大学物理素材-前沿浏览-现代熵概念

1、 第二章 现代熵概念 克劳修斯 玻尔兹曼 普利高津 熵的概念最初是由R.J.克劳修斯在19世纪中叶建立的，1870年，玻耳兹曼给出了熵的统计解释，并确立了公式S=klnW。熵概念对于初学者，一直是一个较抽象并难以通俗表达的物理概念。但是，近40年来，熵的概念有了迅速而广泛的发展。在天体物理中，黑洞的熵与面积这样的几何概念有联系；在信息论中，信息的熵与信息量的概念有联系，并且出现负熵的概念；在生物学中，生命现象也与熵有着密切关系。此外，由普利高津和哈肯建立的非平衡态统计耗散结构理论及协同学理论，使人们对熵规律有了更新的认识，在无序中产生有序机制的出现，使得熵在许多方面都显示出它的重要性。热学中的

2、熵 一、卡诺热机与克劳修斯定理 法国青年工程师卡诺（1796-1832）在研究如何提高热机效率时，设计出一种卡诺循环过程，它是由两个等温过程和两个绝热过程组成的循环过程，见图2-1和图2-2。工质与两个恒温热源交换能量时是准静态的等温吸热或放热的过程，离开热源后，工质经历绝热过程。图2-1中，ABCDA是卡诺循环，根据热机效率公式 P A B A D C V图2-1 卡诺循环 图2-2 卡诺热机工作示意 (2.1)式中，Q1是工质在等温过程AB中从高温热源吸收的热量。Q20，Q20 第1种情况是无规则地搅拌与热源接触的粘滞液体。与热源接触的液体由旋转或摆动变为静止，此时，液体克服内摩擦力做功，

3、因而产生了热量，并将热量传给热源。与热源接触的电阻中有电流通过。第2种情况与第1种情况一样，但要加上绝热条件。第3种情况还包括拉紧的丝突然被切断及肥皂膜被穿刺后破裂。第5种情况包括酒精与水混合、固体在水中溶解等。总之，上面表中的计算表明，一切不可逆过程都对应着孤立系的熵增加。 不计阻力的抛体 运动是可逆的 图2-3 一般的物理规律往往是可逆的，如牛顿力学中，牛顿方程的解是完全可逆的。物体从A抛出去，从B落下，如果无空气阻力，反过来进行，则从B抛出去，在A落下，且可沿同一轨道，见图2-3。电磁学、量子力学的规律，如果无耗散，基本上也是可逆的。但有些自然现象却显然是不可逆的，一个人只会越变越老而不

4、会倒过来进行。一个球落地，弹了几下后便停止不动。从能量守恒来看，反过来是完全允许的：球落下，势能变为动能，经过几次碰撞后，动能变成不规则运动的热能，所以球最终停止不动了。如果把热能聚集起来，使地上不动的球突然一跳，跳回原来的高度，则并不违反能量守恒定律。可是实际上，我们并没有看到这个逆过程。再看一个例子，早晨吃豆浆时，用勺子一搅，豆浆运动了，过一会又静止下来。但谁也没曾看见一杯静止不动的豆浆，借助自身的热能而运动起来，即自发将热能转化为动能。人们发现一切与宏观热现象有关的过程，实际上都是不可逆的。热力学第二定律正是对此宏观演化的方向性所作的一个总结。由于不可逆过程一定对应于孤立系的熵增加，所以

5、熵增加是对热力学第二定律的最佳描述。 下面，我们给出一个证明：一切包含热交换的不可逆过程都服从熵增加原理。为了方便起见，只需考虑绝热过程就足够了。因为我们可以把系统扩大，使之包括有参与热交换的对象，显然该系统是绝热的。 设体系有三个独立的热力学参数，初态为i，经一不可逆绝热过程到末态f。体系的熵变为 (2-13)然后，体系经历一可逆绝热过程由f态到k态，k态的温度为T。接着体系与热源接触，经可逆等温过程，从k态到j态，直到，最后经可逆绝热过程，从j态回到i态，完成一个循环。由于体系回到了初态，故循环过程中净熵变为0，即 (2.14)其中，只有等温过程有吸热或放热 (2.15)整个循环系统做的功

