不等式的基本性质及解法讲解学习

1、不等式的基本性质及解法适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点不等式的基本性质及定理、不等式的解法教学目标1. 理解证明不等式的逻辑推理方法.2. 掌握各类不等式的解法教学重点1. 掌握不等式性质定理2. 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式解法.教学难点1.正确地对参数分区间讨论.2.灵活运用所学知识点解决问题.教学过程一、新课导入初中，我们学习了一元一次不等式（组） 知识的基础上进一步明确不等式的有关概念;已经掌握了不等式（组）的基本性质及解法从本节开始，我们将在过去已有，学习其他几种不等式的解法二、复习预习1 不等式的定义2. 不等式的基本性质.3.

2、不等式的基本定理及推论4. 一元二次不等式解法.5. 分式不等式解法.6. 高次不等式解法.7. 无理不等式解法.8. 指对数不等式解法.三、知识讲解考点 1 不等式的定义及比较大小1. 不等式的定义 ：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式说明：（1）不等号的种类：、V、（）、W（）、M.（ 2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集 R2判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b,在ab, a= b , avb三种关系中有且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是: a b a b 0考点2不等式的基本性质定理1 如果ab,那么

3、ba,如果bb.（对称性） 即：ab ba； bb定理2如果ab,且bc,那么ac.（传递性）即 ab, bc ac定理3 如果ab,那么a+cb+c.即 ab a+cb+c推论 如果ab,且cd,那么a+cb+d.（相加法则）即 ab, cd a+cb+d.定理4 如果ab,且c0,那么acbc；如果ab,且c0,那么acb 0，且cd0,那么acbd.（相乘法则）推论2若a b 0,则an bn（n N且n 1）定理5若a b 0,则n a : b（ n N且n 1）元二次不等式的解集与其任何一个一元二次不等式,最后都可化为：ax2 bx c0或ax2 bx c0)的形式, 相应的一元二次

4、方程的根及二次函数的图象有关：(1)若判别式 =b2-4ac0,设方程 ax2 bx c=0 的二根为 Xi, X2(xi0时，其解集为x| xvxi,或xX2; a0时，其解集为x| xivx0时,其解集为x| xm-b,x R;a a0时，其解集为.若厶0时，其解集为类似地，可以讨论ax2R;avO时，其解集为bx cO(aO)的解集考点4绝对值不等式的解法不等式| x|a(a0)的解集1x|0)的解集为: x|- ax a(a0)的解集为: x| xa或xv-a,几何表示为:0(x2+ 1) 2(x4+ x2 + 1)0224 x 2 , ( x + 1) x + x + 1【总结与反思

5、】 此题属于两个代数式比较大小，但是其中的 x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于 限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项 例 2 比较 a4-b 4与 4a3(a-b) 的大小a4-b4 - 4a 3(a-b)=(a-b)(a+b)(a 2+b2) -4a 3(a-b)32233=(a-b)(a+ a b+ab +b -4a )=(a-b)(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+t)=-(a-b)222，3a b2b0 (当且仅当d b时取等号).33a4-b4 4a3(a-b) 【总结与

6、反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例3已知xy,且y工0,比较-与1的大小,. yx 1 xyy y/ xy，二 x-y0当 y0 时，10,即-0时，0，即x1yy【总结与反思】 变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论考点P八、例42不等式的基本性质a ca+db+c已和abcd0,且，求证:b dacbd.a b c db d(a b) d=(c d) b.又Iabcd0 a b0, c d 0, bd0 且 b 1 d-a b c d 即 a + d b + c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比

7、例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速+这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧Q例5 已知函数f(x) ax c, -4 f-1, -1 f (2) 5,求f(3)的取值范围.a c f (1)4a c f 解得1a 3甘f(M314c 严 4f(1)85- f(3) 9a c -f (2) -f(1)33555- -4 f 1,故(1)( -)( -)f(1)( 4)(-)333又-1 f (2) 5,故 88 f (2)40(2)333把(1)和(2)的各边分别相加，得：(1)所以，-1 f4 .|2x+1|+|

8、 x-2|41x -2(2x 1)或(x 2) 42X22x 1 (x 2) 4x 22x 1 x 2 4x-1 或 1x 2x1.故原不等式组的解集是x| x1.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是：分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果例 8 解不等式 | x2 5x 5|1 原不等式可转化为-1 x2 5x 51 即x2 5x 5 1x2 5x 51 解不等式,得解集为x|1vx4;解不等式,得解集为x| x3.原不等式的解集是不等式和不等式的解集的交集，即x|1x4 n x| x3=x|1x2,或 3x4.故原不等式的解集是: x|1x2,或3x2 或 x2log332

9、不等式的解集为x|x2或x logs2*3【总结与反思】 解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理0,a 1)例 12 解关于 x 的不等式：loga(4 3x x2) loga(2x 1) loga 2,(a原不等式可化为log a(4 3x x2)loga2(2x 1)1x -21 x 42x4x 3或 x 2当a1时有：2x 104 3x x2 04 3x x2 2(2x 1)当0a1时不等式的解集为1 X 2 ；当OvaG时不等式的解集为2x4.【总结与反思】因为底数的不确定，所以要注意分类讨论课程小结1. 研究了如何比较两个实数的大小，在某些特殊情况下（如两数均为正，且作商后

10、易于化简）还可考虑运用作商法比较大 小，作商法是判断商值与1的大小关系2. 不等式的性质定理及其推论：理解不等式性质的反对称性（abbva=、传递性（ab, bc ac）、可加性（ab a+ cb+ c）、加法法则（ab, cd a+ cb+ d）,并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法3. 掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础4. 一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础，要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的；二是确定不等式对应方程根的情况（由判别式来确定）；三是结合图象