综合除法与余数定理

1、第七节综合除法与余数定理 综合除法与余数定理就是中学数学中十分重要得内容，它们就是研究多项 式除法得有力工具。综合除法与余数定理在整个中学数学中有着极为广泛得应 用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不就是总能整除。当被除式 f (x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x) g(x) q(x) r(x)。 其中r(x)得次数小于g(x)得次数，或者r(x) 0。当r(x) 0时，就就是f (x) 能被g(x)整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式得简便运算一一综合 除法。 例1、用

2、综合除法求2x414x 4 7x3除以x 2所得得商与余式 27014 4 2 4612 4 解： o 2362 8 商的各项的系数 余式 (2x4 14x 4 7x3) (x 2)得商就是 2x3 3x2 6x 2，余式就是 8。 上述综合除法得步骤就是： (1) 把被除式按降幕排好，缺项补零。 (2) 把除式得第二项-2变成2,写在被除式得右边，中间用一条竖线隔开。 (3) 把被除式得第一项得系数2移到横线得下面，得到商得第一项得系数。 (4) 用2乘商得第一项得系数2,得4,写在被除式得第二项得系数-7得 下面，同-7相加，得到商得第二项系数-3。 (5) 用2乘商得第二项得系数-3，得

3、-6，写在被除式得第三项得系数0 得下面，同0相加，得到商得第三项得系数-6。 (6) 用2乘商得第三项得系数-6，得-12，写在被除式得第四项得系数14 得下面，同14相加，得到商得第三项系数2。 (7) 用2乘商得常数项2,得4,写在被除式得常数项4得下面，同4相 加，得到余式& 前面讨论了除式都就是一次项系数为 1得一次式得情形。如果除式就是一 次式，但一次项系数不就是1,能不能利用综合除法计算呢？ 例2、求(3x3 10 x2 23x 16) (3x 2)得商式Q与余式Ro 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用 除被除式，再把所得得商缩小3倍即可。 3 310 2

4、 2316_ 8 10 3 3312156 二 Q=x2 4x 5,R=6b 下面我们将综合除法做进一步得推广，使除式为二次或者二次以上得多项 式时也能够利用综合除法来求商与余式。 例3、用综合除法求(3x4 7x3 11x2 10 x 4) (x2 3x 2)得商Q与余式R。 解: 3 7 11 10 4 3 2 9 6 6 4 3 2 321- Q=3x2 2x 5 , R=3x 2 o 、余数定理 余数定理又称裴蜀定理。它就是法国数学家裴蜀(17301783)发现得。余 数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要得作用。 余数定理：多项式f (x)除以x a所得得余数等于f(a) 略证：设

5、 f (x) Q(x) (x a) R 将x=a代入得f (a) R o 例4、确定m得值使多项式f(x) x5 3x4 8x3 1 1x m能够被x-1整除 解：依题意f(x)含有因式x-1，故f(1) 0 o 1 3+8 + 11 + m= 0。可得m = 17o 求一个关于x得二次多项式，它得二次项系数为1,它被x-3除余1,且它 被 x-1 除与被 x-2 除所得得余数相同。 解：设 f ( x) x2 ax b T f (x)被x 3除余1, f (3)9 3a b 1 f(x)被x 1除与x 2除所得得余数相同， f (1)f (2)即1 a b 4 2a b 由得a 3，代入得b

6、 1 f ( x) x 23x 1 。 注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。 即： x2 ax b (x 1)(x m) R (x 2)(x n) R (x 3)(x p) 1 由(x 1)(x m) R (x 2)(x n) R，可得 m 2,n1 再由 (x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1 ，解得 p 0。 f ( x) x 23x 1 。 练习： 1、综合除法分别求下面各式得商式与余式。 1) (3x4 4x 35x2 6x 7) (x 2)； 2) 5 (x 6x4 9 x3 14x 8) (x 4)； 3) 3 (x (a b c) x 2 (ab bc ca)x abc) (x 4) (9x4 5x 22 2 y 2 8y 48xy 3 18 x3 y) (3x 2y)； 5) (2x4 7x 316x2 15x 15) (X2 2x 3)； 6) (x6 5 x 12 x3 7x)(x3 3x2 5x 2) a) ； 2、一个关于 x 得二次多项式 f (x) ，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以 被 x+1 整除，求 f (x