6、为 (2.16)显然，否则系统从单一热源吸热并全部转变为功，这是违反热力学第二定律的，故有 (2.17)或 (2.18)其中，等号对应于可逆过程。 以上证明了：任何过程所引起的孤立系熵的变化由 (2.19)表示，这就是熵不减原理或熵增加原理，后者仅指不可逆过程。 三、熵与非平衡态 不可逆过程的熵变化比较容易计算，特别是当时，只需计算外界熵变，热源的熵变永远等于-Q/T，Q是系统吸收该热源的热量。至于体系的熵变，则只需在初、末态i和f之间任意设想一个可逆过程便能计算。这也是利用了熵是态函数的性质，熵变只与态的初、末点有关，而与过程无关。 T0 TL T0 T TL i态 Tf f态 金属棒由初态

7、i趋于终态f 图2-4 现在考虑一个内部热传递的不可逆过程，其初态i是一个非平衡态，因而，没有一个可逆过程能连结i和f。观察一根两端分别与热源T0和TL接触的导热金属棒，若将热源突然撤离，并将金属棒与外界作常压下的热隔离，则初态为非平衡态i，经过一段时间后，金属棒将趋于平衡态f（见图2-4）。 为了计算这一过程的熵变，可将金属棒分割成无穷多小元段，其初温为T(x)，当棒温分布是线性的时候 (2.20) (2.21)每一元段都由平衡（T，P）经一可逆过程等压到终态（Tf ，P）。整个棒则由无穷多个可逆过程来完成初态到末态的过渡。设每一元段的熵变为dSm，则 (2.22)整个金属棒的熵变为 (2.

8、23)若T0=400K，TL=200K，则Tf=300K (2.24)i，f均为非平衡态时，亦可用类似方法求其熵变。 四、熵和束缚能 在不可逆的过程中，一部分能量变成不能做功的能量。当过程是可逆的，能量没有不能做功的部分，所以可逆过程获得的功最大。因此卡诺定理指出，在相同的高、低温热源之间，可逆机的效率比不可逆机大。自然界的不可逆过程连续不断地进行，能量也在不断地变成不能做功的能量，开尔文称此现象为“能量退化原理”。我们来观察一个有限温度梯度下的不可逆热传导。设在热源T1、T2之间有一处在稳态的导热介质，热量Q自T1经介质传给T2。在T2有热量Q可用来做功，其中Q能做的最大功为 T1 T2 经

9、过不可逆热传导过程，能量的可利用程度下降 图2-5 (2.25)T0是热源的最低温度。如果在传导热到达介质之前，直接从T1将其输出并用它来做功，则Q能做的最大功为 (2.26)显然，不可逆传导过程使一部分能量不能做功了，此部分能量为 (2.27)其中是孤立系的熵变，能量称为束缚能。伴随不可逆过程的进行，能量从一种可全部利用来做功的形式，转变为完全不能做功的形式，并且这种转变是与熵变成正比的。 五、熵流和熵的产生 在不可逆热传导过程中，高温热源的熵在单位时间内减少了JQ /T1 ，其中，JQ是热流，它表示单位时间内由热源T1传出的热量。类似地，低温热源在单位时间内熵增加了JQ /T2，因此，考察

10、中间导热介质时，外界的熵变为 (2.28)流入系统的熵为JQ /T1，流出系统的熵为JQ /T2，于是系统自身还需要产生熵，其产生率为 (2.29)式中，称为熵流。如果导热介质中有电流通过，则可类似推导有 (2.30)是介质两端的电压。 综合以上两种情况，一般有 (2.31) 再看一个例子：一盆液体，下部温度为T1，上部温度为T2，且T1 T2。则由于密度与温度成反比，会造成一种“头重脚轻”的情况。这种体系有不稳定因素，到一定程度就会发生对流。其临界状态用Rc来描述，Rc称为瑞利数，设 式中，g是重力加速度，a是热胀系数，v是粘滞系数，D是扩散系数，d是液体的几何参数。当时，对流出现。法国的贝

