微分几何第四习题答案梅向明

1、1 曲面的概念1.求正螺面 rr = u cosv ,u sinv, bv 的坐标曲线 .r解 u-曲线为 r=ucosvo ,u sinvo,bv = 0,0 , bv + u cosvo, sinv,0,为曲线的直母线；v-曲线为r = uo cosv, uo sinv,bv 为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直 母线证 u-曲线为 r = a (u+v0) , b (u- v0) ,2u v0= av0, bv0,O+ ua,b,2 v0表示过点 a vo, b Vo,O以a,b,2 Vo为方向向量的直线;v-曲线为

2、 r = a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v = au0, bu0 ,0 +va,-b,2 u表示过点（au。，b u,0）以a,-b,2 u。为方向向量的直线。法线方程为sin , a cossin ,asin,a cos ，上任r =:意点的切平面a cos sin至和法线方程,a cos cos,asinsina coscosy a cossinz a sina sincosa sinsina cos0a cossina coscos0sin + zsi n-a = 0cosya cos sinzasi n3 .求球面r =a cos解 r = a si

3、n cosx任意点的切平面方程为sin,0x a coscos sin即 xcos cos + ycoscoscos24.求椭圆柱面务a2工b21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面2解椭圆柱面笃a2y_1的参数方程为 x = cos , y = asi n , z = t ,r a sin,b cos ,0,rt 0,0,1。所以切平面方程为:x a cosa sin0y bsinb cos00，即 x bcos + y asin a b = 0此方程与t无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个

4、切平面。3证ru1,0,即，u Vxyuv33 z 30u va与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2 3uv)o于是，四面体的体积为:163|u|3|v|3a3r3是常数35.证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常UV数。30,1,二。切平面方程为:uv 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r = a (u+v) , b(u-v) ,2uv的第一基本形式解rua, b,2v, g a, b,2u, E2 2 . 2 ru a b4v .求正螺面r = ucosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互 相垂直。

5、2解ru cos v,si nv,0, g usi nv,ucosv, b , Eg 1 , F ru m 0 ,G rv2 u2 b2 , I = du2 (u2 b2)dv2 ,tF=0,.坐标曲线互相垂直。,Frurv a2 b2 4uv, G rv2 a2 b2 4u2, I =2 2 2 2 2 2(a b 4v )du 2(a b4uv)dudv(a2 b2 4u2)dv24. 设曲面的第一基本形式为I = du2 (u2 a2)dv2，求它上面两条曲线u + v =0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面

6、的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1，Fv 0，G u2 a2 ,曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E 1，Fv 0， G a2。曲线u + v = 0 的方向为du = -dv , u - v = 0 的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为，则有2Edu u Gdv u1 acos =-。VEdu2 Gdv2jEu2 G v2 1a5. 求曲面z = axy上坐标曲线x = x 0 ,y = y0的交角.解 曲面的向量表示为r =x,y,axy, 坐标曲线x = x 0的向量

7、表示为r = x,y,ax y ，其切向量ry=0，1，ax。；坐标曲线y = y的向量表示为r =x ,y ,ax y，其切向量.=1，0，ay，设两曲线x = x 0与y = y的夹角为，则2有cos6.解=rx rya x0 yo1 rx |ry 1.1 a2x(2 1 a2y(2求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v，则有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的 正交轨线的微分方程为ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲

8、线的正交轨线的微分方程为 FS u + G S v = 0 .7. 在曲面上一点，含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2 =0,确定两 个切方向(du : dv)和(S u : Sv )，证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0,则所给二次方程可写成为P(虫)2 +dvduduuduuR2Q + R=0 ,设其二根一，一，贝U=dvdvvdvvP向垂直的条件知EH +F(巴+上)+G = 0dv vdv v将代入则得ER - 2FQ + GP = 0 .duu2Q+ =又根据二万dvvP8.证明曲面的坐标曲线的二

9、等分角线的微分方程为Edu2 =Gdv2.证 用分别用5、d表示沿u 曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号,即沿u 曲线S u0,5 v=0，沿v 曲线 u=0,v 0.沿二等分角轨线方向为du:dv，根据题设条件，又交角公式得2 2 2(Edu v Fdv u) (Fdu v Gdv v) 即(Edu Fdv)2 . 2Z 2，即E u ds2 2G v ds2(Fdu Gdv)。展开并化简得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F20,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9 .设曲面的第一基本形式为du2 (u2a2)dv2，求曲面上三

