数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

1、数值分析简明教程（第二版）课 后习题答案 0. 1算法 1、(p. Il, 题 1)用二分法求方程X3 X 1 0在1,2内的近似 根，要求误差不超过1O. 【解 由二分法的误差估计 式 *i b a1 X Xk?k 12kl 10 3,得到 2kl 1000 两端取自然对数得k 31nl1 8.96,因此取 k 9,即至少需 In 2 二分9次求解过程见下表。 k Qk bk Xk f(xQ符号 0 1 2 1.5 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :、(Pll， 题 2) 证明方程f (x) ex 10 x 2在区间0,1内有唯一 个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过 70寫

2、 2 【解】由于f (x) ex 10 x 2,则f (x)在区间0,1上连续，且 f(0) e 10 0 21 0, f (1) e1 10 1 2 e 8 0,即卩 f(0) f(1) 0, 由连续函数的介值定理知，f (x)在区间0,1上至少有一个零点. 又f (x) ex 10 0,即f (x)在区间0,1上是单调的，故f (x)在区间0,1内有 唯一实根 由二分法的误差估计式|x* xj齐十 j 10食得到2k 100. 两端取自然对数得k 仝“ 2 3. 3219 6. 6438,因此取k 7，即至少需二分 In 2 7次求解过程见下表。 k dk bk Xk f (Xk)符号 0

3、 0 1 0. 5 1 2 3 1 5 6 7 0. 2误差 1. （p. 12,题8）已知e=2. 71828-,试问其近似 值X12.7 , X22.71 , X2二2. 71 , X3葫各有几位有效 数 字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字: 因为I e Xil 0.01828 0.05 2 10 S所以洛2.7有两位有 效数字; 因为 | e X2 0. 00828 0.05 * 10 S所以X2 2. 71亦有两 位有效数字; 因为I e X3 | 0. 00028 0.0005 1 10 S 所以 X3 2.718有四 位有效数字; e Xi I 0. 05 2. 7 %

4、; Xi e X2 0. 05 r2 1. 85% ； X2 2. 71 e Xs 0. 0005 r3 0. 0184% o Xs 2. 718 评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字; （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2.(p. 12,题 9)设 X1 2.72 , X2 2.71828 , Xs 0 0718 均 为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对 误差邙艮）与相对误差邙艮）。 10.0053 【解】10.005, ri X。 2 72184 10 2 20.000005 6 0.000005 r2 1. 84 10 30.00005 4 3e , r

5、3 6. 96 10 评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位 3.（p. 12 ,题 10）已知 Xi 1.42， X2 0.0184， Xs 184 10 4 的绝对误差限均为0.5 !0=,问它们各有几位有效数 字？ 【解】由绝对误差限均为0.5 10 2知有效数字应从小数 点后两位算起，故Xi 1.42,有三位；X20.0184有 一位；而 Xs 184 10 40.0184, 也是有一位。 1. 1泰勒插值和拉格朗日插值 1、（p. 54,习题1）求作 f（X）sinX 在节点xoo的5次泰勒 插值多项式 P5（X）, 并计算 P53367） 和估计插值误差

6、，最 后将PS左 二右； 当f (x)左边一* 1 of (x) dx _11131 左二右; f (x)9 左边一 of (x) dx 右边 V6 16 ； 左工右; 故该插值求积公式具有一次代数精度 2. 2梯形公式和Simpson公式 1、(P95,习题9)设已给出-0 1 hsin4x的数据 表, X 0. 00 0. 25 0. 50 0. 75 1. 00 f(x) 1.000 1. 655 1. 551 1. 066 0. 721 00 34 52 66 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分 I of (x) dx 由勺 近似值。 【解】(1)用复化梯形法: 0,b1,n

7、5,h 1 n0.25 4n 1 -：f (Xk) k 0 2 f (Xk 1) 2f)2 f(Xk) f(b) k 1 T5 nr z /、f(050) f (0. 75) f (1.00) 旦 f(0. 00) 2 f (0. 25) 21.551521.06666)0. 72159 0. 125 1.00000 2 (1.65534 1. 28358 (2)用复化霍普生法： 0, b 1, n 2, h n i hhn 1 f(Xk) i f(b) -f (Xk) 4f (xk i) f (XkJ - f (a)k07 k 0 6k 2Q S2 S2 0 5f (0. 75) 2 f (

