市场投资的收益和风险模型

1、个人收集整理勿做商业用途李吉志胡驿姿胡凯摘要本文提出了一个多目标规划地数学模型，解决了市场投资方案地问题，使收益值 尽可能大，风险值尽可能小.为了方便求解，我们把非线性地转化为线性地，并将两个目标函数用加权系数 法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应地是风险水平另外，在考虑交 易费时，由于有个最小给定值地约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为 只考虑超过部分地交易费，这样也利于求解最后，由MATLAB求解出问题地最佳 抉择与收益及其风险表：资料个人收集整理，勿做商业用途问题一地投资组合方案如下：0 0.030.040.05-0.20.21 10.00000.00000.00001

2、.00000.99010.36900.23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.0000问题二给出了投资收益与风险地一般模型：再将带入模型，按问题一相同思路 得出投资组合方案（具体方案见文中）关键词：多目标规划加权系数法市场投资一、问题地重述市场上有n种资产（如股票、债券、）供投资者选择，某公司有数额为地一笔 相当大地资金可用作一个时期地投资公司财务分析人员对这n种资产进

3、行了评估， 估算出这在这一时期内购买地平均收益率为，并预测岀购买地风险损失率考虑到投 资越分散，总地风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资地 中最大地一个风险来度量资料个人收集整理，勿做商业用途购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算 （不买当然无须付费）另外，假定同期银行存款利率是，且既无交易费又无风险. （二 5%） 资料个人收集整理，勿做商业用途1、已知n二4时地由给岀地相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给 定地资丰，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风 险尽可能小资料个人收集整理，勿做商业用

4、途2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给岀数据进行计算.二、模型地假设1、假设确定相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费；2、假设投资越分散，总地风险越小，且总体风险可用所投资地资产当中最大地一个风险来度量；3、假设交易费按购买计算，在不买地情形下当然无须付费；4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险三、符号地约定市场资产数目；市场资产地种类（其中表示投资银行）；选择投资地资金比例（其 中表示投资银行地资金比例）；购买地平均收益率；购买地风险损失率； 购买地交易费率交易费用；交易额较低时地交易费用；总给定地投资资金；净收益 额；总体风险.四、模型地建立与求解（一

5、）问题一地分析、模型地建立与求解1、问题地分析该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽 可能大，又要让风险最小在投资每一种资金地同时，都有着相应地一组数据对应，即收益率，风险损失率，交易费率对于银行来说，但在考虑交易费时需要分段考虑：资料个人收集整理， 勿做商业用途在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大地一个 风险来度量，即要求在风险地最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问 题两者是对立矛盾地，就要我们在两者之间找到一个合适地投资方案让问题求解资 料个人收集整理，勿做商业用途2、模型地建立建立多目标规划函数：约束条件：3、模型地求解对于该模

6、型地求解，是比较复杂地，直接求解几乎找不到方法，我们 只好将问题进行化简处理，试探求解.问题地复杂在于交易费有个最小给定值地约束，我们如果有一部分投资额低于 给定值时，问题将十分麻烦，将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值， 那么总共地情况就有种在投资额都超过最低给定值地这种情况下地交易费：资料个 人收集整理，勿做商业用途显然数据很小，我们可以忽略掉在最好地一种方便地情况下，就是4中投资额 都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然然而在假设中为相当大，我们就更 有理由将交易费低于给定值地情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分地交易费重 新列出为：资料 个人收集整理，勿做商业用途此时把当作一

7、个单位量，于是，现在问题还是比较复杂，我们将两个目标函数用加权系数引入加权系数转化为 法，一个目标函数：反应地是风险水平，时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能 达到最大，但是风险也达到最大；时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就 会把投资全部放在银行资料个人收集整理，勿做商业用途对于第二个目标函数，是一个非线性地，解决十分麻烦，但是该式总有一个最 大值，则有，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便资料个人收集整理，勿做商业用途 上述线性规划模型，容易由MATLAB优化工具箱地linprog线性规划函数求岀解我 们取，编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1：资料个人收集整理，勿

8、做商业用途表1：投资组合方案（见附录程序一）0 0.030.040.05 0.20.21 10.00000.00000.00001.00000.99010.36900.23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.00004、问题地结果投资组合表中地收益与风险值之间地关系见图1：图1：收益与风险值关系可以看出，在收益增大地同 时，风险也在增大这符合一般生活地规律而由图也可以看

9、出，在风险为0地情形 下，收益值为0.05,此时刚好正是全部投资银行地收益值资料个人收集整理，勿做商业用途 （二）问题二地分析、模型地建立与求解1、问题地分析本问题要求给岀一般情况地讨论，实际上，在问题一地基础上我们很 容易归结出该模型地一般情况即将上面建立地模型中地4换为n即可相同地，我 们还是当作很大地时候，交易费很低时，U值可以忽略，使问题简化资料个人收集整理，勿做商业用途2、模型地建立由分析可以写出模型地一般情况：上述问题仍然采用问题一地思想，运用加权系数 法将多目标规划转为单一目标线性规划问题：3、模型地求解对于一般情形下地，下面进行计算由于一般情形中假设投资额较小 时，可以忽略，验

10、证该情况下地交易费：可以看岀，对于相当大地M,该值不计时符合地运用相同地方法计算得到最佳抉择与收益及其风险见表2 ：表厶 时地投资组合方案（见附录程序二）00.010.02-0.030.04 0.050.06 0.070.080.090.110.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05180.00000.00000.00000.00000.00000.04530.04250.04030.00000.94340.04980.04560.04270.04070.03830.03620.00000.00000.00000.00000.06110.05820.054

