一元二次方程根的分布情况归纳总结

1、一元二次方程ax2bx c 0根的分布情况2 2设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为x1, x2且为 x2，相应的二次函数为 f x ax bx c 0,方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个正根即两根都大于 0一正根一负根即一个根小于0，O 大致图象()a得出的结论两个负根即两根都小于 0x10, x20一个大于0 %0x202aO大致图象(扌) 得出的结论 综合结论(不讨论a )ab2a0b 02af 00b2ab2a表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都大于k即一个根

2、小于k，一个大于k即O大致图象()a得出的结论两根都小于k即x1 k, x2kXik x2O 大致图象()a得出的结论b2af k综合结论(不讨论a )b2ab2af kb2af kb2aa f k表三：（根在区间上的分布）O分布情况 大致图象(扌) 得出的结论aO 大致图象)得出的结论综合结论(不讨论a )需满足的条件是f n 0f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1) 两根有且仅有一根在 m,n内有以下特殊情况：1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m, n内，从而

3、可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 1 0，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由13mm得-m 2即为所求；32 方程有且只有一根，且这个根在区间m, n内，即 0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2 4mx 2m 60有且一根在区间 3,0内，求m的取值范围。分析：由f 3 gf 00即14m 15 m 30得出 3 m15;由1420 即 16m4 2m 6m1时，根x23,0，即 m1满足题意；3当m时，2根x 3综上

4、分析，得出315 . m或m1410得出m3,0，故 m1或m ，当2-不满足题意；2函数与方程思想：若y= f (x)与x轴有交点x f(x)=0若 y = f (x)与 y= g(x)有交点(X。, yo) f (x) = g(x)有解 x。根的分布练习题例1、已知二次方程2m 12mx m 10有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。解：由 2m 1 gf2m0，从而得 1 m 1即为所求的范围。2例2、已知二次函数2m 4 x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由 m 2 gf 12 g 2m 1即为所求的范围。2例3、已知二次方程mx22m4 0只

5、有个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0 gf 14g3m1-即为所3求范围。(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题例4.已知关于x的二次方程 x2+2 mx+2 m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(2) 若方程两根均在区间(-1, 0)内，另一根在区间(0, 1)内，求m的范围(1，2)内，求m的范围1.若方程 4x (m 3)?2xm 0有两个不相同的实根，求 m的取值范围。2.已知函数y 4x m?2x1有且只有一个零点，求 m的取值范围，并求出该零点23.关于x的一元二次方程 x 2ax a 20，当a为何实数时:(1) 不同两根在1,3之间(2) 有一个根大于