正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)[实用课资]

1、1.1.2 正、余弦定理 在实际生活中的应用 Sine law, law of cosines in practical life utilization 1上课教育 课前回顾课前回顾 （1）三角形常用公式：）三角形常用公式： （2）正弦定理应用范围：）正弦定理应用范围： 已知已知两角和任意边两角和任意边，求其他两边和一角，求其他两边和一角 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边 的对角。的对角。(注意解的情况注意解的情况) 正弦定理：正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin abc ABC 2R 2

2、上课教育 （3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。的两倍。 Cabbaccos2 222 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 bc acb A 2 cos 222 c bca B a2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 （4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： （1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已

3、知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3上课教育 了解有关测量术语了解有关测量术语: a.仰角和俯角仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平是指与目标视线在同一垂直平 面内的水平视线的夹角面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平其中目标视线在水平 视线的目标视线上方时叫仰角视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水目标视线在水 平视线的下方的时叫俯角平视线的下方的时叫俯角. b.方向角方向角是指从指定方向线到目标方向线的是指从指定方向线到目标方向线的 水平角水平角,如北偏东如北偏东300,南偏西南偏西450. c.方位角方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向

4、线的水平角标方向线的水平角. d.坡度坡度是坡面与水平面所成的角的度数是坡面与水平面所成的角的度数. 4上课教育 上方 下方 5上课教育 下面是几个测量距离问题 6上课教育 实例一 1,如图如图,设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸.需要测量需要测量A,B两点两点 间的距离间的距离,测量者在测量者在A的同侧河岸边选定一点的同侧河岸边选定一点C.测测 出出AC=55米米,， .求求A,B两点间的距离两点间的距离. 75ACB B C A BAC=45, 7上课教育 例例2、如图，为了测量河对岸两点、之间、如图，为了测量河对岸两点、之间 的距离，在河岸这边取点，测得的距离，在河岸这边取点，测得A

5、DC =85, BDC=60, ACD=47, BCD= 72,CD=100m.设，在同一个平设，在同一个平 面内，试求，之间的距离（精确到面内，试求，之间的距离（精确到m） 解：在中，解：在中， ADC 85, ACD=47, 则则 D=4，又，又 100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得： )(05.134 48sin 85sin100 sin sin m DAC ADCDC AC 在中，在中， BDC=60, BCD=72, 则则DC=又又100， 8上课教育 由正弦定理，得由正弦定理，得 )(54.116 48sin 60sin100 sin sin m DBC BDCDC BC 在中

6、，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得 ACBBCAC BCACAB cos2 222 22 2134.05 116.54cos25 3233.95 134.05 116.54 所以所以（m）. 答：，两点之间的距离约为答：，两点之间的距离约为m. 9上课教育 10上课教育 11上课教育 12上课教育 13上课教育 4.如图如图,隔河看两目标隔河看两目标A、B，但不能到达，但不能到达， 在岸边选取相距在岸边选取相距 千米的千米的C、D两点，并测两点，并测 得得ACB=75ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB =45=450 0(A(

7、A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求两目标，求两目标ABAB 之间的距离。之间的距离。 3 A B C D 学生练习学生练习 14上课教育 （1）准确地理解题意；）准确地理解题意； （2）正确地作出图形；）正确地作出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三）把已知和要求的量尽量集中在有关三 角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形；序地解这些三角形； （）再根据实际意义和精确度的要求给出（）再根据实际意义和精确度的要求给出 答案答案 解三角形应用题的一般步骤：解三角形应用题的一般步骤： 15上课教育 测量距离的方法：测量距

8、离的方法： 测量两点间距离测量两点间距离 把距离看成三把距离看成三 角形的边角形的边 利用正余定理利用正余定理 进行进行求解求解 实际实际 问题问题 解三解三 角形角形 问题问题 二、关于测量的问题二、关于测量的问题 高度高度 16上课教育 17上课教育 18上课教育 19上课教育 20上课教育 21上课教育 22上课教育 练习练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底，从与烟囱底 部在同一水平直线上的部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是 和 45 60，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器已知测

9、角仪器 高高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么，几何图形？已知什么， 求什么？求什么？ 想一想想一想 实例讲解实例讲解 23上课教育 实例讲解实例讲解 A A1 B C D C1D1 分析：分析：如图，因为如图，因为AB=AA1+A1B，又，又 已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。 解：解： 15sin 120sin12 sin sin sinsin : ,154560, 111 1 1 111 1111 B DDC BC D BC B DC BDCDBC 由正弦定理可得 中在 66218 4 .28

10、3618 2 2 11 BCBA )(9 .295 . 14 .28 11 mAABAAB 答：烟囱的高为答：烟囱的高为 29.9m. 24上课教育 例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上处测得地面上 一点一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底 C处测得处测得A处的俯角处的俯角501已知已知 铁塔铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山求出山 高高CD(精确到精确到1m) 分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设 法计算出法计算出AB或或AC的的长长 解：在解：在ABC中，中， BCA=90+, ABC=90- -, BAC=- - , BAD=.根据正弦定理，根