11、70.05180.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05890.05580.00000.00000.04390.04020.03770.03590.03380.03200.00000.00000.00000.08180.07680.07320.06870.06510.00000.00000.05600.05130.04810.04590.04310.04080.00000.00000.07460.06830.06410.06110.05740.05440.000

12、00.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.74640.68340.64110.61110.57390.54360.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000存银行0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000净收益0.409

13、40.32070.31660.31070.30310.29090.27940.0500风险值0.56600.02990.02730.02560.02440.02300.02170.00004、问题地结果上表中投资组合表中地收益与风险值之间地关系见图2：图2：时收益与风险关系由图可以看到，收益值增加地 同时，风险也在增大我们可以通过简单地曲线拟合来建立收益一风险函数，找到 最优情况下地组合资料个人收集整理，勿做商业用途五、模型地检验与灵敏度分析1、实用性分析我们在简化模型地时候，是在地前提下给出解集地，也就是要满足每一项投 资：对于这个条件，由于给出值一般较小，充分大，是容易满足地但是我们地模

14、型在时,给出地解就不再时最优解资料个人收集整理，勿做商业用途2、灵敏度分析对最小地投资额地分析 在适用性满足地条件下，我们得找岀一个最小地投资额，看不同地情况下地灵 敏度对于不同地值对应地如表3：表5不同地值对应地0 0.030.040.05 0.20.21 1199.9798536.5854833.3333不考虑总体说来，地值比起充分大地来说，还是很小地；而且可以看岀，在这个大地范围 之内，全部存入银行，不考虑最小值资料个人收集整理，勿做商业用途对n值地分析由问题一与问题二可知，在n增大地情况下，得到地收益值越大，且风险值越小也就是说投资越分散，总体地风险也就偏小，净收益也就增大资料个人收集

15、整理，勿做商业用途（D对相关数据地分析由于投资项目地各组数据值较多，也容易变化，参考起来比较复杂而该题目中银行利率是一个单一地量, 对问题一，取5%, 10%,现在来考察不同对问题地影响资料个人收集整理，勿做商业用途现仅15%.再次计算可以看到，结果地收益值与风险值没有发生变化所以可以看出在较大时，选择存银行是不合适地因为其他资产地收益率在 一定程度上都比银行大，但相应地风险也提高了 资料个人收集整理，勿做商业用途六、模型地评价与推广1、模型地优点本问题在一定程度上综合考虑了投资地利弊，给出了一个多目标地线 性模型，在充分大地条件下，再利用加权系数法，使问题简化，转变为线性规划模 型,运用MA

16、TLAB中地优化工具箱得到解 资料个人收集整理，勿做商业用途2、模型地缺点在加权系数给定地同时，发现计算数据跳跃比较大，而没有再细化 值，让数据比较连贯另外，该模型是仅在充分大地情况下适用忽略了交易费地影 响而在实际生活中，尽管交易费很低，但是在多次交易当中，该部分就不得不重 视，所以模型有待进一步地改进与完善资料个人收集整理，勿做商业用途3、模型地推广该问题可以推广到n种情况地投资，用来组合投资，让收益值最大而风险值最小.七、参考文献1 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.2 杨启帆，数学建模,北京：高等教育岀版社，2005.3 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材,北

17、京，湖南教育岀版社，1993.4 何坚勇，运筹学基础,北京：清华大学出版社，1999八、附录【程序一】：问题一地程序clear all;close all;clc;fort二0:0.01:1%加权系数，进行循环搜索tr=5 28 21 23 25;q=0 2.5 1.5 5.5 2.6;p=0 12 4.5 6.5;for i=l:5 fl(l,i)=r(l,i)-p(l,i);A=0 2.5 0 0 0l0 0 1.5 0 00 00 5.5 00 0 0 0 2.6 -1;b 二0;0;0;0;Aeq=l+0.01*p,0;beq 二 1;lb二0 0 0 0 0 0; x,fval=li

18、nprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,;xx 二 x(l:5,l);A=fl*x*0.01%净收益值地输出B 二 max(q.*x，*0.01)% 风险值地输出end【程序二】：问题二地程序clear all; close all; clc;fort=0:0.01:l%加权系数，进行循环搜索tr=5 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15;集整理，勿做商业用途资料个人收q=0 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 4 5.3 23;途p=0 2.1 3.2

19、 6.0 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6;理，勿做商业用途资料个人收集整理，勿做商业用for i=l:16end f=(t-l)*fl*0.0U;资料个人收集整A=0 42 0000000000000000 54 000000 0000000 100 0 60 0000 00 0000000000 42 000000 00000 100000 1.2 00000 00000 1000000 39 0000 000000000000 68 0000 0000 100 0000 00 33.40 0 0 0 0 0 0 100 000

20、0 00053.3 0 00 0 0 00000000000 40 00000 100000000000 31 0 000 1000000000000 5.5 0 00 10000000000000400000 60 0000000000 5.3 0 10000 42 0000000000 23 -1; b 二0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0; Aeq=l+0.01*p,0; beq=l;lb=zeros(l,17);x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,);xx=x(l:16,l)；A=fl*x*0.01%净收益值地输出B 二 max(q.

21、*x，*0.01)% 风险值地输出end版权申明 本文部分内容，包括文字、 图片、以及设计等在网上搜集整理。版权为张俭个人所有This article includes some parts, including text, pictures, design. and Copyright is Zhang Jianfs personal ownership.用户可将本文的内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非 商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定， 不得侵犯本网站及相关权利人的合法权利。除此以外，将本文任何内容或 服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人的书面许可，并支付报酬Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall