二阶复微分方程统解证明微分方程组有多个显式解

1、中国科技论文在线二阶复微分方程统解证明微分方程组有多个显式解 于力1，李峰2，李春林3作者简介：于力（）女，讲师，电力，非线性微分方程通信联系人：李春林（），男，高级工程师，非线性动力学. E-mail: 155242650801.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.5

2、Shenyang Institute of Engineering;Northeast Electric Power Research Institute Ltd;Home沈阳工程学院电力学院沈阳;东北电力科学研究院有限公司高压实验厂。沈阳虎石台;辽宁省邮电科学研究所（关停）退休。110136;110023;11002313940304444;1552426508025611221;25611221;25611221沈阳市沈北新区蒲昌路号;沈阳市铁西区贵和街6甲3，4-5-2;沈阳市铁西区贵和街6甲3，4-5-2yulixxx;lifeng_mail力（）女，讲师，电

3、力，非线性微分方程;李峰，1976年出生，男，电器。;李春林（），男，高级工程师，非线性动力学于力;李峰;李春林Yu Li;Li Feng;Li Chunlin李春林1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51*|*译著*|* R.Clark Robinson动力系统导论美机械工业出版社（2007年）；2*|*译著*|*Willi-has Strrb.非线性系统手册M电子工业出版社.2013年.3*|*专著*|*徐伟非线性随机动力学的若干数值方法及应用M非线性动力学丛书17（2013年）4*|*专著*|*陆启韶，彭临平，杨卓琴.常微分方程与动力系统M.北京航空航天

4、大学出版社.2010年1月第一版.5*|*期刊*|*钱伟长.世界科学1994-10-30;6*|*期刊*|*谷超豪.自然杂志1995-12-15.7*|*期刊*|*张伟.科学评述：非线性动力学：对现实世界的一次写真中国科学报.8*|*在线文献*|*于力，李峰，李春林.二阶微分方程封闭统一显式解OL.2014-01-02.9*|*在线文献*|* 于力;李峰;李春林;三阶类微分方程统一解法中国科技论文在线（）已于2014年9月30日10*|*期刊*|*周继磊；杨迪雄；Lorenz系统混沌轨道的概率分布特性数学的实践与认识（2015年）第四十五卷第四期，11*|*期刊*|*官国荣；吴成茂；贾倩；一种

5、改进的高性能Lorenz系统构造及其应用。物理学报2015年第64卷第二期，|1|于力|Yu Li|沈阳工程学院电力学院沈阳|Shenyang Institute of Engineering|于力（）女，讲师，电力，非线性微分方程|沈阳市沈北新区蒲昌路号|110136|yulixxx|256112212|李峰|Li Feng|东北电力科学研究院有限公司高压实验厂。沈阳虎石台|Northeast Electric Power Research Institute Ltd|李峰，1976年出生，男，电器。|沈阳市铁西区贵和街6甲3，4-5-2|110023|lifeng

6、_mail|25611221|*|3|李春林|Li Chunlin|辽宁省邮电科学研究所（关停）退休。|Home|李春林（），男，高级工程师，非线性动力学|沈阳市铁西区贵和街6甲3，4-5-2|11002325611221阶复微分方程统解证明微分方程组有多个显式解|Differential equations with two order differential equations are proved to be more explicit.|- 14 -（1. 沈阳工程学院电力学院沈阳；2. 东北电力科学研究院有限公司高压实验厂。沈阳虎

7、石台；3. 辽宁省邮电科学研究所（关停）退休。）摘要：首先，用二阶和三阶复微分方程统解公式证明，由一阶微分方程所组成的二元和三元微分方程组具有多个显式解。然后，用二阶微分方程统解公式证明，必须同时满足线性的、齐次的、纯实函数解的三个条件的微分方程，数值解法才是正确的。结论1，一阶微分方程组缺少必要的二阶与三阶导函数的约束条件；结论2，数值解法不能作为各种近似解法是否正确的判断标准。启示，用这样的基础理论进行应用研究，令人质疑。关键词：复微分方程；微分方程统解；微分方程组解法；数值解法；复动力系统；中图分类号：0412.1Differential equations with two order

8、 differential equations are proved to be more explicit.Yu Li1, Li Feng2, Li Chunlin3(1. Shenyang Institute of Engineering;2. Northeast Electric Power Research Institute Ltd;3. Home)Abstract: First of all, the two - and three - order differential equations are proved to have multiple explicit solutio

9、ns for the two - and three - differential equations. Then, with the two order differential equation, it is proved that it is necessary to satisfy the three conditions of the linear, homogeneous and pure real function solutions, and the numerical solution is correct. Conclusion 1, the first order dif

