计算国土面积数值分析课程设计

1、课程设计题目课程设计题目 第一题第一题: :计算国土面积计算国土面积 图 3.8 是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西 向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，得到了表 3.6、表 3.7 的地xy 图测量数据，比例尺为 30 毫米（数据单位）：100 公里（实际单位）。试由测量数据 采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值 156.6500 万平方公里比较。 表 3.6、表 3.7 见附件。 表3.6 下边疆采样坐标 xy 17299 18298 20288 31273 41262 58254 66234 72220 7220

2、7 69191 57175 60166 71160 104150 130137 146121 160117 163106 16883 17964 19663 22356 25850 28252 30746 31538 33032 35221 37721 37716 39214 42834 46243 50146 52460 53375 55595 542114 550138 561139 574133 590133 599139 610157 635162 644174 649188 669200 671207 677205 678206 696216 720218 723225 表3.7 上

3、边疆采样坐标 xy 723225 722220 710240 687256 676256 659241 647245 630237 619245 623254 626273 633309 608308 596315 581315 558290 537281 511270 484270 464272 456278 449290 434293 425301 411303 394308 368297 351303 332311 329337 312342 284353 281358 263365 251356 249347 244346 240332 247314 233297 222290 217

4、297 209298 189301 180303 169307 165314 165325 150328 138332 138337 132336 127341 122338 102332 86328 65322 64316 54314 32314 28307 17299 matlabmatlab 求解不规则图形面积求解不规则图形面积 摘摘 要：要：本文建立在数值分析的理论基础上，对原有的数据进行三次样条插值，运用 梯形公式求解面积，能够在 matlab 环境中运行，给出了理论分析、程序清单以及计算 结果。更重要的是，还有详细的对算法的框图说明。 关键词：关键词：matlab 不规则图形面积

5、三次样条插值 复化梯形公式 问题提出问题提出 图 3.8 是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西 向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，得到了表 3.6、表 3.7 的地xy 图测量数据，比例尺为 30（数据单位）：100 公里（实际单位）。试由测量数据采用 插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值 156.6500 万平方公里比较。 表 3.6、表 3.7 见附件。 问题解决问题解决 1用 matlab 软件描点绘出地图的大概轮廓及三次样条插值作图 原始原始数据点所成图像数据点所成图像 三次样条插值所成图像三次样条插值所成图像 观

6、察图形，对三次样条插值后的图和原始数据图的比较，可得三次样条插值后的 图更加接近真实数据所形成的图形。图中，地图的面积记为 s，国土面积记为 s，上边 疆与 x 轴围成的面积记为 s2，下边疆与 x 轴围成的面积记为 s1。从下面图中可以得出， s=s1-s1，再通过比例转化得 s。观察图形发现 4 个特殊段与 x 轴围成的面积，分别记 为 s11（55x72）、s12（542x555）、s21（619x633）、s22（240 x247）,对特 殊段的处理见下。 地图面积地图面积 s s 图图 s2s2 图图 s1s1 原始图像和三次样条插值的绘图代码可以参照附录 2 编写。 2对特殊段面积

7、的计算 s11(s11(57x72)57x72) s12s12（542x555542x555） s21s21（619x633619x633） s22s22(240 x247)(240 x247) 将特殊段分割出去，对分割出的数据进行三次样条插值三次样条插值(1) (1)，再用复化 复化梯形公式梯形公式（ （2 2） 求出特殊段 s11,s12,s21,s22 的值。由于这四个特殊段面积的计算方法类同，所以这里 就以 s11 的计算为例。 s11 的计算： a2=xlsread(第一题数据,下边疆, a11:b13); x2=a2(:,1);y2=a2(:,2); x21=max(x2):-0.

8、001:min(x2); y2i1=interp1(x2,y2,x21,spline); s11=-trapz(x21,y2i1); %由于 x21 的值是降序的所以符号取反的结果才是面积 s11 计算结果为： s11 =2.7150e+003 s12 =1.3585e+003 s21 =3.8407e+003 s22 =2.2610e+003 3计算 s1 和 s2 s1s1 中包含中包含 s11s11 和和 s12s12 的图的图 s2s2 中包含中包含 s21s21 和和 s22s22 的图的图 由于 s1 和 s2 的计算方法类同，所以这就以 s1 的计算为例。对分段的数据进行三 次样

9、条插值（除特殊段以外，具体分割见附录 1 下边疆），每段都运用复化梯形公式 并求出和记为 s10。观察图形可得出，s10 与 s1 相比就只多算了两个特殊段的面积 s11，s12，所以 s1=s10-s11-s12。 计算 s1 的关键代码： s10=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i); %用复化梯形公式求除特殊段以外的各段与 x 轴围成的面积并求和 计算结果为： s1 =7.4597e+004 s2 =2.1257e+005 4计算 s 从以上的过程已经得出 s=s2-s1，还要将 s 按比例转化所得就是国

