选修新编坐标系与参数方程知识点及经典例题

1、坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1 坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给岀简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义2. 参数方程：了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写岀直线、圆和圆锥曲线的参数方程第一讲、平面直角坐标系伸缩变换：设点P（x, y）是平面直角坐标

2、系中的任意一点，在变换xx （0）:的作用下，点P（x,y）对应到点P（x,y），称 为平面直角坐标系yy,（o）.中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出X、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:在一个平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变|换后的图形。/ = I方法2:待定系数法求伸缩变换。|求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其|中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中，求下列图形变换的伸缩变换：、极坐标1. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做 极轴；再选定一个长

3、度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方 向），这样就建立了一个 极坐标系。2点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM |叫做点M的极 径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对（，）叫做点M的极坐标，记为M （,）.极坐标（，）与（，2k ）（k Z）表示同一个点。极点O的坐标为（0, ）（ R）.3. 若0,贝U0,规定点（，）与点（，）关于极点对称，即（，）与（，）表示同一点。如果规定0,02 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的。4. 极坐标与直角坐标的互

4、化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x, y)，( p， 0 ).(1) 极坐标化直角坐标(2) 直角坐标化极坐标方法3:极坐标与直角坐标的互化例：(1) 点M 2, 2 3的极坐标是 2(2) 点M2,的直角坐标是3练：已知点的直角坐标分别为(3, x/3)f (匕西),(?卫)，(-岔-2歯)，求它们的极坐标一三、简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0 , 0)p =丄(0 0 2 n )圆心在点(r, 0)p = 2rcos 0nn(-三 0 2)

5、圆心在点(r,寺)p = 2rsin 0(0 0 n )圆心在点(r ,n )p = 2rcos 0n3 n(2 0T). f (3 n圆心在点(r, -)p = 2rsin_ 0(n 0)和 0=n +a ( p 0)过点(a, 0)，且与极轴垂直p cos 0 = an过点a,，且与极轴平行p sin 0 = a(0 0 n )过点(a, 0)倾斜角为ap sin( a 0 ) = asina(0 0 0, 0 0 2n )表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(p, 9 , z) (z R)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组 (p, B, z) 之间的一种对应关系

6、把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(p , 9 , z)叫做点P的柱坐标，记作 R p, 9, z)，其中p0, 0W 9 2n, z R x=p cos 9(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(p , 9 , z)之间的变换公式为y= p sin 9 .z = z2、球坐标系(1) 定义：一般地，如图建立空间直角坐标系 Oxyz设P是空间任意一点,连接OP记| OP =r, OP与 Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为 Q Ox轴按逆时针方向旋转到 OQ寸所转过的最小正角为 9，这样点P的位置就可以用有序数组(r, , 9 )表示，这样，空 间的点与有

7、序数组(r, , 9)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r, , 9)，叫做点P的球坐标，记作P(r, , 9 ), 其中 r0, 0W Wn, 0 W9 b0)的参数方程是(6是参a by= bs in 6数)，规定参数6的取值范围是0 , 2n ).x = bcos 6y= asin6(6是参2 2(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆g +右=1( ab0)的参数方程是 a b数)，规定参数6的取值范围是0 , 2 n ).(3)中心在(h, k)的椭圆普通方程为x = h + acos 6 (6是参数).y= k+ bsin62.

8、双曲线的参数方程(x-h) 2 +(y k) 2b2则其参数方程为x= asec 6y= btan 6为参数),2 2(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2 y2= 1的参数方程是a bn3 n规定参数 6的取值范围为 6 0 , 2n )且6工丁，6工 丁 .y Xx= btan 6（2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线召一2= 1的参数方程是（6为参数）a by= asec 63. 抛物线的参数方程22X= 2pt（1）抛物线y2 = 2px的参数方程为（t为参数）.y= 2Pt（2）参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.方法1 :参数方程和普通方程的互化

9、五、直线的参数方程1. 直线的参数方程X= Xo+ t COS a经过点M（xo, y。），倾斜角为a的直线丨的参数方程为（t为参数）.y=yo+ tsin a2. 直线的参数方程中参数 t的几何意义（1）参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M的距离.（2）当与e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数当MM与 e反向时，t取负数，当M 与M重合时，t = 0.3. 直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程， 选取的参数不同，会得到不同的参数方程.我们把过点M（xo,X= Xo+ t COS ayo），倾斜角为a的直线，选取参数t = MM得到的参数方程（t为参数）称为直y= yo+

10、 tsin a线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义.bx = xo+ at一般地，过点M（xo, yo），斜率k = -（a, b为常数）的直线，参数方程为（t为参ay= yo+ bt数），称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.方法2 :求直线参数方程方法3:参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思路：将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。方法4:利用参数的几何意义解题六、渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程（1）渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳 子与圆相切

11、，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.（2）圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线 0A为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径x= r （cos 6 + 6 sin 6 ）,为r,绳子外端 M的坐标为（x, y），则有（6 是参数）.这就是y= r （sin 6 6 cos 6 ）圆的渐开线的参数方程.2.摆线的概念及参数方程（1）摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.（2）半径为r的圆所产生摆线的参数方程为x= r （ 6 sin 6 ）,（6是参数）.y

12、 = r （1 cos 6 ）练习1曲线 X 2 5t（t为参数）与坐标轴的交点是（）y 1 2t21115A. (0,)、( ，0)B . (0,)、(，0)C . (0, 4)、8,0) D . (0, )、8,0)52529x1t2xsi ntxcostA.B .11 C 1Dyyyt 2si ntcost2把方程xy 1化为以t参数的参数方程是（)3若直线的参数方程为x tant1tant2t （t为参数），则直线的斜率为（3tA.4 .点(1,2)在圆 X 1 8cos 的() y 8si nA.内部 B 外部C.圆上 D 与B的值有关5 参数方程为A. 条直线1t（t为参数）表示的

13、曲线是（两条直线C一条射线D两条射线x 32cosx 3cos6 .两圆与的位置关系是（y 42si ny 3si nA .内切B.外切C 相离7.与参数方程为x ,F（t为参数）等价的普通方程为y 2、.1t2).D 内含).A .2 xy 14B2.xy41(0x1)22C.2 x1(0 y42)2D . xy41(0x1,0 y 2)x5cos曲线(-）的长度是().y5si n3510A .5B.10CD33点P（x, y）是椭圆2x23y212上的一个动点，则x2y的最大值为28.9.A. 2 .2 B . 2、3 C . .11 D .22).10.直线A. (3,11若点A. 2

14、12 .直线12tL （t为参数）和圆2x216交于A, B两点，贝U AB的中点坐标为).3) bP（3,m）在以点.(.3,3) CF为焦点的抛物线.(3,3) D . (3, ,3)4t （t为参数）上，则|PF |等于（）.4tt（t为参数）被圆（x3)2(y 1)225所截得的弦长为（.401 C4.82 d.93 4 3ttx e e13 .参数方程（t为参数）的普通方程为 y2（et et）x14.直线22t_(t为参数)上与点A( 2,3)的距离等于 J2的点的坐标是3,2t15.直线tcosx 4 2cos与圆相切，则tsiny 2sin16设 ytx(t为参数)，则圆x2 y2 4y 0的参数方程为17求直线t - (t为参数)和直线l2 -x5、3ty 2. 3 0的交点P的坐标，及点P与Q(1, 5)的距离.18 已知直线|经过点P(1,1),