10、条曲线u =v =1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。 线围城的三角形的面积是0S= . u2a1du dvuaau20 1a2du dvuaav,a=2：-? u0 1a2du dv=2 (1u0au)、u2aa2 du3=敎2a2)2 u u2 a2 a21n(u u2 a2) |a= a 2 U 1、 u 2/2(1厂)二 du (u22 ln(1 2) o310.求球面 r=acos sin , a cos sin , a sin 的面积。解 r = asin cos , a sin sin , a cos , r = a cos sin ,acos cos

11、,0E = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G = r2 = a2 cos2.球面的面积为：2 a2 sin |24 a2.22S = 2 dau u 1 cos2 d 2 a2 2 cos d2 02和旋转曲面r =tcos ,tsin11.证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v(t1, 02 )之间可建立等距映射=arctgu + v , t= - u21 .1)(du dv)21 u2u2u1)du22 du21 u22dudv (u22 2 2 21)dv =2du +2 dudv+( u +1) dv = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu +

12、 v , t =. u21分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+ v , t= . u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式证明 螺面的第一基本形式为l=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2,旋转曲面的第一基本形式为I=t2:(12 )dt2 t2d ,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v ,t 1t = 、u21 ,则其第一基本形式为： 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解

13、 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,Eru = cosh u, F ru rv=0, G rv =cosh u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 .cosh u cosv, cosh u s in v, s in hus inv,n = Jr_VEG F2 cosh2 uL= _coshu1, m=0, N= _coshu

14、=1 .tsinh2 1sinh2 1所以 II = -du2+dv22.计算抛物面在原点的2x3 5x； 4X1X2 2x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示为r2,討2 2x1x2 X；,、1,0,5x12x2 (0,0)1,0,0 , rx20,1,2x12x2(,) 0,1,0 , g 0,0,5,G20,0,2 , rX2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,22221= dx1dx2, II= 5dx14dx1dx2 2dx2.3. 证明对于正螺面 r =u cosv,u sinv,bv,- gu,vx处处有

15、EN-2FM+GL=。解 ru cos v, sin v,0, rv u sinv, ucosv,b , ruu =0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0,rw =-ucosv,-usinv,0,E1 , F 4 50 ,Gr：u2 b2 , L= 0, M = b , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2 b214. 求出抛物面z -（ax2by2）在（0,0）点沿方向（dx:dy）的法曲率.解X 1,O,ax（o,o）1,0,0,ry 0乙 by（o,）0,1,0 , 口 0,0,a, * 0,0,0ryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=

16、a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 kn adX2 彎 dx dy5. 已知平面 到单位球面(S)的中心距离为d(0d1),求 与(S)交线的曲率 与法曲率解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半径为,1 d2 ,即(C)的曲率为1 d2 ,所以1k i二,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于1 d2(C)的法曲率为kn6.利用法曲率公式kny证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基2 2Ldu 2Mdudv NdvEdu2 2Fdudv Gdv2R或计，所以卡M G( R 即第一、第本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其

17、曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv类基本量成比例。7 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面 r =u cosv,u sinv,bv，ru cos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b， ruu=0,0,0 ， rvv=-ucosv,-usi nv,0L=詈響=0 N= 注=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。8. 求曲面z xy2的渐近线.2 2 2 22xy , G ry 1 4x y .解曲面的向量表示为 r xyxy2,.1,0, y2, r

18、y 0,1,2xy, *0,0,0,rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rx21 4y4,F rx gL 0,M1 4x2；2 y4 ,N 1 4x2y2 y4渐近线的微分方程为Ldx2 2MdxdyNdy2 ,即 4ydxdy 2xdy20, 一族为 dy=0,即yC1,C1 为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 Inx2yc?,或 x2yc,c 为常数.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C) 的主法向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主 法线曲面上

19、是渐近线.方法二：任取曲线(s)，它的主法线曲面为S:r(s,t)r (s)rt (s)，rs r(s) t&(s) r t(rr r r)(1 t ) t ， t(1 t )r在曲线上，t = 0 ,sr,曲面的单位法向量r，即 n r，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网.证 曲面的向量表示为r =x,y, f(x)+g(y),x= 常数,y=常数是两族坐标曲线rx 1,0, f , ry0,1, g. L 0,0, f , rXy 0,0,0,二0,0, g,x=吊数，y=吊数因为M Lry0,所以坐标曲线构成共