8、0. 50) f(1.00) f (0.00) 4 f(0.25) 61.30939 2、(p. 95,习题10)设用复化梯形法计算积分 弧，为使截断误差不超过e,问应当划分区间 【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生 法呢？ 【解】(1)用复化梯形法,a 0, b 1, f(x) f (x) f * * (x) J, 设需划分n等分，则其截断误差表达式为： 3 RtI 1 Tnl maxf，Y ) 3 依题意，要求 Rt ioS即 e 105212. 849, 可取 n 213o a 0, b 1, f (x) I Rs I 复化辛普生法, 截断误 f，(x) f HU(X)差表达式为:

9、I谊涎()亠 2880n2880( 依题 忌、， 要求 IRsI 10 2880n2 5 14詈宀可取r划分 8等分。 2. 3数值微分 1、(p. 96,习题 24)导出三点公式(51)、(52) 和(53)的余项表达式 (X。) 1 2h 3f (x ) 4f (xj f (X2) (51 ) (X1) 1 2h f (X2) (52) (X2) 1 f(X ) 4f(xJ 3f(X2) (53) 【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求 导公式得到的余项表达式为 R(Xk) f (Xk) p, (Xk) 由三点公式(51)、 场 K0X1X0X2X1,贝卩 (2 1) 2 3 (x R

10、(Xo) (Xk Xj) (n 1) ! j o j k (52)和(53)可知, (Xo Xi) (Xo x2) (21) ! ji R(xJ R(X2) f(21) (1) (2 1)! f(2J (2 1) ! 2 (X1 Xj)- j 0 2 (X2 Xj) j 0 j 2 f( 1) (X1 Xo) (X1X2) 3! 写 2)(X2 3! 叫h2 X。）血 xj 叫 h2 3 2 2、 （p. 96，习题25）设已给出匕）廿 的数据表， X 1. 0 1.1 1. 2 f(x) 0. 2500 4 0. 2268 0 .2066 试用三点公式计算r （l.o）, r（i.i）, f

11、（1.2）的值，并估计误 【解】已知 Xo 1 0,为 1. 1, x2 1 2, h Xi xo x2 Xi 0. i, 用三点 公式计算微商 f (1.0) 1 3f(l0) 2h 4f (1. 1) f (1.2)1 2 0. 3 0. 25004 0. 22680. 2066 1 0. 2470 f (1. 1) 1 1 f(1.0) 2hf (1.2) 1 2 o. r 0-2500 0. 20660. 2170 f (1.2) Lf(l.O) 4f (1. 1) (1.2) 1 ro 2500 4 0. 2268 3 0.2066 0. 1870 1 0. 1 (1 x) 3 f

12、(s) (1 x) x24 f(x) f (x) 0 f （x）f （x） 用余项表达式计算误差 “ R(1.0 ) ) 2 (o h 2 R(l. 1 f9)h2 ) 3! R(l.2 宀2* ) 3、 (p. 96 24 0. f 0. 0025 3(1 1.0)5 24 o. r 0. 00125 3! (1 1.0)5 24 o. r 0. 04967 1 n5 习题26）设 f (x) sin x 分别取步长 h o. i,o.oi,o.oob用中点公式（52）计算f，（o.8）的值，令中 间数据保留小数点后第6位。 【解】中心差商公式：截断误 2h7 0. 8 h 0.9,贝卩 0

13、. 783327 0. 644218 0. 695545 ； 2 0. 1 差：R(h)匸举h2。可见步长h越小，截断误差亦3! 越小。 (1) h 0. 1, xo 0. 8 h 07,X2 1 1 f (0. 8) sin(0. 9) sin(0. 7) 2h (2) h 0. 01,X00. 8 h 0. 79, X2 0. 8 h 0. 81，贝 卩 1 1 f(0. 8) si n(0. 81) sin (0. 79)0. 724287 0. 710353 0. 6967 2h2 0.01 (3) h 0. 001 Xo0. 8 h 0. 799, x2 0. 8 h 0. 801，