10、ferential equation group is lack of the necessary two order and three order derivative function. Conclusion 2, the numerical method can not be used as a variety of approximate method to determine whether the correct criteria. It is a question of applying the basic theory to the application.Key words

11、: Differential equation; differential equations; numerical solution; complex dynamical system;0引言就像代数方程的根可以代入代数方程使得恒等式成立一样，复微分方程的解也应该用同样的方法证明所求结果是否正确。对于非线性微分方程，“到19世纪末，人们认识到很多非线性微分方程根本没有显式解” 1，“几乎所有的非线性方程都不能在封闭形式里求解” 2，“由于非线性问题的个性很强，目前尚没有统一的求解方法” 3，高等学校研究生教材常微分方程与动力系统4书中提到的Lienord、Van der pol、Reylei

12、gh、Duffing、Hil、Mathiru方程等等，都没有给出显式解表达式，证明了权威断言体现了求解微分方程的当前现状。正如权威所述，“我们的办法是用奇异摄动理论，就是正规的办法行不通了用不正规办法。可是数学上是不承认的” 5；“可以说，在许多新的非线性现象面前，我们的数学工具还是远远地不够用的” 6；如果用近似解法做应用研究，正如“美国应用学家Holmes，Guckenheimer，Marsden和Wiggins等将分叉和混沌与经典的非线性振动理论相结合，发展成为现代非线性动力学理论” 7。然而，混沌根本不是微分方程的解。以下用二阶和三阶复微分方程统解公式证明，（1）一阶微分方程组存在多个

13、显式解；（2）微分方程近似解法与数值解法是不可信的。对于“现代非线性动力学”来说，是致命的伤害。如果求解微分方程的解还有所谓的研究价值，应该引起相关领域权威重视。1.0二阶与三阶复微分方程统一显式解公式二阶和三阶复微分方程的统解展开来描述，有如下三个不同层次：1、二阶和三阶复微分方程统解可以求解所有二阶和三阶微分方程，称为统解；2、可变结构函数被唯一确定，统解求出的是确定结构函数的复微分方程显式解集合；3、初始值和结构函数参数值确定，所求的复微分方程符号显式解是唯一显式解。1.1二阶复微分方程固定框架可变结构统一表达式和统解表达式二阶微分方程可表成：x+2*Kp(t,x,x)x+Wp(t,x,

14、x)2x=H(t)；符号简化：Kp(t,x,x)用Kp；Wp(t,x,x)2用Wp，H(t)=H，表成：x+2*Kp*x+Wp2*x=H。其中x=u+jv,结构函数Kp、Wp、H是复函数。定义二阶复微分方程统解表达式初始值符号：x(0)=N0,x(0)=N1；定义统解表达符号：X0为位移解，X1为速度解，X2为加速解；统解表达式8如下：X0=BL(N0*CH+N0*Kp/Ws*SH+N1/Ws*SH-H/Wp2*Kp/Ws*SH-H/Wp2*CH）+H/Wp2X1=BL(N0*Ws*SH-N0/Ws*Kp2*SH+N1*CH-N1/Ws*Kp*SH+H/Ws*SH) X2=BL-N0*Wp2(

15、CH-Kp/Ws*SH)+N1/Ws(Kp2+Ws2)SH-2*N1*Kp*CH-H*Kp/Ws*SH+H*CH其中：Ws=(Kp2-Ws2)1/2 ；BL=e(-Kp*t) ；SH=sinh(Ws*t)，CH=cosh(Ws*t)。统解表达式中用X0、X1、X2表示，原因是结构函数中可能含有待解变量x、x、x，运算显式解随时间变化的复函数值的时候，便于循环迭代。求解二元一阶微分方程组，可以把方程组转换成二阶微分方程，首先用统解公式求出X0、X1、X2表达式，然后代入微分方程组，求出微分方程组的符号显式解表达式：X0、X1（方程组解X和X）,Y0、Y1（方程组解Y和Y）。1.2三阶复微分方程统

16、一表达式及统解 三阶微分方程固定框架可变结构统一表达式9：x+3*M*x+3*K2*x+W3*x=0 定义三阶复微分方程统解表达式初始值符号：x(0)=N0,x(0)=N1，x(0)=N2；统解符号：X0位移解，X1速度解，X2加速解，X3加速变化率。统解表达式太长略去。求解一阶三元微分方程组，可以把方程组转换成三阶复微分方程，首先用统解公式求出X0、X1、X2、X3表达式，然后代入微分方程组，可求出微分方程组的符号显式解：X0、X1（方程组解X和X）,Y0、Y1（Y和Y），Z0、Z1（Z和Z）。2统解证明一阶微分方程组有多个显式解 一阶微分方程组可以转换成二阶或三阶复微分方程求解。二阶或三阶

