21.4二重积分的变量变换

1、数学分析下册第二十一章二重积分 4二重积分的变量变换 教学目的 了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分. 教学内容 二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式. (1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐 标变换. (2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明. 教学建议 (1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握. (2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生 了解. 教学程序 一、二重积分的变量变换公式 引理 设变换T : x xu,v，y yu,v将uv平面上由按段光滑封闭曲线所 围成的

2、闭区域，一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x xu,v ,y yu，v 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 x, y Ju，v= u，v 0，u，v， 则区域的面积 J u,v dudv D =.(5) 证明 现给出y yu,v在 内分别具有二阶连续偏导数时的证明， y yu,v在 内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出. 由于变换T是一对一的，且Ju,v 0,因而T把 的内点变为D的内点， 所以 的按段光滑边界曲线L变换到D时，其边界曲线Ld也是按段光滑曲线， 设曲线L的参数方程为 u = u tv = v tt ? 由于L按段光滑，所以u t，v t在，上至多除去有限个第一类

3、间断点外， 在其他点上都是连续的因为Ld T L ，所以Ld的参数方程为： x x t x u t ,v t , y t y u t ,v t , t 若规定t从变到时，对应于Ld的正向, 则根据格林公式，取 Px,y O,Qx,y x，有 xdy D =Ld y x t y t dt x u t ,vt u u dt (6) 另一方面，在 uv平面上 yy :x u,v du dv Lu v x u t ,v t Yu t u v t dt v (7) 其中正号及负号分别由t从变 到时，是对应于 Ld的正向或是负方向所决 11 定由（6）及（7）得到 x u, v D l Ydu 丄 dv

4、u v y x u,v du lu y x u,v dv v u,v y x u,vQ u,v u， xu,v y v在平面uv上对上式应用格林公式, 得到 P dudv v 由于函数 yu，v具有二阶连续偏听偏信导数，即有 2 y v u，因此 P v=Ju，v， 于是 J u,v dudv 又因为 总是非负的，而J u,v在 上不为零且连续，故其函数值在上不变 J u,v dudv 号，所以 定理21.13 设f x,y在有界闭区域D上可积，变换T : x xu,v， y yu,v将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy 平面上的闭区域D，函数x xu,v，y yu,v

5、在 内分别具有一阶连续偏导数 且它们的函数行列式 x, y J u,v = u,v 0， u,v 则 f x, y dxdy fxu,v,yu,v J u,v dudv D= 证明 用曲线网 把分成n个小区域i ,在变换T作用下区域D也相应地分 成个n小区域Di ,记i及Di的面积为 i及 Di i 1，n由引理及二重积 分的中值定理，有 Di 其中 ui,vi i i 1, ,n 二重积分f x，y的积分和 J u,v dudv - _ J ui, vi i= 令 i x ui,vi ， i y u ,vi，贝yi, i Di .作 n _ _ J ui , vi Di f x ui,vi

6、, y ui , vi =i 1 上式右边的和式是上的可积函数f xu，v，yu，v J u，v的积分和.又由变换T的 连续性可知，当区域 的分割的细度 M 0时，区域D相应的分割的细度HTDI 也趋于零.因此得到 u,v dudv f x, y dxdy f x u,v , y u,v J D= ex ydxdy 例1求D ，其中D是由x o,y 0,x 1所围区域. 解作变换u x y,v x y 即 v ,y v u I ,则 Ju,v 1 =2 x y edxdy D u e； ,1 v u 1 1 一 -dudv dv evdu 2=2o v 1 1 -dv evdu =2o v=2

7、 11ve e1dv 卩 04 例2求抛物线y mx, ynx和直线yx , yx所围成区域D的面 积 D 0 m n,0 dxdy 解 D的面积 D = d x 作变换 uu 2，y Vv D = dxdy =D= n 23 m 6 3 3 u J u,v =v4 n 斗 dudv dv du v = mV 3 x r cos T : y r si nOr 1 ,0 用极坐标计算二重积分 2 （ 8） 下, 定理21.14 设f x,y满足定理21. 13的条件，且在极坐标变换（8） xy平面上有界区域D与r平面上区域 对应，则成立 f x, y dxdy f r cos , rsin rd

8、rd d= 证明若d为圆域x,y x R2 ，则 为r平面上的矩形区域 0,R0,2 设D为在圆环x,y 0 2 2 2 x y R中除去中心角为 形BBAA所得的区域，则在变换（8） 下, D对应于平面上的矩形区域 ,R 0,2 但极坐标变换（8）在D与 之间是一对一变换，且 的扇 在 上函数行列式Jr,0 于是由定理21. 13有 f x,y dxdy d f r cos , r sin rdrd 因为f x，y在有界闭区域d上有界，在上式中令 0即得 f x, y dxdy d f r cos , rsin rdrd 若D是一般的有界区域，则取足够大的 使D包含在圆域 Dr = 2 x,

9、y x R2 内，并且在DR上定义函数 f x, y , x,y f x, y = 0, x, y （i）若原点0 D , xy平面上射线=常数与D的边界至多交于两点. ，于是有 示为r1r f x, y dxdy d d= f r cos , r sinrdr 若原点0 D , xy平面上的圆r=常数与D的边界至多交于两点. 表示为1 r 2 r ,r1rr2，于是有 S2 r f rcos , rsin d (ii)若原点0为D的内点，D的边界方程表示为r r ，则 表示为 r r ， 2 d d 0= 0=2 ，于是有 2 r (iii)若原点 f x, y dxdy D O在D的边界上

10、，则 f r cos , rsin rdr 于是有 例3计算I = D f x, y dxdy D r f r cos , r sin 0 rdr 2 其中为圆域x y2 1 .1 r2 2 R被圆柱面 Rx所割下部分的体积. 解 Jr 1 V =4 d 2 x 2 y d 2 Rcos 2 d, R2 r2 rdr 4 rdc、1 r abrdr 4 abc 1 sin3 d =4 0 0 =3 0 4 口3 2 R 32 3 e 例5计算I = D X2 y 2 2 ，其中D为圆域：x y R2 2 R 2 d re r dr I = 00 /R2 1 e，作广义极坐标变换 1的体积. 4 当abc