概率论与数理统计习题解答第8章(20210422233214)

1、概率论与数理统计习题解答（第8章） 第八章假设检验 三、解答题 1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米） 分别为 32.46，31.54, 30.10, 29.76, 31.67, 31.23 在显著性水平=0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米? 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度X N（ , 2）， 则需要检验的是： H。： 0 H1 : 由于 2已知，选取Z -0为检验统计量，在显著水平 =0.01下，H 0的拒绝域为: | z| Z 2 | Z| Z0.005 查表得Z 0.005 2.575829，现

2、由 1 n=6, x - n i 1 Xi 31.12667 , 1.1, 032.50 5 / 14 计算得: X vrn 31.12667- 32.5 1.1 6 3.05815 可知，z落入拒绝域中，故在 Z0.005 0.01的显著水平下应拒绝H。，不能认为这批零件的平均长度 为32.50毫米。 EXCEL实验结果: DS 审J& 辽庶血凱DEAR柜绝Hg 不常扎坐 A D a f 1 缩= 垠5 2 32.46 1.21 3 31.硏 W.tS 6 4 30.1 IT本均值 31.12667 5 29.76 显苕平 Or - C.01 6 31.67 -3. asm 5 丁 31.

3、2L 临界点 - y.sisaag g 2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数 如下： 54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 65, 69, 70 已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平=0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏 和正常人的脉搏有无显著差异？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数 X N（ ,2）,则需要检验的是： H o :o H1 :o 由于方差未知，选取T =0.05下，H 0的拒绝域为: X .厂0为检验统计量，在显著水平 s n | 11 t 2(n 1) | t | t0.

4、05/2 (9) 查表得七0.025（9） 2.26215716，现由 -1 n 2 n=10, xXi 67.4 , s n i 1 X 2 35.1555556, 计算得 67.4 72| 35.155555610 2.4533576 可知，t落入拒绝域中，故在 t t 0.025 (9) 0.05的显著水平下应拒绝 H。，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和 正常人的脉搏有显著差异。 匚D3 +胃=严：肚* ；=咲 连逊r韻g绝川门 A C1 D F 1 T2 空 54 弹苹万差 昇- 35. L55556 ET JS 1 5 78 晶著水平 n. e 检證统计量 t = = -2. 4533S

5、S 7 临界点 丁胡倔一1）= 2.2621572 8 9 呢 10 L： 70 3. 从某种试验物中取出 24个样品，测量其发热量，算得平均值X 11958，样本均方 差s 316 设发热量服从正态分布，在显著性水平 =0.05下，是否可认为该试验物发热 解：这是单个正态总体均值比较的问题, 量的平均值不大于 12100? 该试验物发热量 XN（ , 2），则需要检验的是: 此为右边检验，由于方差未知，应选用 t统计量检验，在显著水平 =0.05下，Ho的拒绝域 X t TTn0 t(n 1) = t t0.05(241) 由表得t0.05（23） 1.714，现有 n=24, X 1195

6、8, s 316, 12100计算得到 -2.20144 =C7,* 拒绝制“，不能拒垫山） A B D _L E 丁一1 1 N)= 12100 2 样本标推差 占. 316 3 ZZ = 24 4 祥牡隹 S 二 1L迹 S 显著水空 CL = 0,05 6 橙验统廿绘 := -2.2034015 7 临畀点 也1）二 1.71387L517 3 1不能拒取HD 11 H 4.某种电子元件的寿命 （以小时记）服从正态分布.现测得16只元件的寿命如下所示: 222362 2224379179264 1682570 问在显著性水平=0.05下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时?

