导数在实际中的应用资料

1、导数在实际中的应用 中文摘要： 导数是连接初等数学与高等数学的桥梁 ,用它可以解决许多数学问题 ,它是数 学分析中的热点 导数是微分学中重要的基础知识 , 是研究函数解析性质的重要手段 , 在求函数的极值 ,最值方面起着“钥匙”的作用通过例题从简单应用和综合应用来说明导 数的应用 ,如在函数单调性、极值 ,不等式证明、实际问题应用介绍导数是探讨数学乃 至自然科学的重要的、 有效的工具之一 ,它也给出了我们生活钟很多问题的答案 经过大 学的课程 ,我们对微观经济学一些概念 ,也有了一定的认识 关键词： 导数；初等数学；高等数学；应用 Abstract： Based on the basic th

2、eories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional

3、 monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by dif

4、ferential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The derivative is one of important, effective tools

5、 of mathematics and natural science, it also gives us life clock answers to many questions. After the university curriculum, we on the microeconomic concepts, also has a certain understanding.The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life

6、 will both be illustrated in this paper. Keywords：derivative; elementary mathematics; higher mathematics; approximation 1. 引言 第 1 页 共 14 页 导数与微分的知识和方法在数学的许多问题上 , 能起到以简驭繁的作用 , 尤其体现 在判定函数相关性质 , 曲线的切线 , 证明不等式 , 恒等式, 研究函数的变化形态及函数作 图上.导数是微分学中重要的基础知识 , 是研究函数解析性质的重要手段 , 在求函数的 极值,最值方面起着“钥匙”的作用 . 通过大学的课程 , 我

7、们对微观经济学 一些概念 ,也 有了一定的认识 . 由导数定义 f (x) lixm0 f (x0 x) f (x0) 利用极限与无穷小量之间的关系 , 上式可写 y f x0 x f x0 f x0 x ( x) 即函数在 x0处的改变量 y课表示成两部分： x 的线性部分 f x0 x与 x的高阶无穷 小部分 x . 当 x 充分小时 , 函数的改变量可由第一部分近似代替 y f x0 x 而 计算函数改变量的精确值 ,微分概念依赖于导数概念 ,但它具有独立的意义 , 它是函数的 局部线性化 . 在数学上最容易处理的函数是线性函数 , 借助微分可使一大批非线性函数 转化为线性函数 .一般来

8、说是较繁琐、 较困难的,但是计算它的近似值相对要容易些 . 导 数知识是学习高等数学的基础 , 它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛 的应用. 导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的 , 同时有促进了生产技术和自然 科学的发展 , 它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用 , 而且在日常生活及经济领 域也是逐渐显示出重要的作用 . 导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、有效的工具之 一,他也给出了我们生活中很多问题的答案 . 通过例题从简单应用和综合应用来说明导 数的应用 ,如在函数单调性、极值 , 不等式证明、实际问题应用介绍 . 诸如生活中的有关 环境问题、工程造价最省、容积

9、最大等 , 本文将介绍如何将生活中的有关数学问题转化 为相关的导数问题来求解 , 以此说明如何应用所学数学知识灵活应用于生活 . 2. 导数的概念 第 2 页 共 14 页 2.1 定义 x x0 导数的定义为 , 当自变量的增量趋于零时 , 因变量的增量与自变量的增量之商的极 限. 左导数： f (x) limylimf (x x)f (x) limf (x)f(x0) x 0 xx 0 x x x0 xx0 导数的定义： f (x) lim y lim f(x x) f (x) lim f (x) f(x0) x 0 x x 0 x x x0 x x0 右导数： f (x) li lim

10、y lim f(x x) f (x) lim f(x) f (x0) x 0 x x 0 x x x0 f (x) A f (x) f (x) A 可以证明：可导 连续 即：可导是连续的充分条件 , 连续是可导的必要条件 导函数： f (x) ylimylimf(x x)f(x) x 0 x x 0 x 2.2 导数的几何意义 T x 曲线 y f (x)在点 x0处的导数 f(x0) 在几何上 表示为：曲线 y f(x)在点 A(x0,y0)处切线的斜率 即 f (x0) tan ( 是过 A 点的切线的倾斜角) (如图 1) 则,曲线 y f(x)在点 A(x0,y0)处切线方程为： y

11、y0 f (x0)(x x0) 3. 导数的求 3.1 显函数导数 3.1.1 导数的四则运算 ( 1) (u v) u v ( 2) (uv) uv vu 第 3 页 共 14 页 u 3) (u) uv vu v v2 3.1.2 复合函数与反函数求导法则 yxyu ux (y u x) 复合函数求导法则 1 yx xy 反函数求导法则) 3.1.3 基本初等函数求导公式 (c) 0(c为常数 )； (x ) x 1 ； (ax) ax lna； x x 1 (ex) ex ； (log a x) xln1a； 1 (ln x) ； x (sin x) cosx ； (cos x)sin

