导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问答

1、导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f(x) = (x + 1)ln(x+ 1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.2.2006全国1理已知函数 f x - e ax.1 x(I)设a 0，讨论y f x的单调性；(n)若对任意 x 0,1恒有f x 1，求a的取值范围.3.2007全国1理设函数f (x) ex e x.(I)证明：f(x)的导数f (x) 2 ;(n)若对所有 x 0都有f (x) ax，求a的取值范围.4.2008全国2理设函数f (x) Sinx .2 cosx(I)求f (x)的单调区间；

2、(n)如果对任何 x 0 ,都有f (x) 0时f (x)0,求a的取值范围7.2010新课标文已知函数f(x) x(ex 1) ax2.(I)若(n)当x 0时，f (x)0，求a的取值范围.8.2010全国大纲理f (x)在x1时有极值，求函数 f (x)的解析式;设函数f (x)1 e(I)证明：当x1时,(n)设当x 0时,f(x)f(x)-xx1,求a的取值范围.ax9.2011新课标理a In x已知函数f (x),曲线xf (x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(n)如果当x 0，且x 1时,In x kf (x)，求k的取值范围.x 1

3、x10.自编3-自编：若不等式sinx x ax对于x (0,-)恒成立，求a的取值范围第二部分：新课标高考命题趋势及方法1. 新课标咼考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用， 既重视考查中学数学基础知识的掌握程度,又注重考查进入高校继续学习的潜能。 为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点2. 分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题 在高中

4、范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路一一分类讨论和假设反证的方法03.洛必达法则型及一型函数未定式的一种解法0虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 0”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是 洛必0达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f（x）、g（x）满足:（i）lim f (x)x aIJmag(x) 0X a（2）在 U，（a）内，f（x）和 g（x）都存在，且 g（x）

5、0limx af (x) g (x)（A可为实数，也可以是limx af(x)g(x)limx af (x)g (x)A.（可连环使用）注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再 求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法a ln x b已知函数f(x)，曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 2y 30.x 1 x(i)求a、b的值；ln x k(n)如果当x 0，且x 1时，f (x),求k的取值范围.x 1 x(i)略解得a 1 , b 1.(n)方法一：分类讨论、假设反证法2ln x 1In x k、1(k 1)(x 1)、由(i

6、)知 f (x)，所以 f (x) ()2 (21 nx).x 1 xx 1 x 1 xx考虑函数h(x) 2ln x(k1)(x2x0)，则 h(x)(k 1)(x21) 2x2x(i)当 k 0 时，由 h(x)k(x21) (x 1)22x知,1时,h(x)0 .因为 h(1)0 ,所以当x(0,1)时，h(x)0，可得12 h(x)1 x0 ;当x(1,)时，h(x) 0 ,可得10 ,从而当xIn xkrIn xk2 h(x)0且x1 时，f(x)(-)0 ,即 f(x) .1 x1)时，(kx 1xx 1x(ii)当 0k 1时，由于当x (1-1)(x21)2x0,故 h(x)0

7、，而1 kh(1) 0，故当x (1,丄)时，h(x) 0,可得匚h(x) 0，与题设矛盾1 k1 x)时，h(x) 0，可得(iii )当 k 1 时，h(x)0 ,而 h(1)0 ,故当 x (1,11 x2h(x)0，与题设矛盾.综上可得,k的取值范围为(,0.注：分三种情况讨论： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到.尤其是0 k 1时,许多考生都停留在此层面，举反例x (1,)更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法1 k也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升3. 运用洛必达和导数解2011年新课标理当x 0，且x1 时，f (x)ln xk即lnxx 1xx 1

8、x l n x1 x l n x2xln x也即k / 21,记 g(x)x 1x x 11 x1In x kxx 1 x2xln x厂1 , x1 x0,且 x 1则 g (X)22(x 1)ln x 2(1x2)(122( x 1)22(1 x )(In x字)x2 1)记 h( x)In x，则 h(x)1 + _L=(1 x2)2x (1+x2)2x(1+x2)2从而h(x)在(0,)上单调递增，且h(1)0，因此当x (0,1)时，h(x) 0,当x (1,)时，h(x) 0 ;当 x (0,1)时，g(x)0,当 x (1,)时，g(x)0,所以 g(x)在(0,1)lim g(x

9、) lim(x 1x 12xln x1) 1lim 芈 1x 1 1 x2limn0,x 1 2x即当x 0，且x1时,g(x) 0 因为k g(x)恒成立，所以k 0 综上所述，当x且 x 1 时，f (x)ln x k成立，k的取值范围为(x 1 x,0注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来然后对分离出来的函上单调递减，在(1,)上单调递增 由洛必达法则有2x ln x数g(x)厂1求导，研究其单调性、极值1 x此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效

10、方法.当然这一法则出手的时机：(1 )所构造的分式型函数在定义域上单调(2)是 0 型。04运用洛必达和导数解2010新课标理设函数 f(x) ex 1 x ax2.(i)若a 0，求f(x)的单调区间;(n)当 x 0时，f(x) 0,求a的取值范围.应用洛必达法则和导数(n)当 x 0时，f(x) 0,即 ex 1 xax2.当x0 时，a R ；当x0 时，ex2x ax等价于axe 1 x2x记 g(x)xe 1 x2x(o,+)，则 g (x)(x 2)ex x 23x记 h(x)x(x 2)e2 x (0,+ )，则 h(x) (x 1)ex当 x (0,+ )时，h (x)xex