11、纳德在改变R时，发现了非常规则的六角状对流包，称为雷诺-贝纳包（图2-6）。在稳态时，热流从包的一边穿到另一边，流进的熵比流出的熵小。实际上由，T1 T2 可得图2-4对流与雷诺-贝纳包 (2.32)贝纳包处于一个熵减少的远离平衡的稳态，即有序的对流态。 近年来，通过建立在分子动力学基础上的超级计算机的数值模拟，普利高津学派已经从微观层次上直接产生出这种有序的对流态，这是非平衡态研究的最新进展。 由此我们得到又一重要结论：开放系统在远离平衡的条件下可以出现熵减少的过程。 六、宇宙熵增加与热寂说 A B 图2-7 麦克斯韦妖 我们已经看到，任何一个不可逆过程都伴随着孤立系熵的增加。若把宇宙看成一

12、个孤立系，则照此下去，宇宙的熵最后应为极大，整个宇宙将处于热平衡态均匀、恒温的热寂状态。 为了避免导致宇宙走向热寂的悲剧，麦克斯韦提出了有趣的设想，即可能存在一个称之为麦克斯韦妖（简称麦妖）的小精灵（见图2-7），它可以破坏热力学第二定律。例如，在一个连通容器中，中间有一个小门，容器中两边的分子处在自由运动状态。事先小门关闭，两边达到热平衡。麦妖的工作是，当有快速运动的分子向另一边冲过去时，便立即适时打开小门，不一会儿，失去快速分子的那部分容器内温度降低，另一边则温度升高，系统便自动地由平衡态变成不平衡态，这是一个熵减小的过程。 姑且不论是否麦妖真具有如此本领，单是这人为施与的妖灵本身是否真实

13、存在，就已使人难以信服，然而，今天的科学理论的确为我们寻找到了麦妖的替身！除了引力作用的参与能达到这种类似的效果外，还有一种从混沌走向有序的自组织作用，也能达到这种效果。 图2-8 球状气云 一旦引入引力的作用，那么完全可以避免热寂说的悲惨结局。为了说明这一道理，我们考察一均匀分布的气云，在其中作一半径为l的球。由于球外气云对球内的引力作用相互抵消（图2-8），则球内的引力作用将使气云坍缩。可以用密度表示气云坍缩的指标，因为球状气云的自引力是与成正比的。此外，气云运动的动能是排斥性的，它将产生一个压强抵制引力坍缩。用速度v来表示气云弥散的指标。在星体形成过程中，核聚变反应产生热量，提供排斥的运

14、动能量，并增大v，以此来和引力抗衡。当二者达到相对稳定时，便形成稳定的星球。早期的气云便是在引力作用下，逐步形成红巨星，直至恒星晚期，核燃料烧尽，引力又取得优势，接着形成致密的白矮星、中子星。所以在宇宙的演化过程中会形成许多有序的结构，这是一个从均匀无序状态向有结构的有序态演化的过程，原因是有引力的作用，不能只单一地去考察热学规律。统计物理中的熵 一、等几率假设和热力学几率 李政道先生曾讲：统计物理是最漂亮的理论。因为它只需要一个假设，这个假设称为等几率假设，即任一微观态出现的几率均相等。如a，b球分配在两个格子里共有4个微观态，每个微观态出现的几率皆为1/4。N个分子分配在l个相格中，lN个

15、微观态，每个微观态出现的几率均为1/lN。至于宏观态出现的几率，显然是等于其所包含的微观态数目P 与每一个微观态出现的几率之乘积，即 (2.33)习惯上，称与宏观态对应的微观态数目P为热力学几率。 按照统计物理的观点，热学的平衡态就是热力学几率P最大的宏观态。P=Pmax时，该平衡态也称最可几态。 在热学中，一个孤立系统总是自发地趋于平衡态。用统计物理的观点讲，系统的状态总是自发地趋于最可几态，或趋于热力学几率最大的状态。系统处在平衡态的熵最大，是否热力学几率P就是热学中的熵呢，问题并非如此简单。我们知道，熵具有可加性，而几率具有可乘性。例如两个射击运动员，甲中10环的几率为0.8，乙中10环

16、的几率为0.9。若问两人同时中10环的几率为多少，必须用乘法，即0.80.9=0.72。因此，熵S和热力学几率P可以用对数函数关系来表示S=k1nP（2.34）这样，既满足P增大，S亦大的原则，同时又满足几率相乘而熵相加的法则。公式S=k1nP称为玻尔兹曼熵公式，其中k=1.3810-23JK-1是玻尔兹曼常数。这个公式给出了熵的统计意义，解释了熵的微观本质。所谓熵，是反映一个系统宏观态所具有的微观态数目或热力学几率的量。热力学几率愈大，表示系统处于的状态愈混乱无序，因为，热力学几率大说明系统可选择的微观态方式极多，或者说很难确定系统到底处在哪一个微观态。就此意义上讲，熵是系统无序程度的量度。