12、x ； 1 (tan x) 2 ； cos x 1 (cot x) 2 ； sin x (arcsin x) 1 2 1 x2 1 ( ar c cxo s ) 1 x2 ( ar c txan 1) x2 ； 1 (arccot x) 2 1 x2 3.2 隐函数导数 如方程 F(x,y) 0,能确定 y y(x), 只需对方程两边对 x 求导即可 . 注意 y y(x). 3.3 由参数方程所确定的函数求导法 x (t) 参数方程 x (t),( (t) 0,x(t)存在反函数 t1(x), y (t) 则： y为 x的复合函数 , y 1(x) ,所以： yx yttx xt(t) 3.

13、4 分段函数的导数 对分段函数求导时 , 在分段点处必须用导数定义来求导 , 而在每段内仍可用初等函 数求导法则来求导 .分段函数点处极限问题 ,归纳为该点处在左、 右两侧的导数是否一致 以及该点处是否连续的问题 . 第 4 页 共 14 页 4. 导数的性质 性质 1：若函数 y f (x)是偶函数且可导 ,则其导函数 y f (x)是奇函数 . 若函数 y f ( x)是奇函数且可导 ,则其导函数 y f(x)是偶函数 . 性质 2： 若函数 y f (x)是周期函数且可导 ,则其导函数 y f (x)也是周期函数 . 性质 3：若函数 y f (x)可导且图象关于直线 x a对称,则其导

14、函数 y f (x)图象 关于点 (a, f (a) 对称. 若函数 y f ( x)可导且图象关于点 (a, f (a)对称,则其导函数 y f(x)图 象关于直线 x a 对称. 5. 导数的应用 5.1 导数在函数中的应用 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展 ,导数是研究函数单调性极佳、 最佳的重要 工具 ,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面.在掌握求函数的极值和 最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题 . 5.1.1 利用导数判断函数的单调性 一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律 , 是在研究函数图形时首先考虑的 问题.在中学

15、,已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义 .下面利用导数这一工具来 图2 判断函数增减性及其确定单调区间 , 从图形直观分 析：若在 (a,b)内, 曲线上每一点的导数都大于 0, 即 f(x) 0, 利用导数的几何意义知 ,在(a,b)内, 曲线 上每一点的切线斜率都为正 , 这时曲线是上升的 ,即 函数 y f ( x)是单调递增的(如图 2).反之, 若在 (a,b)内, 曲线上每一点的导数都小于 0(即曲线上每 一点的切线斜率都为负) , 这时曲线是下降的 , 即函 第 5 页 共 14 页 数 y f (x) 是单调递减的(如图 3)对于上升或者下降的曲线 ,它的切线在个别点可能平

16、 行于 x轴(此点的导数值为 0,即 f (x) 0 ).因此,函数的增减性反映在导数上 ,有如下 定理： 3 定理 1 ：设函数 f (x) 在区间 (a,b)内可导, 则： 若 x (a,b)时恒有 f(x) 0, 则 f(x)在 (a,b)单 调增加; 若 x (a,b)时恒有 f(x) 0, 则 f(x)在 (a,b)单 调减少. X 图3 例 1：求函数 f (x) xcosx sin x(x 0) 单调递增区 间. 例 2： 已知函数 f(x) x2eax(a 0,e为自然对数的底数 ),试讨论函数 f (x)单调性. 分析：引进导数这一工具之前 ,判断函数单调性的一般方法是定义法

17、 . 此题利用定义 法就无法的出答案 ,而有了导数之后 ,问题就易解决了 . (此题是 04年湖南高考题) 5.1.2 利用导数判断函数凹凸性及拐点 在研究函数图形的变化状况时 , 知道它的上升和下降顾虑很有好处 , 但不能完全反 映它的变化规律 . 定义 1：在某区间内 , 若曲线弧位于其上任意一点的切线上方 , 则称曲线在该区间内 是上凸的(也称在该区间内此函数为凹函数) ;在某区间内 ,若曲线弧位于其上任意一点 的切线下方 , 则称曲线在该区间内是下凹的(也称在该区间内此函数为凸函数) 那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？ 按定义是很难判断凹凸性的 , 对于凹凸性可以用二介导数来确

18、定. 即有判定定理 . 定理 2 ： 设函数 y f (x) 在 X 当 f(x) 0时, 则曲线为凸 图4 区间 (a,b) 上具有二介导数 , 第 6 页 共 14 页 此时在该区间为凹函数) 当 f (x) 0时, 则曲线为凹(此时在该区间为凸函数) 通过图形的直观性来说明该定理的正确性(如图 4) 若曲线 y f ( x)呈现凸状 , 由图 4(1)直观看出：当 x增大时, 切线斜率随之变小 说明一介导数函数 f (x)在(a,b)上为减函数 ,由函数单调性判别法 ,必有f (x) 0,即 f(x) 0.说明：若曲线为凸性 ,必有 f(x) 0.同理,若曲线为凹 ,必有 f(x) 0.