20、轭网，即曲线族xy止G乍7构成共轭网。11. 确定螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率线.解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b ，ruu=0,0,0rvv =-ucosv,-us inv,O2ruv =-sinv,cosv,0, Eru1 , Fru rv0 ,r；u2F，L=0, M= _ubf，N=0,曲率线的微分方程为:dv210dudv0b.u2 b2du2u2 b200,即 dv17u2 b2du 积分得两族曲率线方程：ln(u.u2 b2)G 和 v ln(、u2b2u)C2.12.求双曲面z=axy上的曲率线2 2y ,

21、F a x,G|2x2 ,L 0,M,N=0 .2 2a ydy22 21 a xdxdy2 2 2a x ya2 2 2 2 a x a ydx22a x=0 得(1 a2y2 22)dx2(1a2x2)dy2,积分得两族曲率线为ln(ax 1 a2x2)In (ay, 1 a2y2) c.13.求曲面r -| (u v),b (u v)上的曲率线的方程.2 .2 2解 e a b v ,F42 ,2 2 ,2 2a b uv a b u,G -44,L0,abM= 2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是EG F2(a2 b2 u2 )dv2 (a2 b2 v2)du2,积分得

22、：ln(u - a2b2 u2) ln(va2b2 v2) c .14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 定角,求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲率线,所以沿L有dnndr ,又沿L有？n=常数,求微商得 n 一 n 0,而n/dn /dr与 正交，所以 n 0,即- n =0,则有 =0,或 n =0 .若=0,则L是平面曲线；若 n=0 , L又是曲面的渐近线，则沿L , n=0 , 这时dn=0 , n为常向量，而当L是渐近线时， =n，所以 为常向量，L是一 平面曲线证法二：若n，则因n d? II r，所以n II ，所以dn II &由伏雷r r

23、r内公式知dn I ( r )而L是曲率线，所以沿L有dn I r ,所以有=0,从而 曲线为平面曲线；若 不垂直于n，则有？n=常数，求微商得- & 0,因为L是曲率线，所 以沿L有dn II dr ，所以r & 0，所以 n 0，即- n =0，若=0，则问题得证；否则 n =0，则因n r 0，有n I ， dn II dr |( -) I r ，矛盾。15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上题结论知正确。16 .求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为r=ucosv,usinv

24、,bv.解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b， ruu=0,0,0，rw =-ucosv,-us inv,02ruv =-s inv ,cosv,0,Eg 1 ， Fru rv0 ，G rv2 U2 b2，L= 0, M =占，N =。，代入主曲率公式(EG-F2)(LG-2FM+ENn + LN- M 2 = 0 得N2(u所以主曲率为17. 确定抛物面z=a(x2 y2)在(0, 0)点的主曲率.解 曲面方程即 ryy 0,0, 2a，r x, y,a(x2 y2)，rx 1,0, 2ax ry 0,1,2ay， rxx 0,0, 2a，L

25、0,0,0, k 0,0, 2a。在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 丄=2a ,M=0 ,N=2a .所以N -4a n +4a2=0，两主曲率分别为1 = 2 a ,2 = 2 a .18. 证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1 、2，任给一方向及与其正交的方向+ 2，则这两方向的法曲率分别为n()21 cos22 sinn (2)1 cos2(2)2 sin2(2).21 sin22 cos，即n( ) n(2)12 为常数。19. 证明若曲面两族渐近线交于定角，则主曲率之比为常数证 由n 1 cos22 sin2得tg2

26、,即渐进方向为21 arctgj ,2=-arctgj .又-2+ 1=2 1为常数，所以为1为常数，即丄为常数.220. 求证正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知.21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=O,H= 竺 2FM 2 NE 0,2(EG F2)LNEGF22=-a2du:dv ,knIILdu2 2Mdudv Ndv22 2IEdu2Fdudv Gdv0 ,所以有L=M=N=0对应的点为平点22. 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一：由H=2 =0有1= 2 =0或1

27、=- 20 .2若1= 2=0,则沿任意方向n( )1 cos22 sin 2 =0 ,即对于任意的若1=- 20,则K= 1 20 ,即LN-M2 0 ,G 0 , 所以 LN 0。若 LN M 2=0,则 L = M = N =0，曲面上的点是平点，若LN M 2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M 2 的符号与cos的符号一致，当0W 2和 0 ,曲面上的点72 2为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2 +，曲面上的点为双曲点，即 圆环面内侧的点为双曲点；当 =2或 +时，LN - M 2=0，为抛物点，即圆环面 上、下两纬圆上的点为抛物点。25. 若曲面的第一基本形式表示为I 2(u,v)(du2 dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面 网。r g(t)