17、微分方程也可转换成方程组求解。这是常见的微分方程求解方法。统解方法证明，由一阶微分方程组成的微分方程组具有多解现象。多个显式解代入方程组，都能证明方程解是正确的。这种多解现象告诉人们，如果有多解而只求出一个解来，不一定就是所研究系统的正确解。2.1举例一阶二元微分方程组的多解现象常微分方程与动力系统4书中176页，例子如下：x=y+ax3； y=-x+ay3；转换成二阶微分方程，用统解公式求解:取结构函数（1）如下：X+a*(a*x03-x)3/x1x+(13*a*x*x)x=0；Kp=1/2a(a*x03-x)3/x1；Wp=(13*a*x*x)1/2。取结构函数（2）如下：X+a*(a*x

18、03-x)3/x-3*a*x2x+x=0；Kp=1/2a(a*x03-x)3/x-3*a*x2；Wp=1。首先，不同结构函数（1）和（2）分别代入统解公式，求出X0、X1、X2与之对应的不同显式解，然后代入微分方程组，求出微分方程组Y的显式解：Y0=X1-a*X03；Y1=-X0+a*Y03。这样，可以求出同一微分方程组对应不同结构函数的两组显式解：对应结构函数（1）显式解：X0(x)，X1(x)，Y0(y)，Y1(y)。对应结构函数（2）显式解：X0(x)，X1(x)，Y0(y)，Y1(y)。结构函数（1）的系统固有频谱是由“瞬时频率”组成的连续频谱。结构函数（2）的系统固有频谱是单一频率；

19、把三次方表达式“打开”，会组合成更多种结构函数形式，会有多种显式解，代入方程组都能证明是正确的。2.1.1选取结构函数（1）结构函数（1）Kp，Wp代入统解公式所求显式解表达式太长，代入方程组检验太繁琐，略去。以下用可视化方程组等号两边曲线重合方法，和任取时间点的方程解数据代入方程组两种方法证明方程解是正确的。结构函数 Wp=(13*a*x*x)1/2 表明，系统固有基准圆频率为 1 瞬时频率变化由表达式 3*a*x*x控制。如图2.方程组等号两边曲线重合检验方法如图3。令初始值：a=0.2，x(0)=0.1，x(0)=0.1，可视化曲线： 图1 方程解x，y曲线。 图2 Wp曲线和Kp曲线。

20、图3 方程组恒等式两边曲线重合检验。 曲线上某时间点数据代入方程组检验方法，用MATLAB函数表达式如下： 取时间点数值解数据：x0=X0(:,tx),x1=X1(:,tx),y0=Y0(:,tx),y1=Y1(:,tx),代入方程组检验表达式：F1=abs(x1-y0-a*x03)； F2=abs(y1+x0-a*y03)取时间点：tx=750；x0 =0.0784; x1 =0.1317; y0 =0.1316; y1 =-0.0779检验结果：F1 =8.8769e-018; F2 =6.0173e-0182.1.2选取结构函数（2）结构函数（2）可视化参数、初始值与上相同，关键区别是系

21、统固有频谱为单一频率： 图4方程解x，y曲线。 图5 Wp曲线和Kp曲线。图6 方程组恒等式两边曲线重合检验。 2.2举例一阶三元微分方程组的多解现象Lorenz系统混沌轨道的概率分布特性10论文中认为，“混沌是确定性非线性系统产生的有序的伪随机运动”。还认为“系统主要围绕平衡点S+和S-运动”。一种改进的高性能Lorenz系统构造及其应用11。论文中介绍，“1963年，大气学家Lorenz给出著名Lorenz方程”。之后衍生出L系统，Tee系统，Bao系统等等.统解认为上述方程属于同类。以下举例L系统方程的多解现象。方程组如下：x=-a*x+a*y; （3）y=c*y-x*z; （4）z=-

22、b*z+x*y; （5）转换成三阶微分方程：x+(a+b-c)x- x*x/x +(ab-bc-a*x/x+c*x/x)x+x2*x+ax3-abcx=0；取结构函数组合（6）：x+(a+b-c-x/x)x+(ab-bc-a*x/x+c*x/x)x+(x*x+ax2-abc)x=0；取结构函数组合（7）：x+(a+b-c-x/x)x+(ab-bc-a*x/x+c*x/x+x2)x+(ax2-abc)x=0；取结构函数组合（8）：x+(a+b-c)x+(ab-bc-x/x-a*x/x+c*x/x+x2)x+(ax2-abc)x=0；首先，不同结构函数代入三阶微分方程统解公式，求出不同显式解X0、