7、解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命XN（ , 2），则需要检验的 是: Ho :225Hi :225 t检验，在显著性水平 =0.05 此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用 下，Ho的拒绝域为 t0,05(161) 查表得to.o5（15） 1.7531 有 n=16， X =(159+280+ 2 + 170)/16=241.5， S =9746.8， H0，可以认为元件的平均寿命 36位考生的成绩，算得平均 225，计算得到 0 =0.668518 - 1.7531 可知，t未落入拒绝域中，故在 0.05的显著水平下不能拒绝 显著不小于225小时。 D43

8、” 咚棗Htr P- c 34 北 L讯 36 臥 * = 221 3? 101 n - 16 38 212件本均f百 X - 如.5 前 24 = B 40 注苦水平 住二 0105 LT9 绕计董i t = . 66HS17Y 逆 = 1. 7E30HE3： 4 恣 15 1&S 149 妙 4S5 170 5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取 概率论与数理统计习题解答（第8章） 成绩为66.5，标准差为15分. (1) 问在显著水平=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? (2) 在显著水平=0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16

9、20.56930.7617253.203，则统计量为落入拒绝域中，不能拒绝Ho,可以认为这次考 试考生的成绩的方差为162 。 6. 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差2 = 5000 (小时2)的正态分布 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化.现随机的取26只电池， 测出其寿命的样本方差S2 = 9200(小时2).问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化(显著性水平=0.05 ) ? 解：按题意需检验 ? 解：(1)：按题意需检验 H0 :70 Hi : 70 此为双边检验，由于方差未知，应选用t检验，在显著水平为 =0.05下，

10、Ho的拒绝域为 可知，t为落入拒绝域中, 故在 1.4 40.64647 落入了 0 0 5000 H0的拒绝域，应该拒绝 H0,即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。 7. 对7岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对7岁 儿童的身高有显著影响（显著性水平=0.05 ）?（提示：先做方差齐性检验，再做均值检 验) 性别 人数（n） 平均身高（X） 标准（S） 男 384 118.64 4.53 女 377 117.86 4.86 解：设男孩的身高服从 Xi N（仆；），女孩身高服从X2 N（ 2，；）。根据题意需对量 总体的均值进行比较，由于两总体方差未知

11、, 需要首先进行方差的齐性检验，即检验2和2 1 2 是否有显著差异，然后再检验 是否有显著差异。 2 (1) 检验假设 Hi : 由于 未知，选取统计量 2 Fugg2，在显著水平 =0.05下，拒绝域为: F F1 2(m 1 n2 1) 2(口 1，门21)即 F F 0.975(383,376) F 丘.025(383,376) 计算得 F 0.975 (383,376) 0.817555， F0.025 (383,376)1.223391 拒绝域为F 0.817555 F 1.223391。由观测数据得到 n1=384，n2=377118 64， X1 X2 2 117 86，S1=

12、4.53， S2=4.86， F=-SL 2 S2 4.53 4.53 4.86 0 868808未落入拒绝域，不能拒绝H0 ， 4.86 概率论与数理统计习题解答(第8章) 在0.05的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。 (2)根据(1)的结论，可以在 122的条件下检验假设 Ho: 1 2 Hi： 1 2 选t= 为检验统计量, 在显著水平 =0.05下，Ho的拒绝域为: X1 X2 13 / 14 t t 2(nr 2)t t0.025(759)计算得 10.025 (759)1-963094。 计算s再求出t得 X1X2 2 2 1 1) s h 1)s2 m 2 1

13、18.64 117.86 (384 1) 4.35 4.35(3771)4.86 4.8611 384 3772 384 丽 =2.290739 t 1.963094 可知，t落入H。的拒绝域中，故在 0.05显著水平下应拒绝 H0 ,认为性别对儿童身高有显著 差异。 n1 11 I n1n2 8. 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差2不得超过0.1， 为检验该自动车床的工作精度， 随机的取25件产品，测得样本方差S2 = 0.1975 , X 3.86 .问 该车床生产的产品是否达到所要求的精度(显著性水平=0.05) ? 解：按题意需检验 取统计量 (n 1)s2

14、2 0.1 H1： 2 0.1 ，在显著性水平 =0.05 下， H0的拒绝域为: 22(n 1) 2 0.05(25 1) 计算得 2 0.05(24)36.41503 由观测数据 n=25, =0.1975 , 3.86 , 2 0 0.1， 1)s2 2 0 2 (25 1) s 0.1 47.436.41503落入H0的拒绝域中，故在0.05的显著水 平下应拒绝H。，认为床生产的产品没有达到所要求的精度。 9. 一台机床大修前曾加工一批零件，共n1 =10件，加工尺寸的样本方差为 si 25( mm2).大修后加工一批零件， 共匕 12件，加工尺寸的样本方差为 s； 4(mm2). =

