535.城市用地形态特征的分形研究 【开题报告+毕业论文】

1、开 题 报 告 论文题目：城市用地形态特征的分形研究 【开题报告+毕业论文】 院 系：遥感信息工程学院 专 业：遥感科学与技术 姓 名： 学 号： 指导老师： 一、目的和意义 分形理论由美国科学家b.b.mandelbrot于本世纪70年代中期创立，在此理论的 基础上发展了一套非欧几何分形几何学。所谓分形(fractal)，原意为破碎和不 规则，用以指那些与整体以某种方式相似的部分构成的一类形体，其基本特征是自 相似性(self-similarity)。 分形理论从诞生起就与地理学结下了不解之缘。大量的地理学事象, 如: 山脉、 水系、河流、植被景观、湖泊、土壤以及城市形态、城市分布、人口分布

2、、交通道 路、市场网络等都具有自相似或自仿射性质的分布特征, 即地球表面存在着大量分 形，这都可以用分形理论进行研究。地理现象的分形模拟已成为地理分析的重要途 径。分形模拟技术将随机性作为模拟自然形体的技术基础，称此新技术为借助于迭 代函数系统的分形整体构造。这项技术被引入地理领域以后，迅速发展成为地理模 拟技术。人们用它模拟大陆轮廓、地貌形态、城市生长和土地利用等。只要找到适 当的分形模型和相应的数学变换，不需要很多的数据就能维妙维肖地模拟所要分析 的地理现象。 地理现象中存在大量分形，需要运用分形理论进行研究，而研究地理分形有赖 于gis的技术支持。由于分形是自然界的优化结构，分维能反映信

3、息熵的变化和地 理事物充填空间的能力，基于gis的地理分形研究将可揭示人类优化利用地理空间 的方式，具有很大的实践价值。此外，地理现象的分形研究为gis提出了新的技术 开发课题。gis的现有功能不能完全满足地理分形研究的需要，分形理论在gis中有 着极大的应用潜力，而发掘这种潜力应以地理分形研究为主题。 二、国内外发展状况及发展趋势 1、国外发展状况 分形理论诞生于本世纪70年代，mandelbrot探讨了城市位序规模分别的分 数维性质。80年代前期，m.batty受分形海岸线问题的启示，研究了英国cardiff城市 的边界线，计算了不同年份的分形维数（fractal dimension），藉

4、此揭示了cardiff市 演化过程中的许多地理信息。同年，s.l.arlinghaus研究了christaller的中心地体系， 发现中心地模型具有分形几何结构。 国外的城市地理分形研究主要以城市个体为对象，研究城市的形态、结构、生 长、交通和演化机制等问题。m.batty和p.a.longley借助分形几何学先后研究了英 国cardiff市的边界和形状，swindon市的土地利用形态，london市的住宅类型和雇 佣劳动密度分布，同时利用离散选择模型（discrete choice model）在计算机上模 拟了城市结构，得出了形似海绵状微细粒的分形城市轮廓。m.batty和 a.s.for

5、theringham借助受限扩散（diffusion-limited affregation，dla）模型和电介 质击穿模型（di-electric breakdown model，dbm）模拟了英国cardiff市和美国 taunton市的分形生长和空间扩展，开辟了城市分形模拟研究的新途径。dla和dbm 模型可以表现城市形态的发育，但不能反映城市的土地利用结构，r.white和 g.engelen等的城市土地利用图式的细胞自动机（cellular automata，ca）模拟更为 生动的揭示了城市化过程中城市空间结构的分形演化及其混沌动力学。城市演化的 ca模拟可以算是城市地理学模拟实验发

6、展的一个里程碑。 与batty等在英美的工作相呼应，p.frankhouser和r.sadler以德国为中心，对全 世界主要城市的空间结构进行了分形研究。 在城市体系方面，国外的分形研究目前比较薄弱，除了mandelbrot的城市规模 分布研究，d.wong、a.s.fotheringham和p.frankhouser等先后研究城市体系的位序 规模法则以及pareto分布和分维德关系。s.l.arlinghaus和w.c.arlinghaus在其 前期工作的基础上进一步探讨了lsch中心地体系的分形与分维。 城市交通和交通网络的分形研究是城市地理分形研究的重要分支，在这方面， s.thibau

7、lt和a.marchand做了比较全面的工作，他们对法国lyon市的公共交通、郊 区铁路乃至排水设备进行了系统的分维测算 。继此之后，l.benguigui和m.daoud 研究法国paris郊区铁路系统的分形，frankhouser计算了德国stuttgart郊区铁路网络 的分维。 2、国内发展状况 就在国外的分形城市研究进入低潮之际，中国的城市地理分形研究崛起。在城 市结构分形研究方面，我国学者李后强、艾南山根据对成都市网络科技结构的研究， 提出了正五边形城市市场网络分形模型。陈彦光等根据城市人口密度衰减的clark 模型和sherratt模型提出了城市人口空间分布的weibull模型和城

8、市人口密度衰减的 假幂式指数模型，导出了城市结构与功能的异速生长（allometric growth）方程和 cobb-douglas函数，建立了城市分形模型的理论基础。 城市体系是国内地理分形研究的突出领域。在理论基础方面，陈彦光、刘继生 等基于christaller的中心地理论提出了城市体系空间结构的koch雪花模型，进而将 其推广为区域城市随机分布的三角点阵模型。在实证分析方面，陈勇、陈嵘等研究 了中国城市规模分布的分形特征。刘继生、陈彦光等研究了东北地区城市体系空间 分布的分形结构以及长春地区城镇体系异速生长的分数维性质，探讨了河南省北部 地区城镇体系的空间结构的多分形特征和等级结构，