11、 0，所以h(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上单调递增，且h(x)h(0)0，所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上单调递增，且h(x) h(0)0 ,因此当x (0,+ )时，g(x)啤x0，从而g(x)ex 1 x2 在(0,+ )上单调递增x由洛必达法则有,lim g (x) limx 0x 0xe 1 x2xxlim ex 0 2xxlim x 0 2即当x 0时,g(x) 丄，所以当x2(0,+)时，所以g(x)-，因此a2综上所述，当a-且 x 0 时，f(x)20成立.5.运用洛必达和导数解自编题(0,2)恒成立，求a的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当x

12、 (o,时，原不等式等价于x sin xx33sin x xcosx 2xx sin x记 f (x)3 ，则 f (x)x记 g(x) 3sin x xcosx 2x，贝y g(x) 2cosx xsinx 2 .因为 g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g”(x)xsinx0 ,所以 g(x)在(0,)上单调递减，且 g(x)0 ,2所以g(x)在(0,)上单调递减，且g(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减,2 2且 g(x) 0 ,故 f (x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,-)上单调递减.由洛必达法则有lim f(x) lim x 羿x 0x

13、0 x1 cosx lim2x 0 3xlimx 0 6xcosx limX 06即当x 0时，g(x)16，即有f (x)1 3 故a 1时，不等式sinx x ax对于x (0,2)恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 可以分离变量； 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; 出现“ 0 ”型式子06运用洛必达和导数解2010年新课标文2010海南宁夏文(21 )已知函数f(x) x(ex 1)ax2.(I)若f (x)在 x1时有极值，求函数f (x)的解析式;(n)当x 0时，f(x)0，求a的取值范围.解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数x2

14、当 x 0 时，f(x) 0，即 x(e 1) ax.当x0时,a R;当x0时,x(ex 1)2 ax等价于ex 1 ax，也即a1.xx e1s)(x1)ex 1记 g(x)-,x (0,，则 g(x)xx记 h( x)(x1)ex 1, x(0,)，则 h (x)xex 0 ,因此 h(x) (x 1)ex 1 在(0,)h(x)e 1上单调递增，且h(x) h(0)0，所以g(x)0,从而g(x)在(0,)上xx单调递增e lim x 0 d由洛必达法则有I!% g(x)即当x 0时，g(x) 1所以g(x) 1，即有a 1.综上所述，当a 1，x 0时，f (x)0成立.7.运用洛必

15、达和导数解2010年大纲理2010全国大纲理(22)设函数f (x)1 e x.(i)证明：当x1 时，f (x)x(n)设当 x 0时，f(x)xax 1求a的取值范围解：(i)略(n)应用洛必达法则和导数由题设x 0,此时f(x) 0.1xx 当a 0时，若x ,贝U0, f(x)不成立;a ax 1ax 1xx 当a 0时，当x 0时，f(x)，即1 e xax 1ax 1若x 0,则a R ；0,则1xax 1等价于，即ax 1x x Axe e 1xxe xx记g(x)丝xe 1xxe x，则 g(x)xx! 2e 12x 2 :e x e/ x72(xe x)xe 2(ex(xex

16、 x)x、2 e ).记 h( x) exx2 2 e x，则 h(x)ex 2x e,h(x) ex+e x因此，h(x)ex 2x e x在(0,)上单调递增,且h(0)0,所以h(x)即 h(x)在(0,)上单调递增，且h(0)0，所以h(x) 0.因此 g(x)=(xex x)xe ?h(x)所以g(x)在(0,)上单调递增由洛必达法则有x X叽g(x) xxtlimx 0xxe x叫 oe xe 1 x 0 2exxe xexx! xe1,即当x20时,g(x)，即有 g(x)2 2所以a -综上所述，a的取值范围是2(E8.运用洛必达和导数解2008年全国2理设函数f (x)S!n

17、2 cosx(I)求f (x)的单调区间;解：(I)f (x)(2cosx)cosx sin x(sin x)2cos x 122 .(2cosx)(2cosx)当2k n2nx2k n2n(kZ )时，cosx即 f (x)0;332当2k n2 nx2k n4 n(kZ )时，cosx1即 f (x)0 .332(n)如果对任何x 0 ,都有f (x) ax，求a的取值范围.2 n2 n因此f(x)在每一个区间 2k n n,2knn ( k Z )是增函数,3 3xf(x)在每一个区间 2kn 3,2k n3(n)应用洛必达法则和导数sin xf(x)ax2cosx若x0,则aR;sin xa若x0,则ax等价于a2cosx4 n ( k Z )是减函数.3sin xsin x即 g(x)x(2 cosx)x(2 cosx)则 g (x)2xcosx 2sin x sin xcosx x2 2x (2 cosx)记 h(x) 2xcosx