广东省高中数学必修一第2章2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

1、 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学 习 目 标1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集(重点)1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养2掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数(重点)3掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值(重点、难点)2通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.1一元二次方程的定义形如 ax bxc0 的方程为一元二次方程，其中a，b，c 是常数，且a0.22一元二次方程的解法(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开

2、平方法(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法b b 4ac2(3)公式法：将一元二次方程中的系数 a，b, c 的值代入式子 x2a中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法3一元二次方程根的判别式1 式子 b 4ac 叫做一元二次方程 ax bxc0(a0)根的判别式，通常用 22表示，即 b 4ac.当 0 时，一元二次方程 ax bxc0(a0)有两个不22相等的实数根；当 0 时，一元二次方程 ax bxc0(a0)有两个相等的实2数根；当 0 时，一元二

3、次方程 ax bxc0(a0)没有实数根24一元二次方程的根与系数的关系bc如果 ax bxc0(a0)的两根是 x ，x ，那么 x x ，x x ，即21212a12 a两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比1一元二次方程 x 160 的解集是()2a8,8c4b4d4,4d 利用直接开平方法解方程，即 x2160，x216，解得 x 4，x 124，故选 d.2用配方法解方程 x 8x50，将其化为(xa) b 的形式，正确的是22()a(x4) 11b(x4) 2122c(x8) 11d(x4) 1122d x28x50，x28x5，x2

4、8x16516，(x4)211，故选 d.3用公式法解方程 6x85x 时，a，b，c 的值分别是()2a5、6、8c5、6、8b5、6、8d6、5、8c 原方程可化为 5x26x80，a5, b6，c8，故选 c.4已知一元二次方程 2x 2x10 的两个根为 x ，x ，且 x x ，下列结21212论正确的是()ax x 1bx x 1121212c|x |x |dx x 212112 2212d 根据题意，得 x x 1，x x ，所以 a，b 选项错误x121 21x 0，x x 0，x ，x 异号，且负数的绝对值大，所以 c 选项错误x21 212112为一元二次方程 2x 2x1

5、0 的根，2x 2x 10，x x ，d 选项2212111正确故选 d.一元二次方程的解法角度一 直接开平方法【例 1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：(1)4y 250；(2)3x x15x.22思路点拨 可将方程转化为 x p(p0)的形式再两边开平方进行降次，2化为一元一次方程解 (1)移项，得 4y 25.2254两边都除以 4，得 y .25252解得 y ，y .12552所以原一元二次方程的解集是 ， .2(2)移项，合并同类项，得 3x 15.2两边都除以 3，得 x 5.2解得 x 5，x 5.12所以原一元二次方程的解集是 5， 5应用直接开平方法求一元二次方程

6、解集的主要步骤(1)化为 x2p(p0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式.3 1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)(x1) 12；2(2)(6x1) 250.2解 (1)直接开平方，得 x12 3，x 2 31，x 2 31.12原一元二次方程的解集是2 31，2 31(2)移项，得(6x1) 25.2开平方，得 6x15.2x 1，x .31223原一元二次方程的解集是 1， .角度二 配方法【例 2】 用配方法求下列方程的解集(1)x 4x10；2(2)4x 8x10.2解 (1)x 4x10，x 4x1，22x 4x

7、414，(x2) 5，22x2 5，x 2 5，x 2 5.12原一元二次方程的解集是2 5，2 5(2)移项，得 4x 8x1.214二次项系数化为 1，得 x 2x ，214配方，得 x 2x1 1 ，22234即(x1) .23x1 .23232x 1 ，x 1 ，124 3232原一元二次方程的解集是 1 ，1.利用配方法解一元二次方程 ax bxc0(a0)，先把二次项系数变为 1，2即方程两边都除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根).2

8、用配方法求下列方程的解集(1)x 32 3x；2(2)2x 5 2x0.2解 (1)移项，得 x 2 3x3.2配方，得 x 2 3x( 3) 3( 3) ，222即(x 3) 0.x x 3.212原一元二次方程的解集是 3(2)移项，得 2x 2x5.22 5二次项系数化为 1，得 x x .222222 2 5 2配方，得 x x .224 24 22 21 .x4824424x . 2 42 2 42x ，x ，4412 2 42 2 42原一元二次方程的解集是，.44角度三 公式法【例 3】 用公式法求下列方程的解集5 (1)x 4 3x100；2121 1(2) x x 0.22