9、构造了中心城市吸引力模型。 陈彦光、王义民论述了旅游景观的分形结构特征, 解释了其美学实质。岳文泽等研 究了城市郊区土地利用的分形特征, 以分维数为依据分析了各种土地类型的分布形 态复杂性和稳定性。在方法探讨方面，刘继生、陈彦光先后提出或总结了一套城市 体系空间结构的等级结构的分形维数及其测算方法。此外，他们基于中心地假设, 证明人口的分布区位选择过程与城市的分形形态存在着内在联系,提出关于区域人 口运动和城市演化的三个基本原理: 信息熵原理、异速增长原理和逻辑发展原理。 在交通网络分形研究方面，陈彦光、刘继生根据城市体系分形理论的有关推论， 论证了区域交通网络的dbm特征和拉普拉斯分形性质。

10、陈彦光、罗静则对河南省 交通网络的分形结构进行了实证研究。与城市体系的研究方法对应，刘继生、陈彦 光发展了有关交通网络的三种分形维数及其测算方法。 3、未来发展趋势 尽管分形理论在地理学中得到了较为广泛的应用, 但在地理学中的应用还处于 地理现象的揭示和描述阶段, 从分形理论在地理学中的应用的内容上, 较多地应用 于地貌学、城市地理学、地图学等，而其他大多数地理学的分支则应用较少。 对于许多地理现象来说, 其分维数表示的意义还不够明确, 而且究竟那些地理 现象和过程具有分形性质, 那些不具有分形性质, 还不能做出满意的回答。目前的 研究发现了一些地理事象发生的时间序列具有分形特征, 但无法解释

11、其发生的内在 机制。另外, 如何从分形维数的变化中找出其共同的规律性及其演变机制等方面还 有待于做深入的工作。 三、研究内容和技术路线 主要研究内容： 1. 学习理解分形基本理论，了解国内外学者关于分析理论在城市研究中研究 状况，理解城市用地类型、外部形态的分形特征。 2. 分析分形维数的算法，应用 vc+、arcgis、erdas 等相关软件，实现城市 用地类型分形维数计算算法。 技术路线如下： 确定完成任务目的和标准 确定算法 模型框架和界面设计 用 vc 实现算法 算法功能完善 测试 结果评价 不满意 数据准备 四、研究的主要阶段和进度 第一阶段（1-2 周）：搜集并阅读相关资料。 第二

12、阶段（3-10 周）：论文实验研究。 第三阶段（11-14 周）：实验结果的整理和论文的撰写。 第四阶段（15-16 周）：准备答辩。 五、查阅的主要文献资料 1 曾文曲.王向阳.分形理论与分形的计算机模拟.北京：东北大学出版社， 2001 2 叶俊.陈秉钊.分形理论在城市研究中的应用.城市规划汇刊, 2001(4) 3 况颐.陈彦光.dla 和 dbm 模型与城市生长的分形模拟.信阳师范学院学报, 2001(7) 4 李江.武汉市外部空间形态分形特征演变规律研究.长江流域资源与环境, 2004(5) 5 batty m,longleypa: fractal-based description

13、 of urban form j .environment and planning b : planning and design,1987,14. 6 batty m,longleypa,fotheringhamas. urban growth and or from : scaling- fractal geometry and diffusion-limited aggregation j. environment and p lanning a,1989,21 目录目录 摘要 第一章 引言.1 1.1 分形理论及其特点.1 1.2 分形理论应用于城市研究中的发展状况.1 1.3 分形

14、理论与 gis 结合应用于城市研究的目的、意义.3 1.4 本文研究的主要内容及组织结构.4 第二章 分形理论的基本原理与方法.5 2.1 分形的基本概念.5 2.2 分维的定义.5 第三章 分形理论应用于城市研究的方法.8 3.1 城市和城市体系的空间分形.8 3.2 城市外部形态演变的分形维数算法.11 第四章 实验与结果分析.14 4.1 实验区简介.14 4.2 实验数据的准备.14 4.3 分形维数的测算与分析.21 4.4 城市形态发展的驱动力分析.23 4.5 城市形态发展变化过程中存在的问题及建议.25 第五章 结论与展望.27 5.1 结论.27 5.2 进一步研究计划.27

15、 参考文献.29 致谢.30 附录.31 摘要 城市形态是城市实体的地域空间投影。随着城市化进程的不断加快，城市形态 也正在发生着急剧的变化。长期以来，人们对城市的研究大都从城市的功能、城市 的经济区划和行政区域入手，对城市的自然结构和形态研究不多，而且主要是基本 定性分析。本文以分形理论为指导，在遥感和地理信息技术的支持下，定量研究了 无规则、具有自相似性的城市外部空间形态。以武汉市为例分析了城市用地结构和 外部形态分形特征，并通过比较分析了城市用地结构和外部形态的发展及其因素， 揭示城市形态的复杂性和均衡性。 关键字：城市用地类型 分形特征 城市形态 外部空间形态 abstract urb