14、贝 卩 1 1 f(08) sin( 0. 801) sin(0. 799)0. 718052 0. 716659 0. 6965 2h2 0.01 而精确值r (o. 8) cos(0.8) 0.6967067,可见当 h 0.01 时得 到 的误差最小。在h 0.001时反而误差增大的原因是f(0.8 h)与f(0.8h)很接近，直接相减会造成有效 数字的严重 损失。因此，从舍入误差的角度看,步长不宜太 小。 3. 1 Euler 格式 1、( p. 124,题1)列出求解下列初值问题的欧 拉格 式 (l)y x2 y2(0 x 0.4)，y(0) 1，取 h 0.2 ； (2) y, 1

15、 (1 X 1. 2), y(0) 1，取 h 0.2 ； 【解】（1）y yn hy，n yn h（x： y： ） yn 0. 2 y；）； （2） yni y h （卑 K） y 0.2 （卑仏）o Xn Xn 2、（p. 124,题2）取h 0.2，用欧拉方法求解初值 问 题y，y xy_（0 X 0. 6） ,y （0） 1 o 【解】欧拉格式： zn 1 7n n yn h,yn J：n Tn50：（5F 5）；间后， 3、（ p. 124,题 3） 问题丫2犷（0 X 取h.l,用欧拉方法求解初值 4），（。并与精确解y 较计算结果 拉格式: yn 1hy，n yn 0.2 （亠

16、2y：）；化简后， o4y幷，计算结果见下表。 yni 0. 8yn 0. 2Xny；, 计算结果见下表。 n 0 1 2 3 Xn 0.0 0.2 P 0. 4 0. 6 Yn 1. 0 0. 8 0. 6144 0.4613 1、( p. 124,题7)用改进的欧拉方法求解上述 题2,并比较计算结果 【解】因为 y f (X, y) y xy2 (0 x0.6), h 0 2 , 且 y(0) B 则改进的欧拉公式： y y hf (Xn, y Jyn h ( yn Xny： )0. 8yn 0. 2Xny： 2 2 yc y hf (Xn, yP) (yP yj yn 12 计算结果见下

17、表。 n 0 1 2 3 Xn 0. 0 0.2 0.4 0.6 yp 1.0 0. 6730 0. 5147 0. 3941 yc 0. 76 0. 7092 0. 5564 0. 4319 Yn 0. 88 0. 6911 0. 5356 0.413 与原结果比较见下表 n 0 1 2 3 Xn 0. 0 0.2 0.4 0.6 Yn 1.0 0.8 0. 6144 0. 4613 yn (改进) 0. 88 0. 6911 0. 5356 0.413 3. 3龙格-库塔方法 1、(p. 124,题11)用四阶经典的龙格-库塔方法求 解初值问题y 8 3y,y(0) 2,试取步长h 0.2

18、计算y(0.4)的 近似值，要求小数点后保留4位数字。 【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式: yn 1 yn 6 (Ki 2 X2 X210)0.200 ； 由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零 的小数，要取3位有效数，则误差限为-“。 k Xi(k) X2k) XjkxJk 1) X2k)X2kl)i 0. 0005? 0 0 0 1 2/3 1/6 2/3 1/6 N 2 0. 611 1 0. 194 4 N 3 0. 601 9 0. 199 1 0. 0092 0. 0047 N 4 0. 600 3 0. 199 9 0. 0016 0. 0008 N 5 0. 600 0

19、0. 199 9 0. 0003 0. 0000 Y 代计算结果列于下表。 Xi xi0, 0. 600; x2 X25) 0. 200 ； 2、(p. 171,题7)取1.25,用松弛法求解下列 高斯-赛德尔迭代公式: (k 1) 1(k)2 1(k) X -X2 (2 x2 ) 33 3 k 1) 1 (k 1)1 1(k) 方程组，要求精度为 4xi 3x216 3xi 4x2 X3 20 X2 4x312 【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代: -X2k)4 k 1) 4 3T 1X3W 5 討卅 2 AA1 (2 11 引入松弛因子，得 Xi(k D (1 )X(k)(kl) 1 x（）

20、厂 X k 1) X2 (1 k)( ；X22 k 1) 丄 (k 1) 4 2 k 1) X3 (1 )X3k)笃 (kl) (k 1) (k i) 1 Jk) 15(k) (V V . V. U 4 16 k 1) X2 29x2k) 討 5 A4 1 A 9 25 to 将万程组 (1) 代入（2），并化简 计算结果见下表。 X? k Xi(k X2k) X3W X业)Xi* D X2W X2k D X3k)X3klJ i e 9 0 0 0 0 1 5 2. 5 3. 1 25 5 2. 5 3. 125 N 2 1. 40 625 2. 65 625 -2. 1 4844 N 3 2

