冀教版九年级数学上册知识点

1、精品文档 23章数据分析 23.1平均数和加权平均数 1、一般地，我们把n个数X1,X2,.,Xn的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称 平均数，记作x，读作拔”即X(Xi .Xn). n 2、已知n个数Xi,X2,.,Xn，若Wi,W2,.,Wn为一组正数，则把 X1W1X2W2.XnWn 叫做n个数X1, X2,., Xn的加权平均数，W1 ,W2,., Wn分 W1W2.Wn 别叫做这n个数的权重，简称权。 23.2中位数和众数 1、 一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做 这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫

2、做这组数据 的中位数。 2、 一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一 个，也可能没有众数。 23.3方差 设n个数据X1 , X2,., Xn的平均数为x ，各个数据与平均数偏 差的平方分别是 (x1 x)2,(x2 X)2,.,(Xn X)2。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用s2表示，即 2 2 2 -(X1 x)(X2 x) . (Xnx) n 当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小 反映了数据波动(或离散程度)的大小。 23.4用样本估计总体 由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量， 不同样本的平均数一

3、般也不同；当样本容量较 小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时， 样本的平均数的波动变小， 逐渐趋于稳定， 且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样 的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24章一元二次方程 2的整式方程，叫做 元二次方程。一元 24.1 元二次方程 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 .次方程的一般形式为 ax bx c 2 0(a0).其中，ax是二次项, a是二次 项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方 程的根。 24.2解一元二次方程 1、配方法：通过配方，把一元二次

4、方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为 常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求 出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两 边同时加上一次项系数一半的平方。 2、对于一元二次方程 ax2 bx c 0 : 2 当b 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根； 当b2 4ac 0时，方程没有实数根。 我们把b2 4ac叫做一元二次方程 ax2 bx c 0的根的判别式。 3、当b2 4ac 0时，一元二次方程ax2 bx c 0的两实数根可以用 x b 2a4a

5、c求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元 .次方程的方法叫做公式法。 4、因式分解法：把一元二次方程的 一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积，进而 转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。 be c ,Xi ? X2 aa 24.3 一元二次方程根与系数关系 如果一兀次方程 ax bx c 0的两根分别为xi, x2，那么xi x2 24.4 一元二次方程的应用 25章图形的相似 25.1比例线段 1、如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为 m和n，我们就把m和n的比叫 做线段a和b的比，记作a: b m: n，或-m。 b n a c 2、在四条线段

6、a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，我们就把这四条 b d 线段叫做 成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 3、比例的基本性质 如果a b c，那么ad d be。 如果ad bc,那么旦 ( b,d 0) b d 特别地， 如果a b 2 即 b ac, 就把 b叫做a,c的比例中项。 b c a c m ,a c . m 如果一 k ,那么 k b d n b d . n 4、黄金分割 AC bc 在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段 AC和BC满足，那么 AB AC 称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB AC A 的黄金分割点，AC称为

7、黄金比。黄金比 AB AC .5 1 0.618 AB 2 每条线段上的黄金分割点都有两个。 25.2平行线分线段成比例 (1) 基本事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。 对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段(AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对 应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 AB DE AB DE BC EF BC EF，AC DF，AC DF (2) 推论1 ，所得的对应线段成比例。 A 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) AD AE AD AE BD CE AB AC，DB EC，AB AC

8、 (3) 推论2 在厶 ABC 中，DE / BC , AD AB AE DE AC BC 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的 三角形与原三角形的对应边成比例。 25.3相似三角形 (1) 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫 做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 (2) 利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所截得的三角形与原三角形 相似。 25.4相似三角形的判定 相似三角形的判定定理 (1) 两角对应相等的两个三角形相似。 D A B

9、 E C F l1 l2 l3 (2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3) 三条边对应成比例的两个三角形相似。 (4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 25.5相似三角形的性质 相似三角形的性质定理 (1 )相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 25.6相似三角形的应用 25.7相似多边形和图形的位似 （1）形状相同的图形称为 相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比 例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们

10、的相似比。 （2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或 重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这 时的相似比又称 位似比。 （3 ）位似图形的画法 确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）； 选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线; 根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点; 顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。 26章解直角三角形 26.1锐角三角函数 1、如图，在Rt ABC / A的对边与邻边的 中，/ C=90 比叫 tan A sin A cos

11、A A的对边 a A的邻边 b 寸边与斜边 的比叫 做/ A 的正弦，记作 sinA , 即 A的对边 a 斜边 边与斜边的比 c 匕叫做 / A 的余弦，记作 cosA, 即 A的邻边 b 斜边 c 做/ A 的正切，记作 即 tanA , 的網边 2、一些特殊角的三角函数值 30 45 60 sin a 1 42 2 2 2 cos a 血 旦 1 2 2 2 tan a 卫 3 1 3、在直角三角形中，锐角a的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都 是唯一确定的；当锐角 a变化时，相应的比值也会发生相应的变化。 我们把锐角a的正弦、余弦和正切统称为 a的三角函数。 ” ，2

12、22QQQ 为方便起见，今后将sin , cos , tan 分别记作sin ,cos,tan 26.2锐角三角函数的计算 26.3解直角三角形 1在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已 知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2、在 Rt ABC 中，/ C=90 三边之间的关系是a2 b2 c2 ； 两锐角之间的关系是 边角之间的关系是 A B 90 ； sin A A的对边 斜边 cos A A的邻边 斜边 tan A A的对边 a A的邻边 b 在边角之间的关系中，将/ A换成/ B，同时将a,b交换，即可得到/ B与边之间的关系式。 ，

13、就可以求出其他三个 根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） 26.4解直角三角形的应用 我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度I的比h叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平 I 面的夹角a叫做坡角。显然，tan l 27章反比例函数 27.1反比例函数 k 一般地，如果变量 y和变量x之间的函数关系可以表示成y （k为常数，且k 0）的形 x， 式,那么称y为x的反比例函数，k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于 0的实数。 27.2反比例函数的图像和性质 k 反比例函数y（k为常数，且k 0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这 x 样的曲线叫做双曲线。 k 对

14、于反比例函数 y ，当k0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值随 x x的值增大而减小；当 k0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的 值增大而增大。 27.3反比例函数的应用 28章圆 28.1圆的概念及性质 （1）平面上，至U定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心， 这条定长叫做圆的半径。 （2 ）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心 是它的对称中心。 （3 ）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直径。 （4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够

15、完全重合的两 条弧，这样的一条弧叫做半圆。 （5 ）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 （6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。 28.2过三点的圆 （1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。 （2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的 外心。 28.3圆心角和圆周角 （1）顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。 （2 ）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。 （3） 在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要 有一组量相等，其他两组量就分别相等。 （4）顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 （5）圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 （6）直径所对的圆周角是直角。 90的圆周角所对的弦是直径。 （7）同弧所对的圆周角相等。 （8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接