16、an morphology is the zone spatial projection of urban object.as city course accelerating continually, urban morphology is changing shapely. for these years,the research of city mostly start with urban function，urban economic regionalization and urban district,but few research urban natural structure

17、 and morphology,and mainly are rudimental qualitative analysis.an urban outer spatial form characteristic, which is no-rule and has self-similarity, is researched by means of fractal theory based on rs and gis. taking wuhan city for example ,urban land structure and urban outer spatial form characte

18、ristic are analyzed,and via comparison analysis the development and its factor of urban land structure and urban outer spatial form to open out urban morphology complexity and equilibrium. key words:urban land type；fractal characteristic；urban morphology；outer spatial form 第一章 引言 1.1 分形理论及其特点 分形理论从诞

19、生起就与地理学结下了不解之缘。大量的地理学现象，如:山脉、 水系、河流、植被景观、湖泊、土壤以及城市形态、城市分布、人口分布、交通道 路、市场网络等都具有自相似或自仿射性质的分布特征,即地球表面存在着大量分 形，这都可以用分形理论进行研究。地理现象的分形模拟已成为地理分析的重要途 径。分形模拟技术将随机性作为模拟自然形体的技术基础，称此新技术为借助于迭 代函数系统的分形整体构造。这项技术被引入地理领域以后，迅速发展成为地理模 拟技术。人们用它模拟大陆轮廓、地貌形态、城市生长和土地利用等。只要找到适 当的分形模型和相应的数学变换，不需要很多的数据就能维妙维肖地模拟所要分析 的地理现象。地理现象的

20、分形模拟已成为地理分析的重要途径。 尽管分形理论的提出使得许多应用学科在研究非规整体方面得到了迅速发展， 但由于这一理论尚处于起步阶段，还未找到一条适合于非规整体几何的分维，所以， 目前分形理论的应用研究主要是在一些基本分形理论的前提下，结合分形特点，去 寻找适合于所研究对象的分形维公式。 k.法尔科内(kennethfalconer)，高安秀树、文志英及井竹君、顾其钧等学者先 后总结提出分形体系(集合)的共同特征:(1)自相似性.即任取形体中的一小部分经 放大相应倍数后，与原体具有一样的图形；(2)具有精细的结构.亦即有任意小比例 的细节；(3)极不规则，以至它的总体和局部都不能用传统的几何

21、语言来描述；(4) 通常的测度，如欧儿里得维数、拓扑维数，不能用来度量其大小；(5)在大多数令 人感兴趣的情况下，此类形体用非常简单的方法来产生，例如，迭代法1。 1.2 分形理论应用于城市研究中的发展状况 1.2.1 国外研究发展状况 分形理论诞生于本世纪70年代，mandelbrot探讨了城市位序规模分别的分 数维性质2,3。80年代前期，m.batty受分形海岸线问题的启示，研究了英国cardiff 城市的边界线，计算了不同年份的分形维数（fractaldimension） ，藉此揭示了cardiff 市演化过程中的许多地理信息。同年，s.l.arlinghaus研究了christall

22、er的中心地体 系，发现中心地模型具有分形几何结构。 国外的城市地理分形研究主要以城市个体为对象，研究城市的形态、结构、生 长、交通和演化机制等问题。m.batty和p.a.longley借助分形几何学先后研究了英 国cardiff市的边界和形状，swindon市的土地利用形态，london市的住宅类型和雇 佣劳动密度分布，同时利用离散选择模型（discretechoicemodel）在计算机上模拟 了城市结构，得出了形似海绵状微细粒的分形城市轮廓。m.batty和 a.s.fortheringham借助受限扩散（diffusion-limited affregation，dla）模型和电介

23、质击穿模型（dielectric breakdown model，dbm）模拟了英国cardiff市和美国 taunton市的分形生长和空间扩展，开辟了城市分形模拟研究的新途径。dla和 dbm模型可以表现城市形态的发育，但不能反映城市的土地利用结构，r.white和 g.engelen等的城市土地利用图式的细胞自动机（cellularautomata，ca）模拟更为 生动的揭示了城市化过程中城市空间结构的分形演化及其混沌动力学。城市演化的 ca模拟可以算是城市地理学模拟实验发展的一个里程碑。 与batty等在英美的工作相呼应，p.frankhouser和r.sadler以德国为中心，对全 世

24、界主要城市的空间结构进行了分形研究。 在城市体系方面，国外的分形研究目前比较薄弱，除了mandelbrot的城市规模 分布研究，d.wong、a.s.fotheringham和p.frankhouser等先后研究城市体系的位序 规模法则以及pareto分布和分维德关系。s.l.arlinghaus和w.c.arlinghaus在其 前期工作的基础上进一步探讨了lsch中心地体系的分形与分维。 城市交通和交通网络的分形研究是城市地理分形研究的重要分支，在这方面， s.thibault和a.marchand做了比较全面的工作，他们对法国lyon市的公共交通、郊 区铁路乃至排水设备进行了系统的分维测

25、算。继此之后，l.benguigui和m.daoud研 究法国paris郊区铁路系统的分形，frankhouser计算了德国stuttgart郊区铁路网络的 分维。 1.2.2 国内研究发展状况 就在国外的分形城市研究进入低潮之际，中国的城市地理分形研究崛起2,3。 在城市结构分形研究方面，我国学者李后强、艾南山根据对成都市网络科技结构的 研究，提出了正五边形城市市场网络分形模型。陈彦光等根据城市人口密度衰减的 clark模型和sherratt模型提出了城市人口空间分布的weibull模型和城市人口密度衰 减的假幂式指数模型，导出了城市结构与功能的异速生长（allometricgrowth）方