19、 从另一角度讲 , 该定理为二介导数的几何意义 . 定义 2：若函数 f (x)在点 x x0的左右邻域上凹凸性相反 ,则点 (x0, f (x0)叫做曲线 的拐点(注意拐点不是 x0 ) 由拐点的定义可知 , 判断某点是否拐点 , 只需看该点左右两侧二介导数是否异号 , 与 该点一介、二介导数是否存在无关 例 3：求函数 y 3x4 4x3 1 的凹凸区间及拐点 . 5.1.3 利用导数求函数的极值和最值 (1) 利用导数求函数的极值 函数由增加变为减少或由减少变为增加 ,都经过一个转折点 , 即图中的“峰”点和 “谷”点 ,这些点是在研究函数中是十分重要的 . 定义 32 ：设函数 f (

20、x)在点 x x0及其某邻域左右两侧附近有定义 , 若对该邻域内的 任意点 x( x x0)恒有 f(x) f(x0),则 f(x0)为极大值;若 f(x) f(x0)成立,则 f(x0)为 极小值. x0 y b)极 小 值 情 形 应当注意：极值是一个局部 概念, 它只限于 x0的某一邻域内 通过函数值相比较才能显示出 来. 在一个区间上 , 函数可能有 几个极大、极小值 . 可能会有极 大值小于极小值 . 极值点和导数的关系如 图5 第 7 页 共 14 页 y 1) y 2) 图6 函数 f(x) 在导数不存在的点也可能有极值 1 .如 y x3 y |x 0不存在 ,但 何？由图 5

21、 可知： 2 定理 32 ：若x0是函数 f(x) 的极值点, 则 f(x0) 0 或者 f (x0) 不存在 . 注意： f (x0) 0 是点 x0 为极值点的必要条件 , 如 y x3, y 3x2, y |x 0 0但 (0,0) 点不是函数极值点 ; (0,0) 点不是函数极值点(如图 6) 将导数为 0 的点或者不可导的点统称为驻点 . 因此函数的极值必在驻点处取得 , 但驻 点不一定是极值点 ,所以在求得函数极值的驻点后 , 就是找到了所有极值可疑点 定理 4 ：(极限存在的充分条件之一) 设 f 在 x0连续,在某邻域 Uo(x0; ) 内可导 , 若 x (x0 ;x0) (

22、 x0左侧)时 f (x) 0, 而x (x0;x0 ) ( x0右侧) f(x) 0, 则函数 f(x)在 x0处取极大值 f(x0) 若 x (x0 ; x0 ) ( x0左侧)时 f(x) 0,而 x (x0;x0 ) ( x0右侧)时 f(x) 0, 则函数 f(x)在 x0处取极小值 f(x0) 若 x0两侧 f(x)不变号,则 f(x)在 x0处无极值. 该定理的直观含义为： 函数由单调增加 (或单调减少) 变成单调减少 (或单调增加) 的转折点 , 即为极大值点(或极小值点) . 32 例4 ：求函数 f(x) x 3 x3的单调区间和极值 2 第 8 页 共 14 页 例 5

23、：求函数 f（x） （x2 1）3 1的极值. （2）利用导数求函数的最值 在经济活动和日常生活中 , 常遇到在一定条件下 .怎样用料最省、成本最低、效率最 高或者效益效率最好的问题 , 这些归纳到数学问题上 ,即为函数的最大值或最小值问题 . 最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态 , 即极值只是与该点在附近的函数值 比较而言的 ,而对于远离该点的情形不予考虑 ; 而最值则是函数整体形态的反映 , 它是指 函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者） . 例 6 ：求函数 y sin（2 x） x在区间 , 上的最大、最小值 . 22 例 7 ：已知a 0,函数 f（x） （x2

24、2ax）ex ,当x为何值时, f （ x）取得最小值？证明你 的结论. （3）利用导数求函数值域 求函数的值域是中学数学的难点 , 下面介绍利用高中教材新增加内容 - 导数来求 解值域 例 8：求函数 y 2x 4 x 3 的值域 . （4）实际问题中导数的应用 例 9 4 ：（ 2004年全国高考题）甲方是一农场 ,乙方是一工厂 , 由于乙方生产须占用 甲方的资源 , 因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入 . 在乙方不 赔付甲方的情况下 ,乙方的年利润 x（元）与年产量 t（吨）满足函数关系式 x 2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s元（以下称 s 为赔

