微积分的发展历史

1、 微积分的产生划时代的成就.1 微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马微分、积分思想的发源地原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一

2、.极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n，等式（常数）成立，且当n时，则有.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在圆的度量、论圆柱和球、抛物线求积、论螺线等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.芝诺的拟难.芝诺(Zero of

3、 Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.1.2 阿拉伯和欧洲中世纪无限和运动的研究在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.

4、但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从

5、东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程

6、的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作算术中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.1.3 古代中国面积、体积与极限思想的丰富简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，

7、约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.庄子和墨经中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的庄子天下篇中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.墨经也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；

8、莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时墨经也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.极限思想的运用割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到的较精确的值3

9、.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬授时历中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希

10、腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问

11、题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.2.1积分学概念和方法的产生在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：2.1.1 开普勒的同维无穷小方法开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打

12、破了传统的、权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表测量酒桶的新立体几何，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周

13、长乘半径之半. 图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积. 开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积

14、分学很富有启发性.2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法 “不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可分元法”.这一思想集中体现在他的用新方法促进的连续不可分量的几何学(1635)和六个几何问题中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每

15、一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1

16、,实际上已相当于今天的积分式 （n为自然数）使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有

17、不注意代数和算术的纯几何缺点.对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表关于无限抛物线中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明 二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近

18、代积分靠近了一步.2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.英国数学家沃里斯1656年发表无穷的算术，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无

19、限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：，但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.2.2微分学概念和法则的发展以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.2.2.1费马借助微小增量作切线费马在1637年发表了求最大值和最小值的方法，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：设

20、PT是曲线在P点的切线（如图5-5），TQ叫次切线，只要知其长，就可确定T点，再连接PT就可以了.为了确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E（即今之x），TQPPRT1费马认为，当E(=PR)很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有 图 5-5 用现在的符号，把QP写成，于是有即 这时，费马先用E除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ的数值（即今之）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.2.2.2笛卡儿“圆法”求曲线过点的切

21、线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P处的法线与x轴的焦点C的位置，然后作该法线的过点P的垂线，便可得到所求的切线.如图5-6，过C点作半径r=CP的圆，因CP是曲线在P点处的法线，那么点P应是该曲线与圆的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P点附近的另一点）.如果是多项式，有垂交点就相当于方程将以P点的横坐标x为重根.但具有重根的多项式的形式必须是，笛卡儿把上述方程有重根 的条件写成：， 图 5-6然后用比较系数法求得v与e的关系.带入，就得到用x表示的v，这样过点P的切线的斜率就是.以抛物线为例，方程有重根的条件为：令x的系数相等，得，即.代入，于是次法距，求出抛物线过点的切线斜率

22、是.笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.2.2.3费马求极值的方法用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保

23、持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：设是x（x就是费马的A）的某个多项式，现在讨论的极大值.如果在x点达到极大值，则对充分小的E0必有：和将此二不等式之左边展开则有：消去这两个不等式两边的共同项，再用E除则分别给出下面两个不等式：00当E充分小时，此二式左边的符号完全由确定.可见，当时，此二式不可能有同一的符号，因此必须=0，从此式解出x就是所求的极大值.同理可以求出极小值.费马的方法实际上就是，当计算有理整函数的极值时，先计算它的导数，再令，解之就是极值点.不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E时设为“充分小”，是为了同今天的思想相

24、一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.2.3微积分系统理论探索的前夜这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.2.3.1帕斯卡等的无穷小方

25、法布莱斯帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线为一边的曲边梯形的面积.他把无穷

26、小概念也应用于微分学，在他的四分之一圆的正弦论(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明可以用直线代替，并进一步作出切线.把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响.2.3.2沃里斯的算术化英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一

27、位牧师的儿子，受过良好的古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649年起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号表示无穷大，用表示无穷小或零量，并把它们和有限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作无穷算术(16

28、55)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为.”用今天的符号表示就是 （n是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系 （n为正整数），当n为分数时仍然成立.2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性英国的伊萨克巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把“卢卡斯教授”职位让给牛顿，

29、成了数学史上的佳话.他的主要著作是光学和几何讲义.巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的几何讲义第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：（1）如果，则（2）如果，则 （设x=0时y=0）巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求曲线的切线.微分三角形是指由自

30、变量增量和函数增量为直角边所构成的直角三角形.他第一个认识到对于决定切线有重大意义，于是将微分三角形和费马的方法结合起来，从而得到比费马更优越的方法.实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为可以用来决定导数.微积分的先驱们的工作，以费马和巴罗为标志而结束，由于历史的局限性，上述数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而未注意大量成果的优越性、创造性和普遍性能够提炼成新的统一的方法构成一门新的学科，也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、具有一般符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学.牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的，时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步.