15、0.05）？ 设加工尺寸服从正态分布，问此机床大修后，精度有无明显提高(显著性水平 解：按题意需检验 Hi： Ho： 取检验统计量f Si， & 在显著性水平 =0.05下，Ho的拒绝域为: F F i（ni1 n2 1） 由观测数据 ni =i0，n2 =i2， s2 25， s2 4，则 F F F 0 .95 （9，ii）计算得F 0.95（9,ii）2.2735。 2 Si竺6 25 -2.2735未落在H的拒绝 & 4 域中，故在0.05显著水平下，应接受 H。，可认为此机床大修后，精度有明显提高。 10. 由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套数学试卷进行测试， 成

16、绩如下表： 试卷 A78637289914968768555 试卷 B71446184745155607739 假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异(显著性水平=0.05). 解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩， 但10个数据的差异是由10个不同 学生造成的，因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值， 再者，对每一对数据而言，他们是同一个学生做不同试卷的成绩， 因此它们不是两个独 立随机变量的观察结果，因此，我们不能用两独立样本均值的t检验法作检验。 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。所以，构 造新的随机变量Z X Y,有Z

17、N( , 2),其中 12,21222,则 Zi Xi Yi ,i 1,2,，n为Z的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。 如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异 Zi,Z2.Zn属于随机误差，随机误差 可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设 H。：0, H, :0 设Zi,Z2.Zn的样本均值为 2 乙样本方差为s ，采用单个正态分布均值的 t检验，拒绝域为: s/、n t /2（9） t.025 （9） 2.2622 , 由 n 10, Z 11, s242.667 可得t 5.325 2.2622，所以拒绝H。，在显著性水平=0.05下，

18、可以认为两套数 学试卷有显著差异。 2,；)， 错误解法：设试卷A的成绩服从X N( 1, f)，试卷B的成绩服从X N ( 需要首先进行方差齐性检 根据题意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知, 验，即12和2 是否有显著差异，然后再检验 是否有显著差异。 2 Ho： 由于 和未知，选取统计量 1 2 f sx/s：， 在显著性水平 =0.05下，拒绝域为: F F1 2( n1 m D F F 2(门11 n2 1) 即 F F 0.975(9,9) F F0.025(9,9) (1)检验假设 H1:2 1 计算得 F 0.975 ( 9 ,9) 0.248386，F 0-02

19、5 ( 9,9) 4.025994。 拒绝域为 F 0.248386 4.025994 由观测数据得到 ni=io， n2=l0， x 72.6， y 61.6 2 ，Sx 198.0444 S：217.8222 2 Sx198.0444由 于 ， F x0.909202 ， 由于 S2217.8222 0.2483860.9092024.025994 则F未落入H0的拒绝域中，不能拒绝H0 ,在0.05的显著水平 下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。 (2)根据(1)的结论，可以在 2的条件下检验假设 H0 : 1 H1 : 1 2 选统计量 t 一 S 在显著性水平 =0.05下，H0

20、的拒绝域为: y为检验统计量， t 2(门 n2 2) t0.025(18)，计算得 10.025 (18)2.100922 计算得 (x y) 2 I22 g 1)Sx (n2 1)Sy 2.100922 1.705751 可知，t为未落入H的拒绝域中，故在 0.05的显著水平下应接受H0，认为两套试卷的成绩 无显著差异。 概率论与数理统计习题解答（第8章） 四、应用题 1. 某部门对当前市场的价格情况进行调查以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上, 售价分别为（单位：元/500克） 3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.18 3.883.223.283.