17、 二、熵和无序 我们考察一个理想气体的绝热真空膨胀过程。设体系是由N个分子组成的系统，膨胀前气体集中在容器的一方，处于有序的状态。膨胀后，气体充满整个容器，处于无序的状态。若有序态的相格子有l个，无序态的相格子则有2l个。N个分子分配在l个相格的方式数与N个分子分配在2l个相格的方式数相比，前者小，后者大，或者说前者的热力学几率小于后者的热力学几率。根据玻尔兹曼公式可知无序时的熵大于有序时的熵，(见图2-9)。两种不同分子的气体混合后，无序度比它们分开时更高，是无序态（见图2-10）。与绝热真空膨胀类似，同样得到无序态的熵大于有序态的熵的结论。所以说熵是系统状态无序度的一种量度。 V 混合前

18、2V 混合后 图2-9 图2-10理想气体绝热真空膨胀过程 两种气体混合过程 自然界总是有变为更无序的倾向，在自然界的演化过程中，孤立系熵的增加就是这种倾向的一种反映。热力学第二定律指出热过程进行的方向，孤立系熵增加也是反映过程进行的方向，即由有序指向无序。 T，V1 T，V2 图2-11气体等温膨胀过程 三、统计熵与热学熵的一致性 以一个等温膨胀过程为例可证实统计熵与热学熵的一致性（图2-11）。由于过程是等温的，系统吸收热量对外做功，因而内能保持不变。当系统体积由V1膨胀到V2时，熵的增加为 (2.35)从统计观点出发 其中P为系统状态的热力学几率，在均匀分布条件下，一个分子在容积V中分配

19、的微观方式数与V成正比，N个分子在容积V中的分配方式数与VN成正比。热力学几率正是和均匀分布宏观态对应的微观态数目，所以有 于是 (2.36)可见，热力学的熵与统计物理的熵是一致的。信息熵 一、信息量 如果请你猜某人的姓名，而事前不知道任何信息，甚至此人是男是女也不知道。那么可供你选择的名字数目极多，或者说你得到一个名字的方式数极多。用信息论的术语来说，即你掌握的信息量极少。如果告诉你此人是女性，则可供选择的名字数将会减少，进一步再给你一个信息：此人姓名的汉语拼音第一个字母是L，则信息量大大增加，可供选择的名字数目一下子又减少了许多。 从上面的例子可以看到：达到某宏观定态的方式数越少，则信息量

20、一定越大，反之则信息量越少。再举一个掷骰子的例子，如果掷一只骰子，则从可能出现的6个结果中，得到某一确定结果的几率是1/6；若掷两只骰子，则所得的信息量正好是掷一只时的两倍，而得到明确结果的几率为1/36。因为两次投掷是相互独立事件，故得到的信息的几率应相乘，所得的信息量却相加，这表明信息量与获得该信息的几率成对数关系。 设信息量为I，得到该信息的几率为P，则 (2.37)这是1949年美国Bell实验室工程师申农提出的公式。若令k=1，且取底为2，则可将式（2.37）改写为 (2.38)当P=1/2时，I=1，即在两个等几率事件中，选择其中一个事件，得到的信息量为1bit。按此计算，掷一只骰

21、子所得到的信息量为 二、信息熵 我们知道了如何计算一个信息的信息量，那么全部信息的信息量应为各信息的信息量之和 (2.39)但是，往往获得各个信息的几率不一样，故有必要定义一个平均的信息量 (2.40)平均信息量是指平均起来一个信息的信息量的大小，又称为信息熵。 在信息论中，信息是由一个所谓信息源输出的，设某信息源输出n个相互独立的信息，Xi出现的几率为Pi ,可以用信息源发出的全部信息的平均信息量来表示信息源的整体特性，这个整体特性是信息源的不确定程度。信息熵大，说明信息源发出的平均信息量大，而信息量大表示信息源发出信息的几率小，即源的不确定程度大。 容易看到，在获得信息都是等几率的情况下(

