高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念

1、 1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念明目标、知重点1了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1函数的变化率定义实例函数 yf(x)从 x 到 x 的平均变化率为平均变平均速度；曲线割线的斜率12f x f x( ) ( )化率，简记作：2121函数 yf(x)在 xx 处的瞬时变化率是函数f(x)0瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率从 x 到 x x的平均变化率在 x0 时的极限，00f x x f x ) ( )yx(即lim x0lim x000x2.函数 f(x)在 xx 处的导数0函数 yf(x)在 xx 处的瞬时变

2、化率称为函数 yf(x)在 xx 处的导数，记作 f(x )或000yxf x x f x ) ( )(y|xx ，即 f(x )limlim x0.00x00 x0情境导学某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5和 5 月 28 日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为15.1，甚至超过了14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因

3、呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一 平均变化率的概念思考 1 气球膨胀率 很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？33v答 气球的半径r(单位：dm)与体积v(单位：l)之间的函数关系是r(v)，4(1)当空气容量v从0增加到1 l时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，r1 r0( )气球的平均膨胀率为( )0.62(dm/l)10(2)当空气容量v从1 l增加到2 l时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (d

4、m)，r2 r1( )( )0.16(dm/l)气球的平均膨胀率为21可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了rv rv( ) ( )结论 当空气容量从v 增加到v 时，气球的平均膨胀率是.21vv2121思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t6.5t10.2计算运动员在时间段0t0.5，1t2 内的平均速度 v ，并思考平均速度有什么作用？答 在 0t0.5 这段时间里，h0.5 h0()0.50( )4.05(m/s)；v 在 1t2 这段时间里，h2 h1( )( )8.2(

5、m/s)v 21由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用yf(x)表示，那么思考中的变化率可用式子fx fx( ) ( )表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x 到x 的平均变化率，平均变化率可以21xx1221描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考1 中的平均变化率表示在空气容量从v 增加到1v 时，气球半径的平均增长率思考2 中的平均变化率表示在时间从t 增加到 t 时，高度 h212的平均增长率 yxyx思考 4 平均变化率也可以用式子 表示，

6、其中 y、 x 的意义是什么？ 有什么几何意义？答 x 表示 x x 是相对于 x 的一个“增量”； y 表示 f(x )2112f(x ) x、 y 的值可正可负， y 也可以为零，但 x 不能为零1y观察图象可看出， 表示曲线 yf(x)上两点(x ，f(x )、(x ，f(x )x1122连线的斜率小结 平均变化率为y f x f x( ) ( )，其几何意义是：函数 yf(x)的图象上两点(x ，f(x )、21xx x1121(x ，f(x )连线的斜率22例 1 已知函数 f(x)2x 3x5.2yx(1)求当 x 4，x 5 时，函数增量 y 和平均变化率；12yx(2)求当 x

7、 4，x 4.1 时，函数增量 y 和平均变化率；12(3)若设 x x x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义21解 f(x)2x 3x5，2 yf(x x)f(x )112(x x) 3(x x)5(2x 3x 5)2211112( x) 2x x3 x212( x) (4x 3) x212( x) 19 x.2y 2 x 19 x( )22 x19.xx(1)当 x 4，x 5 时， x1，12yxy2( x) 19 x21921， 21.2(2)当 x 4，x 4.1 时 x0.1，12y2( x) 19 x0.021.91.92.2yx2 x1919.2.y f x f x

8、f 5 f 4( ) ( ) ( ) ( )(3)在(1)题中，21xx x5421它表示抛物线上点 p (4,39)与点 p (5,60)连线的斜率01y f x f x( ) ( )f 4.1 f 4()4.14( )在(2)题中，21xx x21 它表示抛物线上点 p(4,39)与点 p(4.1,40.92)连线的斜率02反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 yf(x)f(x)21(2)再计算自变量的改变量 xxx.21y fx fx( ) ( )(3)得平均变化率.21xxx21跟踪训练 1 (1)计算函数 h(x)4.9x6.5x10从 x1到 x1 x的平

9、均变化率，其2中 x的值为2；1；0.1；0.01.(2)思考：当| x|越来越小时，函数 h(x)在区间 1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1) yh(1 x)h(1)4.9( x)3.3 x，2yx4.9 x3.3.当 x2时，y4.9 x3.313.1；x当 x1时，y4.9 x3.38.2；xy当 x0.1时， 4.9 x3.33.79；xy当 x0.01时， 4.9 x3.33.349.x(2)当| x|越来越小时，函数 f(x)在区间 1,1 x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不

10、能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间 t的函数关系 h(t)4.9t26.5t10，65hh0( ) ( )6549易知 h( )h(0)， v 0，4965490而运动员依然是运动状态y思考 2 观察跟踪训练 1，当 x0.000 01 时， ？这个平均速度能描述物体的运动状x态吗？ yx答4.9 x3.33.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是 x1这一时刻的速度思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求t2时的瞬时速度，可考h2

11、 th2 ) ( )(察在 t2附近的一个间隔 t，当 t趋近于 0时，平均速度v趋近于lim，t t0这就是物体在 t2时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数 yf(x)在 xx 处的瞬时变化率0fx xfx ) ( )yx(lim x0lim x0叫做函数 yf(x)在 xx 处的导数00x0思考 4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度小结 1.函数的瞬时变化率：函数 yf(x)在 xx 处的瞬时变化率是0fx xfx ) ( )yx(lim x0lim x0.00x2函数在某点处的导数：我们称函数 yf