26、程 和cobb-douglas函数，建立了城市分形模型的理论基础。 与国外不同,国外侧偏重于城市结构和形态的分形模拟,而国内的分形城市着重 于城市体系。城市体系是国内地理分形研究的突出领域。在理论基础方面，陈彦光、 刘继生等基于christaller的中心地理论提出了城市体系空间结构的koch雪花模型， 进而将其推广为区域城市随机分布的三角点阵模型。在实证分析方面，陈勇、陈嵘 等研究了中国城市规模分布的分形特征。刘继生、陈彦光等研究了东北地区城市体 系空间分布的分形结构以及长春地区城镇体系异速生长的分数维性质，探讨了河南 省北部地区城镇体系的空间结构的多分形特征和等级结构，构造了中心城市吸引力

27、 模型。陈彦光、王义民论述了旅游景观的分形结构特征,解释了其美学实质。岳文 泽等研究了城市郊区土地利用的分形特征,以分维数为依据分析了各种土地类型的 分布形态复杂性和稳定性。在方法探讨方面，刘继生、陈彦光先后提出或总结了一 套城市体系空间结构的等级结构的分形维数及其测算方法。此外，他们基于中心地 假设,证明人口的分布区位选择过程与城市的分形形态存在着内在联系,提出关于区 域人口运动和城市演化的三个基本原理:信息熵原理、异速增长原理和逻辑发展原 理。 在交通网络分形研究方面，陈彦光、刘继生根据城市体系分形理论的有关推论， 论证了区域交通网络的dbm特征和拉普拉斯分形性质。陈彦光、罗静则对河南省

28、交通网络的分形结构进行了实证研究。与城市体系的研究方法对应，刘继生、陈彦 光发展了有关交通网络的三种分形维数及其测算方法。 1.3 分形理论与 gis 结合应用于城市研究的目的、意义 地理事物支离破碎，没有规则，用传统的欧氏几何和数学分析很难描述，但分 形几何却是描述地球表面凸凹不平的有效手段。传统的几何学只适于描述简单的规 则形体，对于复杂的地理现象无能为力。如今，分形几何学弥补了传统数学的不足， 成为地理研究的有效工具。地理现象的分形模拟已成为地理分析的重要途径。分形 模拟技术被引入地理领域以后，迅速发展成为地理模拟技术。 城市是一个纷繁复杂既有自然作用又有人为影响的大系统。随着社会的进步

29、， 作为人类生产发展的产物，城市已不仅仅只作为一种聚集地，而是在政治、经济文 化等方面扮演了越来越重要的角色，所以加强对城市的研究无疑具有极重要的意义 而分形理论的产生、发展，则为其提供了新的研究方法和手段的支持4,5。随着城 市化进程的不断加快，城市地理现象正在发生着急剧的变化。对城市地理现象的研 究己成为地理学、城市规划、社会学的焦点问题。 长期以来人们对城市的研究大都以城市的功能，城市的经济区划和行政区域入 手，对城市的自然结构和形态研究不多，而且主要是基本定性分析，定性描述的方 法很难揭示复杂系统的内在规律。分形理论的引入使得对城市地理的研究进入了定 量研究的阶段。然而城市地理分形研究

30、的进一步发展，也有赖于新技术的支持，如 与rs、gis等的相结合的技术手段。 空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的数据分析技术，其目的在于提取 和传输空间信息。传统的gis空间分析是在管理海量空间数据的基础上，存储、检 索、查询城市的相关信息，运用综合性的分析处理算法，获得有用信息，并将分析 结果进行可视化表达。随着人们对城市地理信息需求的不断增加，对gis空间分析 的功能又提出了新的要求。分形是自然界的优化结构，分形体能够最为有效地利用 地理空间， gis 空间分析的现有功能不能完全满足城市地理研究的需要，因此， 将分形理论与gis空间分析技术相结合，对城市空间形态结构、空间分布特征及动

31、 态演变规律进行研究，对其空间数据进行深入挖掘，为深入研究城市空间形态及其 发展演变机制提供了有力的支撑，同时gis空间分析技术与分形分析的结合应用研 究也将为增强gis空间分析能力，为实现数据库型gis上升为分析型gis奠定基础。 从这个意义上可以想见，运用分形理论与gis的结合技术对城市进行研究必将在城 市地理的研究领域中发挥重要作用。 1.4 本文研究的主要内容及组织结构 本文主要研究城市用地类型的分形维数的测算，通过比较分析不同用地类型的 分形维数及不同时期同一用地类型的分形维数，分析城市用地结构和外部形态的变 化及其因素。 第一章主要介绍了本课题的研究背景，分形理论在国内外研究的现状

32、以及本课 题研究的目的和意义，且介绍了本文的研究内容和本文的结构。 第二章主要介绍了分形的基本概念和几种常见的分形维数的定义。 第三章主要阐述了分形理论在城市研究中的方法。第一节介绍了几种城市和城 市体系的空间分形，第二节介绍了城市外部形态演变的分形维数的算法。 第四章主要介绍以武汉市为例的实验研究。第一节简要介绍了实验区的概况， 第二节介绍了本实验的数据准备，第三节阐述了试验的结果及分析，第四节分析了 城市形态发展的驱动力，第五节提出了城市形态发展过程中存在的问题及建议。 第五章是对全文的总结讨论、实验过程中存在的问题以及今后的研究计划。 第二章 分形理论的基本原理与方法 2.1 分形的基本