21、343.623.283.303.223.543.30 已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布， 能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年（显著水平=0.05）？ 解法一：设鸡蛋的平均售价为，若设鸡蛋的销售价XN（ , 2），按题意需检验 H。：3.25 H。：3.25 这是右边检验冋题，由于方差未知，应选用 t检验， 在显著水平 =0.05下，拒绝域为: 1) tt0.05(19) t 1.729 20 / 14 由样本观测值计算得到 n Xi 1 3.40, 2 Sn 1 n i1(Xi X)2 0.0724 t x Sn / . n 3.40 3

22、.25 0.26901 . 20 2.4761.729 由于t 2.476落入拒绝域中，故在 0.05的显著水平下应拒绝 H0，可以认为全省当前的鸡 蛋售价明显高于往年。 解法二：这是单个正态总体均值比较的问题, 若设鸡蛋的销售价 X N( ,2)，则需 要检验的是: H1： H。： 0.05 这是左边检验问题，由于方差未知，选取 X 0为检验统计量，在显著水平 s n 下，拒绝域为: t t (n 1) t t.5(19) 查表得如05（19）-1.72913，现由 2 X 0.072409, n=20, X 1xi 3.399, s2 n i i 计算得 3.399 3.25 0.0724

23、09：20 2.476302 t t 0.05 (19 ) 可知，t未落入拒绝域中，故在 0.05的显著水平下不能拒绝H0 ,可以认为全省当前的鸡蛋 售价明显高于往年。 注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？ 2. 有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所 示： 男生组：13.3192082161224 女生组：2226161221.723.221283023 假设身体脂肪含量服从正态分布，试比较男生和女生的身体脂肪含量有无显著差异（显著水 平=0.05）. 2 2 解：依题意，男女生的脂肪含量是分别来自正态总体N（ 1，1 ）和N（ 2，2 ）, 2 2

24、均未知，故首先要验证方差齐性，对两组数据做假设检验 H: 2 H 2 2 2 , H 1 : 1 2 . S|2 拒绝域为：F 苓 F0025 （12,9） 3.87 S 2 51 或 F F1 0 025（12, 9）0.2907 52 由样本观测值计算得 2 2 n113, n210, S136.390,S228.299 S12 2 36.390 28.299 0.2907 F 1.29 3.87 故不能拒绝H，可以认为两总体方差相等。 接下来进行两独立正态总体的均值比较: 2），则需要检验的是: 为检验统计量, 在显著水平 =0.05下，H 0的拒绝域为: 若设男生脂肪含量 XN（ 1，

25、2），女生脂肪含量X N（ 2 Sw |t| t 2(n“n2 2) |t| t.25(21) 查表得 to.o25(21)2.07961，现由 n1 = 13， n2 = 10， 1 n1 X Xi 18.1769，y m i 1 1 n2 n2 Yi 22.29， n1 | 2 , 1n2 2 xi x 36.3903, s； Yi y 28.2988, n11 i 1 n?1 i 1 i 1 2 2 2 (m 1)s,(n2 1)S2 Vn1n2 2 甲法：3 343029323126 乙法：262428293 3228 (13 1) 36.3903 (10 1) 28.29885.73

26、781 13 10 2 计算得到 18.176922.29 1.704232.07961 可知，t未落入拒绝域中，故在 0.05的显著水平下应接受 H0，可以认为男生和女生的身体 脂肪含量无显著差异。 3. 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高.劳 动效率可以用平均装配时间反映现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录下各自的 装配时间（单位：分钟）如下表所示： 假设装配时间服从正态分布，问两种方法的装配时间有无显著不同（显著水平=0.05）? 解：这是两独立正态总体的均值比较问题，设甲法的装配时间X N（ 1, 2），乙法的 装配时间X N（ 2，2）, 2

27、2均未知，故首先要验证方差齐性，需要检 验假设 H0： i2 H1 拒绝域为: F.025(11,11)3.58 或 F 臣 S F1 0.025(11,11)0.2793 由样本观测值计算得: n1n2 12, s,10.205, S2 6.061 F Si 厂 2 10.205 S2 6.061 1.68 0.2793 F 1.68 3.58 故不能拒绝 H。，可以认为这两种方法的装配时间的方差相等。 第二步，进行均值检验，需检验假设H0: 2, H 1 :1 取检验统计量 t 2 2 (n1 1)S1 g 1)S 拒绝域为: t /2(厲 n2 n-in22 2) t.025(22)2.0739 现由 n1 = 12，n2 = 12， 1 ni X 31.75 -1 2 yyi 门2 i 1 28.6667 1 ni1 2 XiX i 1 10.2045 1 n2 1 n2 yi y 2 6.06061 S 1)s2(n2 1)sf