22、2.41)为了简化讨论，可以把第i个信息的信息量看作是平均信息量或信息熵，在这种意义上，信息量即信息熵。 三、再谈麦妖 1927年，匈牙利一个叫西拉德的人指出：麦妖要识别快、慢分子，必须使用“电筒”或“灯光”探测。当光被分子散射后，麦妖接收此散射光，才能知道该分子是快分子还是慢分子，并依据此决定是否开启小门。西拉德的这一判断过程，会使“电筒”或“灯”在发光时产生熵增加，因为电和光都导致发热。根据西拉德的计算，这一熵增加将超过麦妖控制小门所获得的熵减小，故最后总熵仍是增大的。 西拉德的设想使得信息与熵之间第一次建立了联系，减小熵是以获得信息为前提的。再看一个简单的例子：液体在容器中冰冻成晶体，熵

23、减小了，但信息却增加了，因为液体分子是混乱分布的，现在液体分子以确定方式居留在晶体元胞格点上，这是一个无序向有序的转化，故熵减小；同时正因为有序化的分子呈周期性排列，其对称性给出了分子分布的确切信息（见图2-15）。 四、信息熵与热熵 无序 液态 有序 晶态 液态到晶态的熵减少过程 图2-12 信息与熵的关系类似于相对论中的质能关系，即 (2.42)当质量减少时，能量增加，反之，则能量减少。基本粒子实验对正、反电子对的产生与湮灭的证实，就是(2.42)式的例证。与之类似，信息增加，则熵减小，反之则熵增加。因此，可以把热熵和信息熵或信息量I的关系写成S+I=常数（2.43） S是无序程度的量度，

24、I则是有序程度的量度。布里渊（Brillouin）曾说：“熵是关于体系精确状态所缺乏的那些信息的量度”。比如，要确定体系的状态时，若可供选择的方式数愈少，则愈容易确定。当可供选择的方式数仅为1时，则体系状态完全被确定。 熵是与可供选择的方式数目成正比的，如果把可供选择的方式数看成统计学中的热力学几率P，那么由玻尔兹曼公式可知，当P=1时，S=0。按布里渊的解释，信息量应为熵的减少 或 S+I=S0 (2.44)当体系完全确定（S=0）时，则I取最大值Imax，所以有 S=Imax-I (2.45)这是布里渊定义熵的一种数学表述。熵是对于体系精确状态所缺乏的那些信息（Imax -I）的量度。对式

25、（2.44）进行微分 dS=-dI (2.46)dS0，则dI0，这是信息论的结论，系统总是朝信息量减少的方向演化。 五、信息熵与统计熵 设一理想气体从体积V0等温压缩到体积V1，从统计观点来看 其中，Pi为系统热力学几率。在均匀分布的条件下，一个分子在容积V中分配的微观方式数与V成正比，N个分子在V中的分配方式数与VN成正比。热力学几率就是和均匀分布的宏观态相对应的微观态数目，所以有 于是 (2.47)另一方面，在减少体积时，也减少了达到该状态的方式数。压缩前，每一个分子都在V0内，可能占据的位置数目是，其中是某个任意小的体积。压缩后，每个分子可能的位置数减少为。由此，信息量增大时，每一个分

26、子的信息量增量为 S S 熵 O I+S t I 信息图2-13信息量即负熵(2.48)N个分子的信息量增量为 (2.49)显然，因压缩而增加的信息量应等于相应的统计熵的减少 (2.50)由此可见，人们把信息熵称为负熵是有道理的。因为对于熵增加原理，对应有信息量减少原理，故称信息量为负熵更为合适，否则熵既满足增加原理，又满足减少原理就会造成混乱。 生 物 熵 一、生命是什么 1945年，量子力学的创始人之一薛定谔发表了他的杰作生命是什么？活细胞的物理学观。书中提出，对生命现象进行普遍的物理解释是可能的，他把生命现象归结为少数几个基本物理问题。 薛定谔讨论的第一个问题是：生物体如何维持自身的非平