33、概念 经典的欧氏几何学只研究直线、矩形、圆、三角形、圆锥而、锥体、椭球体等 规则的形状，而对于自然界中稍为复杂一些的图形，就没有能力描述它。70 年代 后期发展起来的分形几何学（fractalgeometry）相对于欧氏几何学来说，是一次革 命性的突破。分形几何可用来描述极复杂的几何图形。 “分形”一词是山它的创始 人 mandelbrot 在 1980 年从拉丁文中 fractus（意为断裂）一同演变来的，主要用来 描述一些非常小规则的对象。 一个分形集应具备以卜几个典型性质: 1.通常它木身的结构在大小尺度上有着某种“自相似”形式（有的严格地相似， 也有的只是近似的或者统计的相似性） ；

34、2.当图形比例小断缩小时，它可以有任意小的细节； 3.它的“分形维数”大于它的“拓扑维数” ； 4.在大多数令人感兴趣的情形卜，它可以用非常简单的方法定义，并可以用迭 代计算产生其图形； 5.分形的结果是倾向于“解释性”的，而非“预言性”的。 2.2 分维的定义 为了研究分形集的几何性质，传统的“长度” 、 “面积”和“体积”的概念已经 不够用了。在分形几何学中主要采用了“分维数”的计算方法。所谓“分维数” ， 是指在更深、更广泛的意义上定义 n 维空间中超越“长度、而积、体积”旧概念的 新度量。分形繁杂多样，势必会碰到区别、比较的问题。分形维数便是一个刻画分 形的一个重要的特征数，可以根据分

35、维数去测定其不平整度、复杂度或卷积度。分 维数的微小变化可以引起形状的急剧改变。 定量描述分形的特征参数叫分形维数（fractal demension，简称分维） 。分维有 多种定义，下面介绍并讨论几种常见的分形维数6。 1.hausdorff 维 设a为欧式空间中的一个子集，s为一非负数，对任何 n r0 （2-1） 1 inf s s i i hau 为中的集合，并有，表示的直径，即 i u n r 1 i i au i u i u 且，称为的一个覆盖。式（2.1）表示在sup; , ii uxy x yu0 i u i ua 的所有覆盖中，求满足和式的下确界。令，式（2.1）的极限值称为

36、a 0 s ha 集合的s维测度。可以证明，对于集合存在唯一的非负实数，记为，它aa h da 满足下列性质： 若，则 0 h sda s ha 若，则 h das 0 s ha 即称为集合的hausdorff维。 h daa hausdorff维维是最古老的，也是最重要的一种维数，它对任何集都有定义。然 而，这种维数在理论上的意义远大于实际应用。对于一个分形集合，计算其 hausdorff维数一般是相当困难的。实际上我们最为常用的是下面的一些分形维。 2.自相似维 令为一个有界集合，若它总是可以分成a个大小为倍的与原集相似 n ar1/b 的子集，则a的自相似维数为： （2-2） ln ln

37、 s a d b 例如，对koch曲线可以分成4个部分，每个部分都为原来的大小，而每一部1/3 分又可以同样细分，则它的自相似维数为。同样ln4/ln31.2619 s dkoch sierpinski三角的自相似维为。提出自相似维是把经ln3/ln21.585 s dsierpinski 验维（把自由度数作为维数）扩大为非整数值的划时代的进展，但按照其定义，它 的适用范围就非常有限，因为只有对具有严格的自相似性的有规分形，才能应用这 个维数。 3.kolomogrov容积维 设为一距离空间，对每一，设表示用来覆盖,x d ax0,n a 的半径为的最小闭球数。如果下式存在：a （2-3） 0

38、 ln, lim ln1 f n a d 则称为的kolomogrov容积维。 f da 但是在容积维的定义中，还存在一个很大的缺陷，定义中只考虑了履盖所要求 的半径为的球的个数，而没有规定每个球所覆盖的点数的多少，照此定义对上 n r 某个区域中任何一个稠密可数集，都会有。比如在上，全体有理数a f danr 所构成的集合，其维数为1，而整个实数集合的维数也为l，我们知道全体有理数是 一个可数集，相比于无理数它是一种非常“稀薄”的集合，有理由认为它的“容积” 为0，至少决不会与全体实数集的维数相同。 4.信息维 为了改进容积维，信息维引入了概率。设表示一个点落在第 个球中的概率。 i pi

39、（2-4） 1 0 1 lnln lim 1 ln n i i i i p p d 可以看到，当时时，信息维是容积维的一个推广。1,1,2, i pn in 5.盒维 盒维是迄今在各学科领域中应用的最为广泛的一种维数。这主要是因为它非常 容易由计算机求得。本文第四章所求的分维数就是这一种。其定义是把容积维定义 中的球改为立方体，同时在覆盖时互不相交。具体如下： 设，在欧氏距离下，用边长为的小盒子紧邻地去包含，设 n ar 12n a 表示包含所需的最少盒子数，则 n naa （2-5） ln lim ln2 n n n na d 称为集合的盒维。a 可以看到，当 n 增大时，也就是当测量的尺度