31、3微积分的产生1670年以后，牛顿和莱布尼茨分别以创造性的工作，沿着前人和同代人所开辟的道路迈进了空前的一步.他们不理睬过去那一套论证方法而采用直观推断思维方式：不是根据严格证明来论证微积分的合理性，而是根据它内容完整、前后一致并且有多方面的应用，即作为一种容易驾驭的演算方法发展微积分理论，解决了建立概念、提炼出具有普遍意义的微积分方法、把概念和方法的几何形式改变为解析式等三个重大问题，从而分别完成了创建微积分这场接力赛的最后一棒.3.1牛顿的流数术微积分伊萨克牛顿(Isaac Newton,1642-1727)出生于英国林肯郡一个叫乌尔索浦的小村子里，父亲是一个农民，在牛顿未出生前就去世了，

32、牛顿是不足月的遗腹子.牛顿小时候智力一般，对读书无兴趣，但酷爱读书与制作玩具.17岁时被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父W.埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克斯的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习.1661年考入剑桥大学的三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃里斯等人的著作，22岁时获得了英国剑桥大学的学士学位.1665-1667年间，伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿回农村住了18个月，在这期间他发现了二项式定律，酝酿 图5-11 牛顿了微积分原理，提出了万有引力定律，也研究了光的分析.牛顿一生的最大成就都发轫于这期间，这时他才23岁.3.1

33、.1流数术的初建 牛顿对微积分的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时，牛顿首创了小记号表示x的无限小且最终趋于零的增量. 1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展.据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）.1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论(Tract on Fluxions)著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅.流数简论（以下简称简论）是历史上第一篇系统的微积分文献. 流数简论

34、反映了牛顿微积分的运动学背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语.牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下： （1）设有两个或更多个物体A,B,C,在同一时刻内描画线段x,y,z,.已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p,q,r,的关系. （2）已知表示线段x和运动速度p、q之比的关系方程式，求另一线段y.牛顿对多项式情形给出（1）的解法，对于问题（2），牛顿的解法实际上是问题（1）的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法.特别重要的是，简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”.牛顿在简论中是这样推导微积分基本定理的：

35、图 5-12如图5-12，设曲边形abc=y为已知曲线下的面积，作deabadbe=p=1.当垂线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积abde=x，变化率；cb扫出abc的面积为y，变化率.由此得/=，这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值，这就是微积分基本定理.当然，简论中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明.牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明.在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积.前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人特殊场合模糊地指出，但

36、牛顿却能以足够的明锐力与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础.正如牛顿本人在流数简论中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都迎刃而解.这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了两者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体.这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分.在流数简论的其余部分，牛顿将他建立的统一的算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性.3.1.2流数术的发展 流数简论标志着微积

37、分的诞生，但它在许多方面是不成熟的.牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬，但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力完善自己的微积分学说.这个时期，牛顿关于微分学的著作主要有三篇论文：运用无限多项方程的分析(De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas)，简称分析学，完成于1669年；流数法与无穷级数（Methodus Fluxionum er Serierun Infinitarum），简称流数法，完成于1671年；曲线求积术(Tractatus de Quadratura Curv

38、arum)，简称求积术，完成于1691年.这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释.第一篇论文分析学是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作，也是他创立微积分的标志.采用静态的无穷小量方法是牛顿此阶段研究方法的主要特征：把变量的无限小增量称做瞬，在运算中将式中各项除以无穷小量后再略去含有无穷小量的项，就得到了一个变量对于另一个变量的瞬时变化率.而且，他还证明了面积可以通过求变化率的逆过程得到，这就揭示了微积分的基本性质.例如，设一条曲线下面的面积为（m为有理数），记横坐标x的无限小增量即瞬为，面积增量即面积瞬为，则新面积为.等式右端用