27、衡态？他的回答是：非平衡态是通过熵从生物体流向周围环境来维持的。薛定谔讨论的第二个问题是：生命体为什么一定要由大量的原子组成？回答是由少量几个原子所构成的系统不可能是有序的，即便有序，也会被热运动的起伏破坏。生命的许多基本问题与熵有着密切的联系。 比薛定谔更早,用热学来讨论生命的人是保尔爱德蒙德（BauerEdmond），他指出：生命是开放的非平衡系统中所发生的一连串过程。 19世纪有两个光辉的演化理论，一个是达尔文的生物进化论，即生物由单细胞向多细胞进化，这是一个朝着有序化方向进行的演化；另一个是孤立系的热力学系统演化论，即熵增加原理，孤立系始终朝着无序化的方向演化。这两个演化论并无矛盾，因

28、为生物系是一个开放系。 二、开放系的熵 生物是一个开放系统，开放系的熵决定于系统内产生的熵、外部流入的熵及系统流向外部的熵的数量。比如，宇航员是一个开放系，其熵的改变由两部分之和决定，一是机体内产生的熵diS，二是流入的熵deS。于是总熵变化为 (2.51)因为，而取决于环境。当开放系统处在非平衡的稳态时，dS=0，故有 (2.52)这表示机体内产生的熵正好全部流出机体。一个发育完全的健康的年轻人，在较长一段时间内保持稳定的体重，就是处在这种非平衡的稳态。发育中的儿童及更年期后的成年人的机体则不再处于这种稳态。 生物机体与外界交换物质时，生物体排泄的熵往往大于生物体吃进的营养物质的熵。因此，总

29、熵仍是增大的，这并不违反热力学第二定律。关于生物体与外界的交换，薛定谔有句名言曰：生物体以负熵为食。 三、生物的生序过程 我们来做一个游戏：在一只箱子中，放有7个颜色不同的球，红、橙、黄、绿、青、蓝、紫。另外有一只袋子，内装有充分多的各种颜色的球。现在，从箱中取一个球让它“死亡”扔掉，不再放回箱子；然后，再从箱中取第二个球，同时从袋中取一个与其颜色相同的球，并将这两个同色球一起放回箱中。第二次从箱中取出的球得到“再生”。依次重复上面的“死亡”与“再生”游戏，最后，箱中的球会变成单一的颜色。这里让我们看到了有序由无序中产生的过程，在生物体中就有这种生序的过程。当然，生物体中的生序过程比游戏要复杂

30、得多。 1958年，贝洛索夫（Belousov）第一次在均质的氧化-还原系统中，看到了一种周期性的化学反应，其中有铈离子从3价到4价之间的周期性振荡，即 由于Ce4+与Ce3+颜色不同，故反应时容器内的液体先由蓝色变成粉红色，后又恢复蓝色，依次交替变化，可维持几千个周期。这种振荡的化学过程也可以作为生物过程的简化模型，它是一种远离平衡的无衰减振荡，人体心脏的跳动就是远离平衡的无衰减振荡。著名的比利时学者普利高津创立的非平衡统计耗散结构理论及哈肯的协同学、自组织作用理论都是旨在从混沌中找到生序的机制。研究生命起源的理论中，最基本的问题也是如何形成有序信息大分子，如何在生命体随机混合中形成遗传短文

31、。 为了说明这一个开放体系有可能使自己的熵不是增加，而是减少，我们就来对地球进行考察。地球接受了太阳的能量，使靠近地面的区域成为较热的区域，地面的上空,则随大气层高度的增加渐渐冷下去，于是在地面上造成了一个有序的生态环境。大气层接受太阳能，又把它几乎全部放回去，并使地球上保持一定的温差区域，为生物的生存、繁衍提供了良好的环境和条件。地球是一个低熵体系，且输出熵。再看看整个大宇宙,它并非接近平衡态，相反有各色各样的结构。星系不断形成偏离平衡的开放模式，在大范围内看不到任何趋向平衡的迹象，这里面引力起了重要作用，它好像是前面游戏中的“死亡”、“再生”法则，能产生从无序走向有序的演化。黑 洞 熵 通常黑洞的信息只有3个，即质量M、电量Q及自转角动量J。对于不带电、无自转的黑洞，则只有唯一的信息 黑洞的总质量M。考虑前面信息与熵的关系，容易想到，黑洞的信息量几乎为零，其熵值一定极大。1973年，贝肯斯坦（Bekenstein）建立了黑洞的热力学理论，提出黑洞的熵SB=A/4。其中，A是黑洞的表面积，由于黑洞的半径为2M，于是 (2.53) 一般情况下，星球物质的熵与其总质量成正比，而黑洞的熵却与总质量的平