40、减小时，集合的不规则性迅速地表现 出来了。考虑二维平面上的集合，可以把它看成是一幅二值图象，对它的盒维的计 算可以如下进行：逐渐增大 n，分别计算出相应的的值，这样就可以得到一 n na 组的数据对，再利用最小均方误差等方法求出相对于 ln2 ,ln n n na ln n na 的斜率，就是要求的盒维数。ln2n 第三章 分形理论应用于城市研究的方法 3.1 城市和城市体系的空间分形 城市和城市体系的空间分形主要包括 6 种：网络分形、等级分形、分布分形、 边界分形、区位分形和密度分形7,8,9,10,11。下面分别介绍和讨论几种常见的分形。 1.网络分形 城市一般起源于地势平坦，交通方便的

41、地方。城市的发展离不开交通的发展和 完善。世界上许多城市的交通系统呈树枝状结构。根据蒂波特的(s.thibault)和马坎 (a.marchand)对法国里昂市的道路系统的研究，发现城市道路网络是一种内部具有 自相似性的等级结构，具有分形的性质。在道路网络系统中，道路的等级数量 与各等级的长度之间存在一种双曲函数关系。 n 城市道路网络是一种类似图 3-1 所示的分形结构，其分维值即可说明城市集中 的程度，又可以描述市郊道路系统完善程度。曼德布罗特曾在河道总长度流 l 域面积之间得出一经验公式: （3-1） d lf 式中为河道网络的分维值。与河道网络相似，交通网络也是一个分形结构。d 在道路

42、总长度与道路所覆盖的总积之间可以建立一个如河道长度流域面积相同的关 系，可求出交通网络的分维值，以此测量区域之间的通达度(accessibility)。 在城市中，不同宽度的街道或道路的作用不尽相同，为了更好地说明这个问题， 曼德布罗特在 1983 年引入了描术分支体系中不同等级的宽度指数。对河道而一 言，假设每个主流都分成个支流，每个支流的宽度与主流宽度的比为 ，这样就 0 nr 可得下式： （3-2） 0 n n dnn n n dr 表示个支流中级支流宽度为的支流数，那么 n dnn （3-3） 1 n n dnd 从经验公式中可知是存在的，的存在不仅证明了河道网络自相似性的存l 在，而

43、目可以按照河网的特殊用途引入一种的最佳值。城市道路网络与河网一样， 不同等级街道的宽度与等级之间也遵循着一种双曲函数关系。这样，可通过计算分 维来研究城市道路网络的分布特征及其演化情况。 2.等级分形 城市等级体系，是指在一定范围内，以某中心城市为核心，由一系列不同规模、 各具特点、相互联系的城镇所组成的有机整体4。由于不同城市承担着不同的物质 流、能量流和信息流的传输功能，基于对城市作为商业、服务业中心的等级体系的 探讨，逐渐形成了探索城市体系内城市等级规模结构和地域空间结构规律的一种标 准化理论，即中心地理论(centralplacetheory)。城市作为商业、服务业中心，由于 受到诸多

44、因素的影响，特别是受到市场最优、交通最优和行政最优原则的影响和制 约，于是有了不同等级的系统体系。 用信息嫡可反映城镇体系的等级差异。为了使不同区域的城镇体系等级差异具 有可比性，可以从信息嫡的一般定义出发，提出表征城镇体系等级结构的差异度概 念。令表示均衡度，其计算公式:j （3-4） max ji i 式中 （3-5） 1 n ii i ipinp iin n 这里 （3-6） 1 n i i pp kp k 式中是序号为人的城镇人口；为区域城镇总数；为城镇体系总 p kn 1 n i p k 人口；是系统的人口分布信息嫡，为最大嫡；即人口均衡分布时的信息嫡。i max i 可见可以表征城

45、镇规模分布的集中程度，即均匀性，且其数值变化介于之间，j0 1 即。有了均衡度，就可以定义差异度。01j max 11cji i 3.分布分形 一个国家或区域，因各城市所处的内外条件及职能分工不同，会形成不同的城 市规模，这种规模的衡量一般用人口指标。不同规模的城市在区域上的分部存在一 定规律，对这种规律性的研究己有以下几种理论：城市首位律、城市金字塔理论、 位序-规模法则等。它们分别从不同角度研究城市规模在区域上的分布规律. 位序一规模法是应用比较多的一种理论方法，它是从城市的规模和城市规模位 序的关系来考察一个城市体系的规模分布的.最早是 1913 年奥尔巴克发现 5 个欧洲 国家和美国的

46、城市人口与其按人口所排位序的乘积是一个常数，这是对城市人口规 模与其人口位序之间关系的最初探索。其后，许多学者又通过加入指数来调节完善 公式，现在普遍使用的位序一规模分布公式 （3-7） 1 q ii ppr 是第 位城市的人口；是理论上规模最大的城市人口；是第 位城市的位序； i pi 1 p i ri 是常数。q 4.边界分形 城市边界与海岸线一样，由于受自然条件，房屋建筑，交通运输等因素的制约， 其形状也异常地曲折和复杂。地理学家和城市规划专家发现，城市世界也具有内部 自相似性，因而有分形的性质。可以通过计算其分维来考察城界的外貌特征。 如果城市边界是简单分形的，那么 （3-8） 1 d