9、8思路点拨 先化成一元二次方程的一般形式，再求 ，然后根据求根公式求解解 (1)a1，b4 3，c10，b 4 (4 3) 411080，22ac(4 3) 8 4 32 2x2 3 2，212x 2 3 2，x 2 3 2.12原一元二次方程的解集是2 3 2，2 3 2(2)方程两边都乘以 8，得 4x 4x10.2a4，b4，c1，b 4 4 4410，22ac4 02412x ，1x x .21212原一元二次方程的解集是 .利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算 b 4ac 的值；当 b 4ac0 时，把 a，b，c 的值代22入

10、求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集.3用公式法求下列方程的解集(1)x 32 2x；2(2)3x 6x1.2解 (1)将方程化为一般形式为 x 2 2x30.2a1，b2 2，c3，6 b 4 (2 2) 41340，22ac原方程没有实数根原一元二次方程的解集是 .(2)将方程化为一般形式为 3x 6x10，2a3，b6，c1，b 4 6 431240，22ac6 24 3 6x.2333 63 6x ，x .33123 6 3 6原一元二次方程的解集是，.33一元二次方程的根的判别式【例 4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况(1)3x 2x10；2(2)2x x10；2

11、(3)4xx x 2.22解 (1)(2) 43(1)160，方程有两个不相等的实数2根方程的解集中有两个元素(2)(1) 42170，方程没有实数根方程的解集为空2集(3)方程整理为 x 2x10, (2) 4110, 方程有两个相等22的实数根方程的解集中有一个元素一元二次方程 ax bxc0(a0)的根的判别式 b 4ac.当 0 时，方22程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程没有实数根.7 4下列一元二次方程中，解集为空集的是()ax 2x0bx 4x1022c2x 4x30d3x 5x222c 利用根的判别式 b24ac 分别进行判定即可a(2

12、) 41040，有两个不相等的实数根，故此选项不合题2意；b4 41(1)200，有两个不相等的实数根， 故此选项不合2题意；c(4) 42380，没有实数根，故此选项符合题意；2d(5) 43210，有两个不相等的实数根，故此选项不合题2意故选 c.一元二次方程的根与系数的关系【例 5】 设 x ，x 是方程 2x 9x60 的两个根，求下列各式的值2121 1(1) ；x x12(2)x x ；2212(3)(x 3)(x 3)；12(4)x x .129解 由根与系数的关系，得 x x ，x x 3.2121 21 1x x9232(1) 12 3 ；x xx x1 212(2)x x

13、(x x ) 2x x21222121 2292 574 23 ；(3)(x 3)(x 3)12x x 3(x x )91 212933 923 ；28 (4)(x x ) (x x ) 4x x2212121 2292 334 43 ，x x 33.212利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法(1)利用根与系数的关系求出 x x ，x x 的值；121 2(2)将所求的代数式变形转化为含 x x ，x x 的代数式的形式；121 2(3)将 x x ，x x 的值整体代入，求出待求代数式的值121 25已知 ， 是一元二次方程 x x20 的两个实数根，则 的2值是(a3)b1 c1d

14、3b ， 是方程 x2x20 的两个实数根，1，2，121，故选 b.与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题【例 6】 已知关于 x 的一元二次方程 2x kx30 的解集中只有一个元2素，则 k 的值为(a2 6)b 6c2 或 3d2 或 3a a2，bk，c3，b24ack2423k224，方程的解集中只有一个元素，k 240, 解得 k2 6.2根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.9 6若关于 x 的一元二次方程 x (2a1)xa 0 有两个不相等的实数根，22求 a 的取值范围解 关于 x 的一元二次方程 x (2a1)xa 0 有两个不相等的实数22根，14(2a1) 4a 4a10，a .221一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2) 配方法；(3)公式法2一元二次方程根与系数的关系bc如果 ax bxc0(a0)的两根是 x ，x ，那么 x x ，x x .利用21212a1 2 a这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：0.a0；1一元二次方程 x 90 的解集是()2a3b3d9,9c3,3c x290，x29，x3，故选 c.2一元二次方程 x 3x