专题八立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系答案

1、专题八立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1. A【解析】记该正方体为 ABCD ABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱 AA , AB , AD与平面 所成的角都相等，如图，连接AB , AD , BD ,因为三棱锥 A ABD是正三棱锥，所以AA, AB , AD 与平面ABD所成的角都相等，分别取 CD , BC , BB , AB , AD , DD的中 点 E , F , G , H , I , J，连接 EF , FG . GH , IH , IJ , IE，易得 E , F , G , H , I , J六点共面，平面 EF

2、GHIJ与平面ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大，又EF FG GH IH IJ JE，所以该正六边形的面积为26吕申3.33.3，所以截此止方体所得截面面积的最大值为，故选A.44补上一相同的长方体 CDEF CQ.EF，连接DE, RE,.易知AD1 / DE1，则 DE1为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体 ABCD A1B1C1D1中，ABBC 1 , AA 43,所以 DE1 DE EE112 (J3)22 , DB1 12 12 (一25,B1E1 . ablaE2 , 12 225 ,在3DE1中，由余弦定理，得cos B1DE1(.5)2 (、5)2_55，222

3、 25即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 丄5，故选C.5y轴，z轴建立解法二 以D为坐标原点，DA , DC , DD1所在直线分别为x轴,空间直角坐标系，如图所示.ujuu ujuaAD1 DB1uuuuu tUUU-IAD1IIDB1I_2_2、5即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为于，故选C.3. A【解析】若m / n，由线面平行的判定定理知m /.若 m /,，不一定推出m / n，直线m与n可能异面，故/ n ”是“ m /由条件可知 D(0,0,0) , A(1,0,0) , 0(0,0, .3) , B(1,1八3),uluul uiuuL所以 AD1( 1,0,、

4、, 3), DB1(1,1, ,3),UUUU uuuu则由向量夹角公式，得 cos AD1,DB1”的充分不必要条件.故选SC连接BD，记AC I BD O，连接SO,则SO平面ABCD，取AB的中点M ,连接 SM , OM , OE ,易得 AB SM，贝U 2SEO , 3SMO ,易知因为 OM / BC , BCAB, SMAB，所以3也为OM与平面SAB所成的角,3 W 1，所以 2 W 3 W 1，故ABi与BCi所成角为 BiADi即BC与平面SAB所成的角，再根据最小角定理知,选D.5. C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线B1D1, B1C12 C1D12 2

5、B1C1 C1D1 cos60cos B1AD1AB2 AD； B D；2 AB, AD1（、5）2（、.2）2（3）22 V5 V2OG RQ，由题意可知tan, tan OE, tan OFODOG，ADi .2 , AB 5 ,由图2所示，以P为原点建立直角坐标系，不妨设AB 2，则 A( 1,0) , B(1,0),eg, o(0弓，-AP PB, QC CA1 2/322Q(3F，r(3y 2、3x，直线RQ的方程为乍,OF 亘,OG 1 ,21393则直线RP的方程为y 3 x，直线PQ的方程为2y 丄3x，根据点到直线的距离公式， 知OE3-： OFOG OE , tan tan

6、 tan ,因为, 为锐角，所以.选B7. A【解析】因为过点 A的平面 与平面CB1D1平行，平面 ABCD /平面A3GD1，所以m / B1D1 / BD ,又AB /平面CB1D1，所以n / AB，则BD与AB所成的角为所求角，所以m, n所成角的正弦值为 丄3,2& B【解析】由“ m且Im”推出“ I或I /”，但由“ m 且I / ”可推出“ I m ”，所以“I m ”是 “ I /的必要而不充分条件，故选B.在空间图形中，连结AB，设 AB=t .在 AA DB 中，cosADBAB21212 t22 t22A D DBsin所以cos cosA DB1厂cos sinAD

7、B2 cos2 sincos A DB过N作NP/MB，使四边形BPNM为平行四边形，则 NP DC ,连结AP,BP，则 A NP就是二面角ACDB的平面角，所以ANP在 RtAAND 中，DNA D cos A DCcos,AN AD si n ADC同理，BM=PN=sin,DM =cos，故BP =MN = 2cos .显然BP 平面A NP ,故 BP AP.在 RtAABP中，AP2AB BP2t2(2cos)2 t2 4cos2.在 AA NP 中，coscos A NPAN2 NP2 A P22ANNPsi n2si n2(t24cos2 )2c 22cos,2 2 2 t2

8、tcos2sin22sin22 22sinsin过A作AN DC，过B作BM DC，垂足分别为 N、M sin2 coscos ADB , sin1sin2八“2 cos2 cos2UUO/ L-/ L)sin2 sin2(1 cos A DB)孑 0sin所以cos cos A DB，（当=时取等号），2因为,A DB 0,而ycosx在0,上为递减函数，所以,213245.【解析】（I）因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED .故 CED为异面直线CE与AF所成的角.因为 FA 平面ABCD，所以FA CD .故ED CD .在 Rt CDE 中，CD=1, ED = 2、2 , CE

9、= .CDED2 =3,故 cos CED = Ed = 22 .CE 3所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2.23(n )证明：过点B作BG / CD ,交AD于点G ,贝U BGA CDA 45o .由BAD 45o,可得 BG AB ,从而 CD AB ,又 CD FA, FA AB = A ,所以CD 平面ABF .（川）解：由（n）及已知，可得AG 2，即G为AD的中点.取EF的中点N ,连接GN ,则GNEF，因为BC / AD ,所以BC / EF .过点N作NM EF，交BC于M ,则 GNM为二面角B-EF-A的平面角.连接GM，可得AD 平面GNM ,故AD GM .从

10、而BC GM .由已知，可得GM =丄22由 NG / FA , FAGM，得 NGGM在 Rt NGM 中，tan GNM -NG1 所以二面角B-EF-A的正切值为.446.【解析】（I ）取AD的中点G，连结GF , CE，由条件易知BE 11FG / CD , FG CD . BE / CD , BE CD 所以 FG / BE , FG 22故四边形BEGF为平行四边形，所以 BF / EG因为EG 平面ADE , BF 平面ADE，所以BF 平面ADE(n)在平行四边形 ABCD中，设BC a，贝U AB CD 2a ,AD AE EB a，连 CE，因为 ABC 1200在厶BCE中，可得CE.3 a，在厶ADE中，可得DE=a，在厶CDE中，因为CD2 CE2 DE2，所以CE DE ,在正三角形 ADE中，M为DE中点，所以 AM丄DE 由平面 A DE丄平面BCD ,可知A M