47、 l rkr 式中 表示标度，表示在标度 下的城市边界长度，是分维值。在简单分形 r l r rd 条件下，使一个常数。 d 5.密度分形 城市的生长过程总是从一个中心点开始，然后不断地向四周扩散，但是，当城 市面积扩大时，并非所有的空间都被城市占用。有的土地留着非建筑田地，有的地 方由于受地理条件的限制而不能发展成小城市。在描述城市生长时，我们先引入两 个变量和,指以城市中心为圆点, 为半径的圆内所有被占用的场地 r ra rr 数（occupiedsites)(这里指人口数),指在这个范围的总面积。和均 ra r ra 随 r 的增大而增大。 （3-9） d rr d rra 是标度离城市

48、中心不同距离上的被占用的场地参数或人口参数。是用距离d 标度面积的参数。可得密度 r （3-10） d d r rr r a 人口和面积随 的变化情况可用下式表示:r （3-11） 1d dr r dr 1d dr r dr a 可得到边缘密度（marginaldensity）： （3-12） d d drdrdr r drdrdr a a 边缘密度随距离城市中心距离的变化可表示为: （3-13） 1d d dr r dr 维数可以指直线、面积或体积，而实际上，我们已经假设了,如果把人口建d2d 立在三维空间基础上，那就可以把城市定义为三维系统。从上面的论述中可知 ，因为人口并没有平均分布在所

49、有的以 为半径的圆的所有地理空间里，12dr 否则。2d 3.2 城市外部形态演变的分形维数算法 城市外部空间形态是城市空间要素自组织演变的外在表现，合理的外部空间形 态有利于城市组成要素及其资源环境的稳定发展。城市外部形态在空间上表现为建 成区的位移和扩张，其实质就是一种空间演替，从整体上看产生了城市外部空间形 态的演变。 3.2.1 面积-周长关系法 分形维数表示一个集合在空间上的占有程度，维数越大，空间区域内含有分形 单元的机会也就越大12。在城市外部空间形态的研究中，面积和周长是空间形态 的基本度量特征。一般地，若研究客体的长度为p，面积为s，体积为v时，则存在 下列关系: （3-14

50、） 1/(1)/1/2 0 ddd pra 式中:为欧氏长度, 为测量尺度（码尺） ，为比例系数,（）为外部pr 0 d12d 形态的维数。可以看出，当一个城市的面积一定时，值越大，其周长越长，显然，d 分维数描述了城市外部空间形态的复杂程度。 3.2.2 半径法 所谓半径法，也成为同心圆环法。以分形体的中心为圆心作同心圆环，圆环的 半径表作的整数倍10,12。当半径增加时，半径范围内的分形元累计数目变也随r 之增加。可以看出，分维可以由幂律定义，从而： d n rr （3-15） 1 1 ln ln nn nn n rn r d rr 即为分形维数。d 3.2.3 盒维法 盒维法也称为格网计

51、数法，在城市地理学的分形研究中是一种不可或缺的分维 测算方法10,13。盒维法的思路如下：在地图上用一个矩形区域覆盖一个城市地理 对象如城市用地，并设举行的一个边长为，这时只有一个网格，这个网格肯rl 定被研究对象占住，既非空网格数目为。将矩形框各边两等分，划分为 4( )1n l 个全等的网格，这时小矩形的边长为，计算包含该城市用地的网格数目， /2rl 记为。进一步将 4 个小网格的各边两等分，将矩形区 16 等分，每个小格的 ( /2)n l 尺度为，被占住的网格数计为。像这样，将矩形不断细化， 2 /4/2rll 2 ( /2 )n l 到第 n 步的格网尺度为，网格的数目为个，非空网

52、格数目记为。 2 ( /2 )n l 如果城市土地利用是分形的，必有 （3-16） 1 2 22 d nn ll nn 显然，负幂函数 （3-17） d m rr 满足式(3-17)定义的标度不变性，式中 d 便是分形维数，且有。 12d 此外，我们常常使用一种双对数坐标，即用作横坐标，用当作纵 logr log n r 坐标。改变格 r 时，把每次计盒数 n 的对数值点成点 r。如果这些点 r 在某一个范 围内呈直线，我们就说，此直线段的斜率就是分形集 f 的一个“分维数” 。 3.2.4 盒维法改进 对于分形体图像，如何统计盒子数目是盒维法的关键所在。现以英国主要岛屿 的海岸线分形为例来分

53、析盒维法存在的问题:如果将覆盖有海岸线的所有正方形格 子均计入在内，而不论海岸线在此正方形格 内所占的份额多么小，那么其中涂黑r 的格子都应统计进来，这样似乎计算的太大了，尤其是当尺度 较大的时候， n rr 在曲线折叠较剧烈的地方，会出现了一片黑色格。传统的盒维法多为此种算法，因 而可能导致测得的分维值偏小。 为解决该问题，可以引入一个参数门 来衡量某个正方形格子内地物和格子 的相对大小。 （3-18） 2 1/ n r r 如果只取比大的格子，则格子数会有所减少。这种方法更能体现分形体本质，因 而可更精确的测量其分维数。显然当时，就是传统的盒维法。0 3.2.5 地理意义 从理论上讲，分形