10、土面积 s。 s=s2-s1； s=s*100/9； s 计算结果为： s =1.5331e+006（平方公里） 5.计算相对误差 t 相对误差的求解公式为： 0065665 . 1 0065665 . 1 t e se 计算结果为： t =0.0213 6误差分析 误差的产生主要来源于数据点的个数有点少以及数据点之间不够均匀，这样三次 样条插值后的数据作图就会与实际地图和地形相比有较大的误差。 7分析和总结 由于 t 的值较小，所以以上的计算结果 s=1.5331e+006 平方公里可以作为国土面 积的近似值。在以后的不规则图形面积的计算中，此方法可以考虑选择使用。由于梯 形公式只有一次代数

11、精确度代数精确度（ （3 3），所以会产生计算的结果不够精确。但要很精确求出不 规则图形面积，就必须测量出更多的数据点以及选用代数精确度更高的算法，才能够 更加减少插值和计算上的误差。 至此，国土面积计算完成。 注注释：释： （1）三次样条插值：参照 参考文献2 4650 页 （2）复化梯形公式：参照 参考文献2 9091 页 （3）代数精确度：参照 参考文献2 88 页 参考文献：参考文献： 1李玉莉等，matlab 函数速查手册， 北京：化学工业出版社， 2010 2袁东锦，计算方法数值分析， 南京：南京师范大学出版社， 2007 3蒲俊 吉家锋 伊良忠，matlab6.0 数学手册，上海

12、浦东：浦东电子出版社， 2002 附录附录： 1对附件数据的分段 下边疆: a03:b10; a11:b13;%(特殊段 s11) a13:b31; a32:b39; a39:b40;%(特殊段 s12) a40:b56; 上边疆: a03:b11; a11:b14;%(特殊段 s21) a14:b40; a40:b41;%(特殊段 s22) a41:b49; a50:b52; a53:b64; 2求国土面积及相对误差的完整代码 a1=xlsread(第一题数据,下边疆,a03:b10); a2=xlsread(第一题数据,下边疆,a11:b13); a3=xlsread(第一题数据,下边疆,

13、a13:b31); a4=xlsread(第一题数据,下边疆,a32:b39); a5=xlsread(第一题数据,下边疆,a39:b40); a6=xlsread(第一题数据,下边疆,a40:b56); %导入下边疆的实验数据并分好计算的数据段 x1=a1(:,1);x2=a2(:,1);x3=a3(:,1); x4=a4(:,1);x5=a5(:,1);x6=a6(:,1); y1=a1(:,2);y2=a2(:,2);y3=a3(:,2); y4=a4(:,2);y5=a5(:,2);y6=a6(:,2); %给相应的变量赋值 x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每

14、一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理 x20=max(x2):-0.001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3); x40=min(x4):0.001:max(x4); x50=max(x5):-0.001:min(x5); x60=min(x6):0.001:max(x6); y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插值 y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=interp1(x3,y3,x30,spline); y4i=interp1(x4,y4,x40,spline); y5i=

15、interp1(x5,y5,x50,spline); y6i=interp1(x6,y6,x60,spline); x=x10 x20 x30 x40 x50 x60;y=y1i y2i y3i y4i y5i y6i; %对三次样条插值后的数据按连结顺序合并 s10=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i); %用梯形公式求除特殊段以外的各段与 x 轴围成的面积并求和 s11=-trapz(x20,y2i);%对特殊段面积 s11 的计算 s12=-trapz(x50,y5i);%对特殊段面积 s12 的计算 s

16、1=s10-s11-s12;%计算下疆界与 x 轴围成面积的精确值 plot(x,y) hold on; a1=xlsread(第一题数据,上边疆,a03:b11); a2=xlsread(第一题数据,上边疆,a11:b14); a3=xlsread(第一题数据,上边疆,a14:b40); a4=xlsread(第一题数据,上边疆,a40:b41); a5=xlsread(第一题数据,上边疆,a41:b49); a6=xlsread(第一题数据,上边疆,a50:b52); a7=xlsread(第一题数据,上边疆,a53:b64); %导入上边疆的实验数据并分好计算的数据段 x1=a1(:,1

17、);x2=a2(:,1);x3=a3(:,1);x4=a4(:,1); x5=a5(:,1);x6=a6(:,1);x7=a7(:,1); y1=a1(:,2);y2=a2(:,2);y3=a3(:,2);y4=a4(:,2); y5=a5(:,2);y6=a6(:,2);y7=a7(:,2); %给相应的变量赋值 x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理 x20=max(x2):-0.001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3); x40=max(x4):-0.001:min(x4); x50=mi

18、n(x5):0.001:max(x5); x60=min(x6):0.001:max(x6); x70=min(x7):0.001:max(x7); y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插值 y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=interp1(x3,y3,x30,spline); y4i=interp1(x4,y4,x40,spline); y5i=interp1(x5,y5,x50,spline); y6i=interp1(x6,y6,x60,spline); y7i=interp1(x7,y7,x70,spline); x=x70 x60 x50 x40 x30 x20 x10;y=y7i y6i y5i y4i y3i y2i y1i; %对三次样条插值后的数据按连结顺序合并 s20=trapz(x10,y1i)+tra