增大逐渐表随 n 值变化而各现为与 y 轴平行现为与 x 轴平行有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxn axx3. 解函数应用问题的步骤 (四步八字 )(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为

3、数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；1名校名 推荐(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下： 知识拓展 “ 对勾 ” 函数a形如 f(x)xx(a0)的函数模型称为 “对勾 ” 函数模型 ：(1)该函数在 ( ，a 和a， )上单调递增，在 a， 0)和(0，a上单调递减(2)当 x0 时，x a时取最小值 2a，当 x 0 时， x a时取最大值 2a.基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打“”，错误的打“” )(1)函数 y 2x 的函数值比 y x2 的函数值大 ()(2)幂

4、函数增长比直线增长更快 ()(3)不存在x0，使 ax0 x0nloga 0)x .(4)f(x) x2，g(x) 2x， h(x) log2 ，当x(4，时，恒有h(x)f(x)x)g(x) () 答案 (1)(2) (3) (4)2已知某种动物繁殖量y(只 )与时间 x(年 )的关系为 y alog3(x 1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ()a100 只b200 只c300 只d400 只b 由题意知 100 alog3(21)，a100， y 100log3(x1)，当 x 8 时，y100log3 9 200.3(教材改编 )在某种新型材料的研制中，

5、试验人员获得了下列一组试验数据现2名校名 推荐准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61ay2xbylog2x12cy2(x 1)dy2.61cos xb 由表格知当 x 3 时，y 1.59，而 a 中 y23 8，不合要求，b 中 ylog231 2 (1,2)，c 中 y2(3 1)4，不合要求， d 中 y2.61cos 3 0，不合要求，故选 b4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为()

6、b 由题意 h20 5t,0t 4.结合图象知应选 b5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_. 【导学号： 79170054】设年平均增长率为x，则 (1x)2 (1p) (1q)， x1 p 1 q 1 1 p 1q 1.(对应学生用书第28 页 )用函数图象刻画变化过程(1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是： 前 3 年年产量的增长速度越来越快，后3 年年产量保持不变，则该厂6 年来这种产品的总产量 c 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是()abcd3名校名 推荐(2)已知正方形 abcd 的边长为 4，动点 p

7、 从 b 点开始沿折线 bcda 向 a 点运动设点 p 运动的路程为 x，abp 的面积为 s，则函数 sf(x)的图象是 ()abcd(1)a(2)d(1) 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有a、c 图象符合要求， 而后 3 年年产量保持不变， 产品的总产量应呈直线上升，故选 a(2)依题意知当 0x4 时， f(x) 2x；当 4x8 时， f(x)8；当 80)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为 ()d y 为 “小

8、王从出发到返回原地所经过的路程 ”而不是位移， 故排除 a，c又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 b，故选 d4名校名 推荐应用所给函数模型解决实际问题某企业生产 a，b 两种产品，根据市场调查与预测，a 产品的利润与投资成正比，其关系如图2-9-1； b 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2-9-1.(注：利润和投资单位：万元)图 2-9-1(1)分别将 a， b 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18 万元资金，并将全部投入a， b 两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长， 怎样分配这 18 万元投资，才能使该

9、企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【导学号： 79170055】解 (1)f(x) 0.25x(x0)，g(x) 2 x(x0).3 分(2)由 (1)得 f(9)2.25， g(9)296，所以总利润 y8.25 万元 .5 分设 b 产品投入 x 万元，a 产品投入 (18x)万元，该企业可获总利润为y 万元1则 y4(18x)2x， 0 x 18.7 分令 x t，t0,32，121217则 y4( t 8t18) 4(t4)2 .所以当 t 4 时， ymax178.5，9 分2此时 x16,18 x 2.所以当 a，b 两种产品分别投入2 万元、16 万元时，可使该企业获得最

10、大利润，约为 8.5 万元 .12 分规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数5名校名 推荐(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示： 解决实际问题时要注意自变量的取值范围 变式训练 2 (2018 德州模拟 )某实验员在培养皿中滴入了含有 10 个某种真菌的实验液，约 1 小时后培养真菌数目繁殖为原来的 2 倍经测量知该真菌的繁殖t规律为 y 10e ，其中 为常数， t 表示时间 (单位：小时 )，y 表示真菌个数 经过 8 小时培养，真菌能达到的个数为()a640b1 280c2 560d5

11、 120c 原来的细菌数为 10，t由题意可得，在函数y 10e 中，当 t1 时， y 20，tt20 10e ，即 e 2， y10e 102.若 t8，则可得此时的细菌数为 y10282 560，故选 c 构建函数模型解决实际问题(1)(2016 四川高考 )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 (参考数据： lg 1.12 0.05，lg 1.30.11，lg 2 0.30)()a2018 年b2019 年c2020 年d2

12、021 年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为3 km(不超过 3 km按起步价收费 )；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米2.85 元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1 元现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了 _km.(1)b (2)9 (1) 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过200 万nn20lg 2 lg 1.3元由 130(112%) 200，得 1.12 13，两边取常用对数，得nlg 1.12 0.30 0.1119，n4，从 2019 年开

13、始，该公司投入的研发资金开始超0.5 5过 200 万元6名校名 推荐(2)设出租车行驶了x km，付费 y 元，由题意得9，0x3，y82.15 x3 1， 3 x 8，82.1552.85 x8 1，x8.当 x8 时， y 19.7522.6，因此由 82.1552.85(x8) 1 22.6，得 x9.规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法a(3)构建 f(x)x x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解易错警示： 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制 变式训练 3