54、维数值变化于0-2之间,但是半径维数和网格维数的地理意义 并不相同。半径维数则反映了地物生长的中心-边缘聚散特征，而网格维数反映区 域分布的均衡性。当时，表明所有的城镇集中于一点，区域中只有一个城市，0d 这种情况在现实中一般不会出现。当时,表明区域城镇均匀分布。正常情2dd 况下，越大表明城镇体系各要素的空间分布越均衡，反之则越集中，12dd 当时，表明城镇体系均匀地集中到一条线上了。另外，在一定情况下面积-1d 周长关系法计算的分形维数等价于盒维数。 第四章 实验与结果分析 4.1 实验区简介 武汉市湖北省省会，全省政治、经济、文化中心，华中地区的最大都市。它位 于江汉平原东部，长江中游与

55、长江、汉水交汇处。北距首都北京 1190 公里。介于 东经 1134111505，北纬 29583122之间。东端在新洲区柳河乡将军上，西 端为蔡甸区成功乡窑湾村，南端为江夏区湖泗乡刘均堡村，北端为黄陂区蔡店乡下 段家田村。 辖区总面积 8467 平方公里，其中市区面积 3963.6 平方公里，城市建成区面积 202 平方公里。现辖江岸区、江汉区、硚口区、汉阳区、武昌区、青山区、洪山区、 蔡甸区、江夏区、东西湖区、汉南区、黄陂县、新洲县等 11 个区 2 个县。总人口 715.9 万人，其中城市人口 382.1 万人。江(河)湖水面占总面积的 25%。主要河流有 长江、汉水、滠水、府河、倒水、

56、举水、金水、东荆河等。较大的湖泊有梁子湖、 涨渡湖、汤逊湖、东湖等。呈东西向的两列低矮山系与南北向的长江在市区形成垂 直轴线。长江、汉水把市区分割为武昌、汉口、汉阳三部分，形成三镇鼎立的独 特城市格局。 4.2 实验数据的准备 4.2.1 数据源分析 城市是一种地理现象的反映，某一时期的城市在地理空间上呈现出一定的空 间模式。这种静态空间模式可以用地图或图像的形式表现出来。卫星遥感影像和航 空像片能为土地类型变迁和城市地理空间的变化提供及时可靠的数据，而土地利用 专题图则提供了更详细的土地利用数据。 1.遥感影像特征 本次实验的遥感影像数据是 1996 年 spot 影像（10m*10m，横轴

57、莫卡托投影） 。影像的成像质量较好，各类地物差异较明显。法国 spot4 的 10m 全色影像数据 是目前我国最易获取，也最为常用的数据。spot 卫星是由法国空间中心设计，比 利时、瑞典等国共同发射的。spot 卫星装载了 2 台相同探测器 hrv 或 hrvlr 成 像仪，hrv 的平面反射镜可绕卫星前进方向滚动轴（x 轴）旋转，平面向左右两 侧偏离垂直方向最大可达。该卫星分辨率和其他技术参数见表 4-1。27 表 4-1 spot 卫星参数 波段（m） 高分辨率几何装置 （m） 植被成像装置（km） b0(0.43-0.47)-1 pa(0.51-0.73)10- b1(0.51-0.5

58、9)20- b2(0.61-0.68)201 b3(0.79-0.89)201 swir(1.58-1.75)201 2.土地利用现状图 遥感影像上直接反映出土地利用的情况比较有限，土地利用现状数据的获取要 求空间更详细的数据和解译处理。 本实验采用武汉市土地利用总体规划主城建设用地控制范围图为研究对象，该 图对武汉市城市用地类型进行了分类规划，突出地反映了武汉市的土地利用类型。 4.2.2 数据处理 本实验的数据预处理包括 spot 影像的分类和分层提取以及土地利用现状图的 分层提取。 1.spot 影像监督分类 利用遥感影像进行土地利用分类是在确立分类体系的基础上实现的。用户可根 据不同的

59、需求建立不同的分类体系，但分类的实现一般分为五步： 第一，数据收集和预处理。本实验采取的数据已经过辐射校正、几何纠正等处 理； 第二，目视判读，并建立分类标准； 第三，对影像进行分类；利用像元的特征划分用地类型； 第四，分类结果后处理。包括纠正明显错分的类型和制图总和； 第五，评价分类精度和结果输出。 分类流程见图 4.1。 图 4.1 遥感影像分类流程 图像信息和地物的地表特征之间存在着内在的联系，可以通过解译标志有效的 联系起来。一个分类系统具有两个关键的组成部分，即一套解译标志和一套分类规 则。没有严谨的分类规则，地物类型的分类必缺乏可靠性。 具体到本实验，根据实验需求，对实验区的地物进

60、行解译，可以分辨出：水田、 林地、湖泊、河流、城区和裸露地 6 类，并且建立了分类标准（见表 4-2） 。 表 4-2 用地类型的解译标志 用地类型解译标志 水田黄褐色到墨绿色，成片连续分布 林地浅绿色，多在沿江一带，条状分布 湖泊深蓝色，形状不规则，部分湖泊污染严重 呈黑色 河流轮廓清晰，易分辨 城区青灰色或深褐色，新建地区为亮白色 裸露地多在江滩附近呈深红色，空地为白色 监督分类可以识别或借助其他信息判断像元的特征，便于更好的控制对用地类 型的分类。由于新城区和旧城区的差异较大，在本实验中将其分开。为避免部分城 区和水田混淆，也将不同颜色的水田分开。因此，为了提高分类精度，本实验监督 分类