高中数学提高拓展题专题2.13：函数周期性与对称性的函数方程问题的研究

1、专题 2. 13：函数周期性与对称性的函数方程问题的研究 【问题提出】问题 1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期.（1）f ( x) = f ( x +a )；（2）f ( x) =-f ( x +a )；（3）f ( x +b ) = f ( x +a )（4）f ( x ) =1 f ( x +a ).（其中a 0, b 0）问题 2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质.（1）f ( a +x ) = f ( a -x )；（2）f ( a +x ) = f (b -x )（3）f ( a +x ) =-f ( a -

2、x )；（4）f ( a +x ) =-f (b -x )【探究拓展】探究 1：设(a,b)为函数y = f ( x)的对称中心，则必有等式_变式：（复旦自主招生）写出函数f ( x) =x +sin( x -3)的一个对称中心为_探究 2：已知奇函数f ( x)的图像关于直线x =-2对称，当x 0,2时，f ( x) =2 x ,则f ( -9) =_变式 1：奇函数f ( x)的定义域为 r，若f ( x +2)为偶函数，且 f (1) =1 ，则 f (8) + f (9) =_1变式 2：已知偶函数f ( x)满足f ( x +2) =-1f ( x )，当 2 x 3时，f ( x

3、 ) =x +1 ，则 f ( -0.5) =_变式 3：设f ( x)是定义在r上且周期为 2 的函数，在区间-1,1上，ax +1, -1x 0，则f (2013)的值为_.-1变式：定义在 r 上的函数3x-1, x 0,f ( x ) 满足 f ( x) =f ( x -1) - f ( x -2), x 0.，则f (2014) =_.-29探究 4：已知函数 yf(x)(xr)满足 f(x2)f(x)，且 x(1,1时，f(x)|x|，则 yf(x)与 ylog x 的交点 个数为_.变式 1：已知函数f ( x)是定义在r上的偶函数，且对任意的x r，都有f ( x +2) =

4、f ( x )，当0 x 1时，f ( x ) =x2. 若直线y =x +a 与函数 y = f ( x )的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值为_.变式 2：已知定义在 r 上的奇函数 f ( x ) ，满足 f ( x -4) =-f ( x ) ，且在区间0,2上是增函数若方程 f(x)m(m0)在区间 -8,8上有四个不同的根 x , x , x , x ,则 x +x +x +x =1 2 3 4 1 2 3 4. -8lg | x |，x 0，变式 4 ：已知函数 g ( x ) =1， x =0 _15则函数 f ( x) 和 g ( x ) 的图象在区间 -

5、5，10内公共点的个数为变式 5：已知 f ( x ) 是定义在 r 上且周期为 3 的函数,当 x 0,3) 时, f ( x ) =|x 2 -2 x +12|.若函数y = f ( x) -a 在区间 -3,4 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是_.【解法探究】作出函数的简图，由图象分析可得a 0,12.探究 5：已知函数1-x -2 ,1 x 3, f ( x) = x ,3 f ( ), x 3 3将集合a = x f ( x ) =t ,0 t 0.，若方程f ( x) =x +a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_拓展 1：设函数 f(x)满足

6、 f(x)=f(3x)，且当 x 1,3) 时，f(x)=lnx若在区间1,9) 内，存在 3 个不同的实数 x ，1f ( x ) f ( x ) f ( x )x ，x ，使得 1 = 2 = 3 =t，则实数 t 的取值范围为 x x x1 2 31 1解：当 x 3,9) 时，f(x)= f ( x) = ln x =ln x -ln3 3 3设直线 y=tx 与曲线 f(x)= ln x -ln3 相切于(x ，f(x )，则0 0ln x -ln 3 t= 0x0= f1 1 (x ) = ，解得 x =3e，于是 t = 0 x 3e0另一方面，x3,9) 时，图象的最右端点为(

7、9，ln3)，于是 t =2作出示意图可知，t 介于 t 与 t 之间1 2ln 39拓展 2：已知x, y r*，函数1 2f ( ) =-f ( x ) ， f ( ) =-f (2 x) ，若 x 1,2 时， x xf ( x) =( x -1)( x -2)，则函数y = f ( x ) +14在区间1,100内的零点个数为_. 4探究 6：设f ( x) 与 g ( x )是定义在 r 上的两个函数，x , x1 2是任意两个实数.（1）若f ( x ) + f ( x ) g ( x ) +g ( x ) 1 2 1 2恒成立，且f ( x)是奇函数，判断函数g ( x)的奇偶性

8、并说明理由；（ 2 ） 若f ( x ) - f ( x ) 2g(x)-g ( x ) 2(x x )1 2 1 2 1 2恒 成 立 ， 且f ( x ) 是 r 上 的 增 函 数 ， 判 断 函 数f ( x) = f ( x) +g ( x ) 和 g ( x) = f ( x ) -g ( x)的增减性并说明理由；（3）若f ( x ) - f ( x ) g ( x ) +g ( x ) 1 2 1 2恒成立，且f ( x)是偶函数，判断函数g ( x)的奇偶性并说明理由；（4）若f ( x ) - f ( x ) 1 22g(x)-g ( x ) 21 2恒成立，且f ( x )是周期函数，判断函数g ( x)的周期性并说明理由.变式 1：已知函数f ( x)满足f (1) =14，4 f ( x) f ( y ) =