39、二项式定理展开并在等式左端同除以之后再略去含有的项，就得到构成此面积的曲线 .反过来，若曲线为，则它下面的面积就是.此外，牛顿还给出了不定积分运算的一些性质等许多成果.牛顿给出求瞬时变化率的普遍方法和面积与求变化率的互逆性证明，迈出了建立微积分的决定性步骤.第二篇论文流数法在牛顿去世后的第9年才出版，表明他的研究工作进入了第二阶段.此阶段的主要特征是创立了“变量流动生成法”.引入了流数的概念和符号，他把随时间变化的量，也就是以时间为独立变量的一切函数称为“流量”，这是一种连续变量，用字母表中的最后几个字母v、x、y、z表示，流量的速度即变化率称为流量的“流数”.，表示变量x，y，z的一次流数（

40、导数），表示二次流数，表示三次流数，等等.此外，牛顿认为：“数学量”（即反映实际的数量，如通常问题中的x，y等等）和“外延量”(即、等等)都是由联系运动产生的；他承认量可以无限分割，或者可以无限地减小，以至达到消失，可以把它称为零量的程度，或者比任何指定的量都小.牛顿在流数法中，根据这两个思想和他的独特记号，主要解决如下三类问题：（1）“诸流动量彼此之间的关系给出，试确定它们的流数之比”，这相当于今天由已知求.例如，流数法中的问题是：“如果流量x和y之间的关系是，则可求得：=：.”牛顿的证法大致如下：设x、y的瞬分别为、，于是x、y分别变为x+、y+，代入原方程得用二项式定理展开后，把余下的项

41、除以就剩下至此牛顿说：“但我们已假定是无限微小，它可以代表流动量的瞬间，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项说来等于没有.因此我把它们丢掉，而剩下这里我们可以看到，没有乘以的诸项也和那些乘以一次以上的的项一样，总是等于零.而其余除以的诸项总是具有根据上述规则所应有的形式.”把上式换一个写法就是 ：这也就是今天的.（2）“今提出一个方程，其中包含一些量的流数，试求这些量或流量彼此之间的关系.”这是问题（1）的逆问题，相当于今天求不定积分.在这类问题中还包括今天之某些常微分方程的问题.处理这类问题比处理第一类问题困难得多，牛顿用到了无穷级数，并计算了如下三种类型的问题：式中有、以及x和y之一出现，就是

42、求不定积分：已知求y，并用了一些变量替换；牛顿还给出了一个简易的积分表.式中、x、y都出现，不如牛顿用逐步逼近法处理了方程有、以及它们的流量出现.例如牛顿解出了方程，这实际是解一个一阶偏微分方程.此外，牛顿也有关于这类问题之应用.例如“求曲线之长”.这时就要由流数来决定弧长t（如图5-13）.这里z=MN及y=NR，是曲线上动点R的横坐标及纵坐标，而上面关于的公式则由微分三角形推出，其边可分别看作z、y、t的瞬. 图 5-13（3）流数法的应用.牛顿的研究涉及极值的求法、曲线的切线求法以及曲线在给定点的曲率等问题.他虽然没有给出曲率的定义，但他已得出，对于圆而言，曲率在一切点都相同；对不同的圆

43、弧则曲率与直径成反比，且推导出求曲率半径的正确公式.由此可见，在一些基本思想上，流数术比之分析学有一定的发展，主要是已开始把数学量看成连续运动生成的，承认它可以无限分割以至于消失，改变了分析学的原子论思想；在普遍的意义上更清楚地陈述了微分同积分的互逆关系；改变了分析学把瞬看成静态无穷小的观点，承认瞬、可以随时间变化.但在基本的计算方法上，分析学和流数法都是以无限小量为微积分算法的论证基础.大约到17世纪80年代，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出，首末比方法最先以几何形式在自然哲学的数学原理一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文曲线求积术中给出