12、(x)在 xx 处的瞬时变化率为函数 yf(x)在 x0x 处的导数，记作 f(x)或 y|xx，即000fx xfx ) ( )yx(f(x)limlim x0.00x0 x0例 2 利用导数的定义求函数 f(x)x3x在 x2处的导数2解 由导数的定义知，函数在 x2处的导数 f(2)f2 xf2 ) ( )(lim x0，而 f(2 x)f(2)(2 x)3(2 x)(232)22x( x) x，2( x) x2于是 f(2)limlim ( x1)1.x x0 x0反思与感悟 求一个函数 yf(x)在 xx 处的导数的步骤如下：0(1)求函数值的变化量 yf(x x)f(x)；00y

13、fx xfx ) ( )(2)求平均变化率(；00xxyx(3)取极限，得导数 f(x)lim.0 x0跟踪训练 2 求函数 f(x)3x2x在 x1处的导数2解 y3(1 x)2(1 x)(31 21)22 3( x)4 x，2y 3 x 4 x( )2 3 x4，xxyy| lim lim (3 x4)4.xx1 x0 x0例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 x h 时，原油的温度(单位：)为 yf(x)x7x15(0x8)计算第 2 h 和第 6 h2时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解 在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率

14、就是f(2)和f(6)y f2 xf2 ) ( )(根据导数的定义， xx(2 )2x 7 2 x15 27215( )()2x4 x( x) 7 x2 x3，xy所以，f(2)lim lim ( x3)3.x x0 x0同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 /h 的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升反思与感悟 (1)本题中，f(x)反映了原油温度在时刻x 附近的变化情况00(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：y fx xfx ) ( )(平均变化率 ，当 x 趋于 0 时，它所趋

15、于的一个常数就是函数在x 处00xx0的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：65s)之间的关系式为h(t)4.9t6.5t10，求运动员在t s时的瞬时速度，并解释此298时的运动状况65解 令t ， t为增量980ht tht ) ( )(则00t656565 9865tt 4.9 6.5 104.9 6.5 1022989898t 654.9 t 6.5 tt496549 t4.9 6.5，tht t

16、ht65 tlim4.9 6.50，( ) ( )lim t000t49 t065即运动员在 t s时的瞬时速度为 0 m/s.980说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处1如果质点 m按规律 s3t 运动，则在一小段时间 2，2.1中相应的平均速度是( )2a4 b4.1 c0.41 d3答案 b(32.1)(32 )0.122解析 v 4.1.f xhfx()( )2函数 f(x)在 x 处可导，则lim( )00h0h0a与 x、h都有关0b仅与 x 有关，而与 h无关0c仅与 h有关，而与 x 无关0d与 x、h均无关0答案 by3已知函数 f(x)2x1的图象上一点(1,1)及

17、邻近一点(1 x,1 y)，则 等于( )2xa4 b4x c42 x d42( x)2答案 c解析 yf(1 x)f(1)2(1 x)112y2( x)4 x， 2 x4.2x14已知函数 f(x) ，则 f(1)_.x1答案 2f1 xf1 ) ( )(解析 f(1)limx x0 1111 xlim x0x1 .2lim x01 x(1 1 x)呈重点、现规律利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量 yf(x x)f(x)；00y fx xfx ) ( )(2)求平均变化率(；00xxyx(3)取极限，得导数 f(x)lim.0 x0简记为一差，二比，三趋近y特别提醒 取极限前，要注

18、意化简 ，保证使 x0 时分母不为 0.x函数在 x 处的导数 f(x)只与 x 有关，与 x无关000导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1函数 yx2x1在 x2附近的平均变化率为()2a6c2答案 bb x6d x2解析 设 yf(x)x2x1(x1)，22yf(2 x)f(2)(2 x1)(21)(3 x)9( x)6 x，2222yx所以 x6，所以函数 yx2x1在 x2附近的平均变化率为 x6.22函数 y1在 2,2 x上的平均变化率是(a0 b1 c2 d x答案 a)y 11解析0.xx3如果某物体的运动方程为 s2(1t)(s的单位为 m，t的单位

19、为 s)，那么其在 1.2 s末2 的瞬时速度为(a4.8 m/sc0.88 m/s答案 a)b0.88 m/sd4.8 m/s解析 物体运动在 1.2 s末的瞬时速度即为 s在 1.2处的导数，利用导数的定义即可求得4一质点按规律 s(t)2t 运动，则 t1时的瞬时速度为()3a4 b6 c24 d48答案 bsts1( ) ( )解析 s(1)limt1t12t23limt1lim2(tt1)6.2t1t11x5已知函数 y2 ，当 x由 1变到 2时，函数的增量 y_.1答案 2 11解析 y 2 (21) .226.甲、乙两厂污水的排放量 w与时间 t的关系如图所示，治污效果较好的是

20、()a甲b乙c相同答案 bd不确定解析 在 t 处，虽然 w(t)w(t)，01020但是，在 t t处，w(t t)w(t t)，01020w t w t tw t w t t( ( )( ) ( ) ) 即，10102020t t所以，在相同时间 t内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂治污效果较好7利用定义求函数 y2x5在 x2处的瞬时变化率2解 因为在 x2 附近， y2(2 x)5(22 5)8 x2( x)，所以函数222y 8 x2 x( )2在区间 2,2 x内的平均变化率为82 x.xx故函数 y2x5在 x2处的瞬时变化率为2lim (82 x)8. x0二、能力提升8过曲线yx1上两点 p(1,2)和 q(1 x,2 y)作曲线的割线，当 x0.1时，割线2的斜率 k_，当 x0.001时，割线的斜率 k_. 答案 2.1 2.001解析