11、据正弦定理， )90sin()sin( ABBC 25上课教育 )(177 )1504054sin( 4054sin150cos3 .27 )sin( sincos sin , m BC BADABBD ABDRt 得解 CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。 )sin( cos )sin( )90sin( BCBC AB 所以， 26上课教育 例例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时处时 测得公路北侧远处一山顶测得公路北侧远处一山顶D在西偏北在西偏北15的方向上，行驶的方向上，行驶

12、5km后到达后到达B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰的方向上，仰 角角8，求此山的高度，求此山的高度CD. 分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条只要测出高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。的长。 27上课教育 解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10. 根据正弦定理，根据正弦定理， C AB A BC sinsin ).(4524. 7 10sin 15sin5 sin sin km C AAB BC CD=BCtanDBCBCtan81047

13、(m) 答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。 B D A C 5km 15 25 8 28上课教育 29上课教育 30上课教育 31上课教育 32上课教育 三、下面是几个测量角度问题 33上课教育 例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该 渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的 处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向， 以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇 立即以立即以n

14、mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 0.1 ,时间精确到时间精确到min） 北北 北北 B C 105 方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向 顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线 的水平角的水平角 34上课教育 北北 北北 B C 105 解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh 在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则 21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180 105)=120. 由余弦定理，得：由余弦定理，得： 即,cos2 222 ACBBCAC BCACAB 22 2

15、2 10 9 cos120 (21 )(9 ) 10 x xx 化简得：化简得：0109 36 2 x x 解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去） 35上课教育 由正弦定理，得由正弦定理，得 14 33 21 120sin9sin sin x x AB ACBBC BAC 所以所以21.8，方位角为，方位角为45 + 21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，的方向航行， 经过经过min就可靠近渔轮就可靠近渔轮 36上课教育 1.如图，货轮在海上以如图，货轮在海上以40n mile/h的速度由的速度由 B向向C航行，航行的方位角航

16、行，航行的方位角140 ，在，在B处处 测得测得A处有灯塔，其方位角处有灯塔，其方位角110 ，在，在C处处 观察灯塔观察灯塔A的方位角的方位角35 ，由，由B到到C需需0.5h 航行，求航行，求C到灯塔到灯塔A的距离。的距离。 练习练习 37上课教育 练习练习2 1 2 A B A B10 2 0 1 2 0 2 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行， 乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于处时， 乙船位于甲船的北偏西105 方向的处，此时两船相距 20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到 甲船的北偏西120 方向的处，此时两船相距海里， 问乙船每小时航行多少海里？ 30

17、 2海里 38上课教育 39上课教育 40上课教育 41上课教育 42上课教育 练习一练习一 如图如图.当甲船位于当甲船位于A处时获悉处时获悉,在其正东方向相距在其正东方向相距20海里海里 的的B处有一艘渔船遇险等待营救处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即甲船立即 前往救援前往救援.同同 时把消息告知在甲船的南偏西时把消息告知在甲船的南偏西.相距相距10海里海里C处的乙处的乙 船船,试问已船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往试问已船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处营处营 救救(角度精确到角度精确到1). 30 A B C 0 71 43上课教育 练习二 同步地球卫星在赤道上空35800Km的轨

18、 道上,它每24小时绕地球一周,所以它定 位于赤道上某一点的上空,如果此点与北 京在同一条子午线上,北京的纬度是北纬 40 ,求在北京观察此卫星的仰角(取地 球半径是6400km) 0 71 44上课教育 45上课教育 一海轮以一海轮以20n mile/h的速度向正东航行的速度向正东航行, 它在它在A点测得灯塔点测得灯塔P在船的北在船的北600东东,2个小时个小时 后船到达后船到达B点时点时,测得灯塔在船的北测得灯塔在船的北450东东,求求 (1)船在船在B点时与灯塔点时与灯塔P的距离的距离. (2)已知以已知以P为圆心为圆心,55n mile的半径的圆形水的半径的圆形水 域内有暗礁域内有暗礁

19、,那么船工继续向正东航行那么船工继续向正东航行,有无有无 触礁的危险触礁的危险. 学生练习二学生练习二 46上课教育 练习三练习三 某货轮在某货轮在A处看灯塔处看灯塔S在北偏东方向在北偏东方向.它它 以每小时以每小时36海里的速度向正北方向航行海里的速度向正北方向航行,经过经过 40分钟航行到分钟航行到B处看灯塔处看灯塔S在北偏东在北偏东 方向方向.求此时货轮到灯塔求此时货轮到灯塔S的距离的距离. 30 75 16.97米 47上课教育 5.在在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯 角分别是角分别是30、60，则塔高为，则塔高为m. 解析：解析：如图所示，设塔高为如图所示，设塔高为h m.由题意及图可知：由题意及图可知： (200h)tan60 解得：解得：h m. 答案：答案： 48上课教育