44、的.第三篇论文求积术是牛顿最成熟的微积分著述.牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬的做法，引进了初生量最初比和消失量最后比的概念而转向极限观点，他借助于物理学的末速度和几何解释来说明最后比，指出最初比与最后比是极限，两种比值相等.举例说明如下：求函数的流数，设x的增量为于是，两边同减去得的增量为从而得最初比:令时，得增量消失的最后比为1:.这个最后比正是x的流数与的流数之比，即x的增量与的增量的比率，最后比实际上应用了极限思想.牛顿关于最初比和最后比的方法是他第三篇论文研究特征的体现，这无疑是对第一阶段无穷小量方法的否定.在这里，他不仅引入了导数概念，而且明确地把

45、导数作为增量之比的极限.不过，他仍在无穷小与极限之间动摇不定，这种动摇，表明牛顿本人亦感觉到他的流数术微积分尚有不完善之处.牛顿创立的流数术微积分，不是出自逻辑的推导，他对数学概念的理解借助于物理直观，由于缺乏严格性而显得含混不清，不可避免地有历史的局限性.牛顿对发表自己的科学著作态度谨慎，上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇曲线求积术，1704年载于光学附录；分析学发表于1711年；而流数术则迟至1736年才正式发表，当时牛顿已去世.牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理(Philosophiae naturalis principia ma

46、thematica)，因此原理也成为数学史上的划时代著作.3.1.3原理与微积分 原理中并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的.其被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力. 原理中的微积分原理命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多数命题是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”.事实上，我们在前面已经看到，牛

47、顿发明微积分主要是依靠了高度的归纳算法能力，并没有多少综合几何的背景.他1664年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩不佳差点没有通过.而几乎是在同时，他开始研究微积分并在不到一年的时间里就做出了基本发现.牛顿后来才重新钻研了巴罗译注的几何原本，弥补了这方面的不足，其结果是原理中的力学综合体系.然而就数学而言，牛顿在原理中给微积分披上了几何的外衣，使他的流数术显得僵硬呆板.固守牛顿的几何形式，在18世纪阻碍了英国数学的发展. 牛顿的科学贡献是多方面的，在数学上，除了微积分，他的代数名著普遍算术，包含了方程论的许多重要成果，如虚数根必成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公

48、式等等；他的几何杰作三次曲线枚举，首创对三次曲线的整体分类研究，是解析几何发展新的一页；在数值分析领域，今天任何一本教程都不能不提到牛顿的名字：牛顿-格里高利公式、牛顿-拉弗森公式、牛顿-斯特林公式、；牛顿还是几何概率的最早研究者.3.2莱布尼茨的无穷小微积分在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉.莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡，父亲是莱比锡大学道德哲学教授.莱布尼茨自幼聪明、勤奋、谦虚，好学，是罕见的“神童”，18岁获哲学硕士学位.莱布尼茨一生的大部分时间都作为一个巡回外交官，他是在和许多数学家的接触中学习数学知识并开

49、始从事微积分研究的，其中对他影响最大的是荷兰数学家、物理学家、天文学家惠更斯.他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题.1667年莱布尼茨获得阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨帝侯服务，不久被派往巴黎任大使.莱布尼茨在巴黎居留了四年(1672-1676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与 图5-14 莱布尼茨牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础.莱布尼茨在微积分方面的贡献主要有：发现了微积分基本定理；给出了函数的和、差、积、商的微分法则，复合函数的微分法则，对数函数与

50、指数函数的微分法则，弧微分法则；发明了在积分号下对参变量求微分的方法，以及求切线、极大极小值、拐点的方法；导出了曲线绕x轴旋转所成旋转体体积公式；对曲率、密切圆和包络理论也作了研究.莱布尼茨一开始就把微积分基本定理作为微积分运算的出发点，由此开展对微积分的研究.他创微积分的工作主要是在1672-1695年.与牛顿流数术的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究.3.2.1特征三角形特征三角形也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现，帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形.受此启发，莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形，推广了帕斯卡的方法，得出对

51、任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中得到的启发. 图 5-15如图5-15，在给定曲线c上点P处作特征三角形，利用图示的两个三角形的相似性得到：这里n是曲线在p点的法线长.由上式可得：，求和得：.莱布尼茨当时还没有微积分的符号，他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果： “由一条直线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比.”实际上莱布尼茨在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（纵坐标之和在这里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和），莱布尼茨还看出了这两类问题的互逆关系.3.2.2莱布尼茨的数学笔记数学笔记（简称笔记）是莱布尼茨从1673年起，研究了格利高