21、. 15 820 3. 03 223 -2. 2 8882 N 4 1. 61 173 3. 15 872 -2. 1 9860 N 6 5 1 5 4 51 E 6 3 3 2 00 3 4 e 2 2 34 1 2 1 91 1 2 oo 71 N N 959 508 7800 7 1. 53 284 3. 30 793 -2. 1 7320 N 8 1. 51 561 3. 31 978 -2. 1 7001 N 9 1. 50 880 3. 32 615 -2. 1 6847 N 0 3. 32 951 -2. 1 6762 N 1 1. 50 245 3. 33 130 -2. 1

22、6717 N 2 1. 50 129 3. 33 225 -2. 1 6694 N 3 1. 50 069 3. 33 276 -2. 1 6672 N 4 1. 50 037 3. 33 306 -2. 1 6676 N 5 1. 50 016 3. 33 318 -2. 1 6670 N 6 1. 50 010 3. 33 325 w n 6 2 6 00 i N 7 3. 33 329 -2. 1 6668 0. 0000 5 0. 0000 4 0. 000 00 Y 迭代解：Xixi1,1.5001 , x2 X21,:，3.3333, x3xf 2. 1667 13 2. 1667

23、. 精确解：Xi I 1.5, X2 普 3. 3333, Xs 23 5. 1线性方程组迭代公式 1、（p.仃0,题2）试列出求解下列方程组的雅 可 比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代 过程的收敛性。 10 xi X3 5x17 X1 8x2 3x311 3x1 2x2 8x3 X423 疋 2x2 2x3 7x417 【解】（1）雅可比迭代公式: (k 1) 1(k) ) 7 X： X3 10 2 10 (k 1) 1(k) 3 (k) 11 X2 v V. 8 8 8 1) 3jk)1 Jk) 1k) X4 23 8 ， 4 8 8 (k 1) 1(k) (k) 2 10 31

24、X3k) 80 320 3 x： 8 1 (k Vc 7 23 8 1)17 7 224 320 题5) 64 2.(p. 17b 分别用雅可比迭代与高斯-赛 德尔迭代求解下列方程组： (1) X1 2x2i 3% X2 2 Xi 5X2”3: 5xi 2x2 Xs 2x- X2 5x311 【解】ri）雅可比迭代： 3 1，不收敛。 咼斯-赛德尔迭代: 4 I 2 、挎 V空2 不收敛。 (2)雅可比迭代： 3 X2k)2 娇 *3*)2， (k 1)2 (紆 1 債) 11 *55%25 高斯-赛德尔迭代: Xik 1)2x2k 1 ，G 6 1 丿 6x/k)5 G 8 1,不收敛。 (

25、k 1) 5x(k) q k) 0X3 2 X1 2 (k) 5 (k i) (k) Vc :i x3 2 2 2 (k 1) :(k i) (k i) 11 Vc V Vc 5 I)5x2k) 3xsk) 2 X1 或 X2k)iiX2kl8x3k:，3 G 8 1,不收敛。 3、(p. 171,题6)加工上述题5的方程组，比 如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收 敛性。 【解】加工后结果如下: Xi 2x2 5x1 2x2 X3 xi 5X2 3x3 2 11 2Xi x2 5X3 方程组(1)的雅可比迭代: (k 1 2 j J， 1 J迭代收敛。 k) 方程组(1)的高斯-赛德尔

26、迭代： 3xi !x2k,-J迭代收敛。 1 32 T Ggs X2k Xi: 63 方程纟 1的雅可比迭代： =X0 5*25 忑 5 汕沁，Gj i) (k X2 (k i) Xs( lx* 4 r迭代收 敛。 5 方程组(1)的高斯-赛德尔迭代: 11 XiD :(k) Mk)XZ ； 1(k) 辟7 Xs(k D Zx(k) 25 -Lx( 2 125 x() 25 265, 321 G GS 3 125 125 黑1,迭代收 敛。 25 6. 1高斯消元法 1、( p.198,题2)用选列主元高斯消元法求解 下列方程组： X1 X24 4. IX X X 5 2 1 1 1 4 5 4 3 12 1 5 4 1 5 4 3 12 rl 1 2 1 1 1 5