25、付价格） . （1）将乙方的年利润 w （元）表示为年产量 t （吨）的函数 , 并求出乙方获的最大 利润的年产量 ; （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y 0.002t2（元）, 在乙方按照获得最 大利润的产量进行生产的前提下 , 甲方要在索赔中获得最大净收入 , 应向乙方要求的赔 付价格 s 是多少？ 5.1.4 利用导数知识描绘函数图形 为有助于某些函数图形的描绘 , 下面介绍曲线的渐近线 . （ 1）曲线的渐近线 第 9 页 共 14 页 定义 4 2 ：若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时 , 该点与某天直线的距离趋于 0, 斜渐近线 若xlim f (x) (ax b) 0

26、 成立 x 则 y ax b 是曲线的一条斜渐近线 则称此直线为曲线的渐近线 水平渐近线 若曲线 y f (x) 的定义域是无限区间 , 且有： lim f (x ) b, 或 x lim f (x) b, 则直线 y b为曲线 y f ( x)的水平渐近线 . x 垂直渐近线 若曲线 y f(x)有： lim f(x) ,或lim f(x) ,则直线 x c为曲 x c x c 线 y f (x) 的垂直渐近线 . 面介绍求 a, b的公式 . 由 lim f (x) (ax b) 0 有： x 所以 lim f(x) a b 0 x x x 即 a lim f (x) xx xlim x

27、f(x) x a b 0 将 a lim f (x) 求出并代入 lim xx f(x) (ax b) 0即可确定 b lim f (x) ax xx 2 例 10：求曲线 y xx 1 的渐近线 (2)函数图形的作法 导数未纳入高中教材时 , 做图形主要依靠描点作图 , 这样的图形比较粗糙 .导数的出 现能更好的反应出导数的各种性态 . 描绘图形的一般步骤如下 1 ： 确定函数的定义域、值域及函数初等形态(对称性、周期性、奇偶性)等 求出 f(x), f (x); 列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点 确定曲线的渐近线 ; 由曲线方程找出一些特殊点的坐标 ; 用光滑曲线连接 , 画出 y

28、f (x)的图象 . 第 10 页 共 14 页 例 11：作函数 y 4(x2 1) 2的图形 x 5.1.5 利用导数求参数问题 利用导数求函数中参数的范围 , 它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸 . 例12 (：05湖北理)已知向量 a (x2,x 1), b (1 x,t),若 f (x) a b在区间(-1,1) 上是增函数 ,求t的取值范围 . 5.2 导数在曲线中的应用 曲线 y f(x)在点 x0处的导数 f (x0)在几何上表示为：曲线 y f(x)在点 A( x0, y0 )处 切线的斜率 . 即 f (x0) tan . 3 例 13 ：已知抛物线 c1: y x

29、2 2x 和抛物线 c2 :y x2 a,当 a 取何值时 , c1和 c2有 且仅有一条公切线？写出公切线的方程 . 5.3 利用导数研究方程的根 1 例 14：已知 f(x) lnx,g(x) x ,是否存在实数 k,使方程 1 g(x2) f(1 x2) k有四 2 个不同的实数根 ,若存在,求出k的取值范围 ;若不存在,说明理由 . 5.4 应用导数证明不等式 利用高中新增内容的导数来证明不等式 , 关键是“构造函数” , 解决问题的依据是函 数的单调性 ,这一方法在高等数学中应用的非常广泛 , 体现了导数的工具 ,也是与高等数 学接轨的有力点 . 例 15：若x 1,证明： ln(x

30、 1) x 3 例 16 ：已知函数 f (x) ln(1 x) x, g(x) xln x, 设 0 a b, 证明: 0 g(a) g(b) 2g(a b) (b a)ln 2 5.5 导数在数列中的应用 第 11 页 共 14 页 例 17： 已知函数 f(x) 2x 2 x,数列an 满足 f (log2 an ) 2n (1)求 an ; (2)证明数列 an 是递减数列 5.6 利用导数求极限洛必达法则 5.6.1 “ 0 ”型和“ ”型 0 定理：若函数 f (x)与 g(x)满足条件： 1) xlima f (x) xlima g(x) 0(或 ), (x ) (x ) 2) f (x),g(x)存在, 且 g(x) 0, 3) lim f (x) 存在. (xx a ) g(x) 则必有： f(x) limlim x a g(x) x a (x )(x ) f (x) g(x) 例 18：求 lim x0 xx e e 2x x sin x 5.6.2 其他形式 0 洛必达法则只适应于“ 0”型和“ ”型, 对于其他式子 ,需要