23、X1、X2、X3，然后，代入方程组（3）、（4）、（5）可求出Y0、Y1、Z0、Z1。至此，L方程组的显式解：X0、X1，Y0、Y1，Z0、Z1全部求出。以下分别可视化三种结构函数曲线。三种形式的结构函数W、K、M各不相同，运行规律必然不同。结论的正确性，用三种显式解代入方程组，证明是正确的。2.2.1统解结构函数组合(6)：结构函数：M=1/3(a+b-c-x/x)，K=1/3(ab-bc-a*x/x+c*x/x)1/2，W=(x*x+ax2-abc)1/3. 代入统解公式求出显式解X0、X1、X2、X3，再代入Lu方程组求出方程组符号显式解：Y0=(X1+a*X0)/a； Y1=(X2+a

24、*X1)/a；Z0=(c*Y0-Y1)/(X0)； Z1=-b*Z0+X0*Y0；Lu方程组符号显式解全部求出：X0、X1、Y0、Y1、Z0、Z1。取初值：a=1；b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可视化解在复平面曲线，极坐标曲线，解检验曲线： 图7 x，y，Z解复平面曲线。 图8 方程组X,Y,Z实部的相图曲线。 图9 方程解X曲线。 图10 方程解Y曲线。 图11 方程解Z极坐标曲线。 图12 方程组恒等式两端曲线重合。2.2.2统解结构函数组合(7)：结构函数：M=1/3(a+b-c-x/x)，K=1/3(ab-bc-a*x/x+c*x/x+x2)1/2，W=(

25、ax2-abc)1/3. 取值相同：a=1；b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可视化相同项目曲线： 图13 x，y，Z解复平面曲线。 图14 方程组X,Y,Z实部相图曲线。 图15 方程解X曲线。 图16 方程解Y曲线。 图17 方程解Z极坐标曲线。 图18 方程组恒等式两端曲线重合。2.2.3统解结构函数组合(8)：结构函数：M=1/3(a+b-c)，K=1/3(ab-bc-x/x-a*x/x+c*x/x+x2)1/2，W=(ax2-abc)1/3. 取值相同：a=0.8； b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可视化方程组解复函数曲线和方程组

26、解曲线等号两边重合曲线： 图19 x，y，Z解复平面曲线。 图20 方程组恒等式两端曲线重合。2.3一阶微分方程组多解小结一阶多元微分方程组的各个方程之间的相互关系，隐含着二阶或三阶导函数关系，统解方法得出以下结论：一、转换成二阶或三阶微分方程求解时，与二阶或三阶相对应的速度、加速度控制函数有多种组合，方程组表达式不能唯一确定，决定了方程组有多种显式解；二、方程组的一阶导数等于零，转换成的二阶或三阶导函数自然不存在。所求“平衡点S+和S-”，或称“不动点”，或称“吸引子”，其实是方程组显式解的断点，不能跨越的定义域边界，系统不可能围绕“平衡点”运动。3不经经验的微分方程解不具有科学价值数值解法

27、在近似解法中具有“权威性”。以下举例证明，如果微分方程近似解不检验，用来认识、理解、描述动力系统规律，是不科学的。举例如下：3.1.最简单的根方程：x=ax；3.2.线性非齐次方程：x+100x=100cos(10t-/2)。3.3.非线性微分方程：x=ax-bx3；3.1举例1最简单的简谐根方程所有二阶复微分方程都是由根方程x=ax派生出来的。根方程解是错误的，派生的复杂方程的解都将是错误的。方程组形式：x=y； y=ax，首先用统解公式求出符号显式解：取初始值，令x(0)=1, x(0)=1.符号显式解如下：x0 =cosh(t*a1/2)+sinh(t*a1/2)/a1/2；x2 =co

28、sh(t*a1/2)*a+sinh(t*a1/2)*a1/2；显式解代入微分方程，证明方程解是正确的，检验方法有如下三种形式：1.统解符号显式解代入方程检验证明方程解是正确的。2.统解曲线代入方程恒等式两边重合检验证明方程解是正确的。3.统解数值数据代入方程恒等式两边检验证明方程解是正确的。微分方程解检验方法1.显式解x0、x2代入简谐方程：x-ax=0。显然：x2-a*x0=0;显式解代入一阶微分方组,求出方程组符号显式解x0，x1，y0，y1如下：y0=x0=cosh(t*a1/2)+sinh(t*a1/2)/a1/2;y1=ax0=a*cosh(t*a1/2)+a*sinh(t*a1/2

29、)/a1/2;统解方法：可视化方程组复函数解曲线如图21和图22。微分方程解检验方法2：方程组恒等式两边曲线重合检验方法如图23。数值解法：x=y； y=ax；用MATLAB科学计算软件ode数值解法求解。当a大于零，方程解指数式发散。显然不遵守能量守恒定律。如图24： 图21方程解实部与虚部曲线。 图22 方程解复函数曲线。 图23 方程解曲线在等号两边重合检验。 图24 数值解法：指数式发散。微分方程解检验方法3.取时间点tx=500曲线上点的数据，代入方程组检验：tx=500：x0=X0(:，tx) ，x1=X1(:，tx) ，y0=Y0(:，tx) ，y1=Y1(:，tx) ，方程组绝

30、对值检验：F1=abs(x1-y0)；F2=abs(y1-a*x0)tx =500：x0 =-0.9974 + 0.0227i， x1 =-0.9974 + 0.2269i，y0 =-0.9974 + 0.2269i， y1 =-9.9742 + 0.2269i，F1 =0， F2 =0。为节省篇幅，以下方程解检验只取方程等号两边曲线重合方法。3.2举例2最简单非齐次微分方程所以举例微分方程：x+100x=100cos(10 t /2)，是因为这是最简单的非齐次微分方程，所见高校教科书解法都存在两个错误：1. 线性微分方程通解结构定理是错的。非齐次微分方程都不能用“叠加原理”；2. 强迫项频率

31、与系统频率相同产生振幅巨大的共振现象，是反能量守恒的低级错误。系统抗干扰定律指出，进入系统的外部干扰（强迫项）值，是系统固有频谱的平方分之一。系统频率越高，强迫项对系统影响越小，抗干扰能力越强，只要同频就共振显然是错误的。振幅大小遵守抗干扰定律，实际是能量守恒定律的另种表现形式。首先转换成一阶方程组形式如下：x=y； y=-100x+100cos(10t-pi/2)。令：x(0)=x(0)=0，用数值解法可视化结果如下，方程齐次解是三角函数，强迫项还是三角函数，支撑系统发散的能量何来，很明显是错误的： 图25 数值解x，y曲线。 图26 数值解x，y相图。然后用统解方法求解：Kp=0,Wp=1

32、0,H=100cos(10t-pi/2)代入统解公式：x0=-cos(10*t)*sin(10*t)+sin(10*t)；x2=100*cos(10*t)*sin(10*t)。把显式解代入方程，很容易验证方程解是正确的。可视化如下： 图27 方程解实函数曲线。 图28 方程解相图。3.3举例3最经典Duffing方程Duffing方程是在简谐根方程x=ax的基本上增加（bx3）所得。研究者众多。因为根方程解是错误的，因此，双井势能、首次积分曲线、平衡点、吸引子、混沌都是错误的结论。便于认识理解Duffing方程，取无阻尼无强迫项形式如下两种：x=x-x3；对于方程组：x=y； y=x-x3；

33、（9）x=x3 -x；对于方程组：x=y； y=x3-x； （10）两种类型的二阶微分方程表达式：x+Wp2x=0；其中结构函数Kp=0，H=0，Wp如下：方程（9）Wp2=(x2-1)；方程（10）Wp2=(1-x2)；取x(0)=N0;x(0)=0,两种类型的有共同显式解。区别在于Wp函数虚实不同：x0 =cosh(t*(-Wp2)1/2)*N0；x2 =-cosh(t*(-Wp2)1/2)*Wp2*N0；显实解符号表达式代入方程：x2+Wp2x0=0，证明方程等号两边都为零。显式解也可以代入方程组求出方程组的符号解表达式：X=x0；Y=x1；代入方程组第一个方程是：x=y，x1=x1，自然等号两边相等；代入方程组第二个方程是：Y=-Wp2x，x2=-Wp2x0，等号两边相等。3.3.1统解方法证明方程解曲线形式相同，区别是虚实函数不同取初始值N0=0.1。统解方程（9）可视化曲线，方程解x实函数，y虚函数： 图29 方程解x实函数，y虚函数。 图30 方程组两端曲线重合检验。取初始值N0=0.1。统解方程（10）可视化曲线，方程解x，y都是实函数： 图31方程解x实函数y实函数。 图32 方程组两端曲线重合检验。3.3.2数值解法求解两种Duffing方程方