一元一次方程应用题经典讲解

1、一元一次方程应用题经典讲解 元一次方程应用题经典讲解 知能点1:市场经济、打折销售问 商品利润皿品售价-商品成本价商品利润率二離將呗 (3)商品销售额二商品销售价X商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)X销售量 (5)商品打几折出售，就是按原价的百分之几十岀售，如商品打8折岀售，即按原价的80%出售. 1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价6 0元一双，八 折岀售后商家获利润率为40乩问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式 进价 折扣率 标价 优惠价 利润率 60元 8折 X元 80%X 4 0% 等量

2、关系：商品利润率二商品利润/商品进价 解之：x=105 on 优惠价为80%x 一X105 - 84(元), 解：设标价是X元, 80%兀一60_ 40 60 100 2. 一家商店将某种服装按进价提髙40弔后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元.这种服 装每件的进价是多少？ 分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 X元 8折 (l+40%)X 元 80% (1+4 0 %) X 15元 等量关系：(利润二折扣后价格一进价)折扣后价格一进价=15 解:设进价为 X 元,80% X (1+40%) X=15, X=125 答：进价是125元

3、。 3家商店将一种自行车按进价提髙45%后标价，又以八折优惠卖岀，结果每辆仍获利50元，这种 自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为(B.) A. 45%X (1+80%) x-x= 5 0B. 80% X (1+45%) x - x = 50 C. x80%X ( 1 +4 5%) x = 50 4.某商品的进价为800元，岀售时标价为1 2 00元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要 保持利润率不低于5%,则至多打几折. 1200 V 800 解：设至多打x折，根据题意有 X 1 00%=5% 解得x=0 7=70% D. 8 0%X(l-4 5%

4、)x 二 50 800 答：至多打7折出售. 5. 一家商店将某种型号的彩电先按原售价提髙4 0%然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”.经顾客 投拆后，拆法部门按已得非法收入的1 0倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价. 解：设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有 10 x(l+4 0%) X 8 0%-x =270 0 , x=2250 答：每台彩电的原售价为22 5 0元. 知能点2 : 方案选择问题 6. 某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100 0元，经粗加工后销售，每吨 利润可达4 5 00元，经精加工后销售,每吨利润涨至7500元当地一家公司收购这种

5、蔬菜140吨,该 公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨,如果进行精加工，每天可加工 6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或 加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工. 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售. 方案三:将部分蔬菜进行精加工，英余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成. 你认为哪种方案获利最多?为什么？ 解：方案一:获利 140 X 4 5 0 0= 6 3 0000 (元) 方案二：获利 1 5X6X 750 0+ (14 0-15X6) X 1

6、000=725000(元) 方案三：设精加工x吨，则粗加工(140-x)吨. 依题意得 +巴上=15解得x = 60 6 16 获利 6 0X 7 50 0 +(1 4 06 0 ) X 4500=8100 0 0 (元) 因为第三种获利最多，所以应选择方案三. 7. 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分 钟，再付电话费0.2元：“神州行”不缴月基础费,每通话1分钟需付话费0.4元(这里均指市内电 话).若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y,元和y 2元. (1) 写出y“兀与x之间的函数关系式(即等式). (2) 个月内通话多少分钟

7、，两种通话方式的费用相同？ (3 )若某人预汁一个月内使用话费1 2 0元,则应选择哪一种通话方式较合算？ 解：(1) yi=0. 2x+5 0 , y3=0. 4x. (2) 由 yi=y得 0.2x+5 0=0. 4x,解得 x=250. 即当一个月内通话2 50分钟时，两种通话方式的费用相同. (3) 由 0. 2 x+50=120,解得 x=350 由 0. 4 x+50=120,得 x=300 因为350300故第一种通话方式比较合算. 8 .某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基 本电价的7 0%收费。(1)某户八月份用电8 4千瓦

8、时，共交电费30. 7 2元，求a. (2) 若该用户九月份的平均电费为0. 36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？ 解：(1)由题意，得 0.4a+ ( 8 4-a) X0. 40X70%= 3 0. 72解得护60 (2)设九月份共用电x千瓦时，则0.40X60+(x-6 0)X0. 40X70%= 0.3 6x解得x=90 所以 0. 36X90=32. 40(元) 答：九月份共用电9 0千瓦时，应交电费3 2. 40元. 9 .某家电商场计划用9万元从生产厂家购进5 0台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机, 岀厂价分別为A种每台1 5 00元，B种每台2 1 0

9、0元，C种每台25 0 0元. (1) 若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进 货方案. (2) 若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利2 00元，销售一台 C种电视机可获利25 0元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选 择哪种方案？ 解:按购A, B两种，B,C两种，A, C两种电视机这三种方案分别计算， 设购A种电视机x台，则B种电视机y台. (1)当选购A,B两种电视机时，B种电视机购(5 0 -x)台，可得方程 1 500 x+210 0 (50-x )=90000 即 5x+7 ( 5

10、0-x) = 3 002 x =5 0 x=2 55 0- x =25 当选购A, C两种电视机时,C种电视机购(50-x )台， 可得方程 150 0 x+2500(50-x) =900003x + 5 (5 0-x)=1800 x =3550-x=15 当购B, C两种电视机时,C种电视机为(5 0-y)台. 可得方程 2100y+250 0 ( 5 0-y) = 9 000 021y+25 (5 0 -y) =900, 4y=350,不合题意 由此可选择两种方案：一是购A, B两种电视机25台;二是购A种电视机3 5台，C种电视机1 5 台. (2)若选择(1)中的方案,可获利1 5 0

11、X25+250X1 5 =8 7 50(元) 若选择(1 )中的方案，可获利 150 X 35+250 X 1 5=9000 (元) 900087 5 0故为了获利最多，选择第二种方案. 10. 小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯,售价为49元/盏，另一种是40 瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2 8 00小时。已知 小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。 (1) .设照明时间是x小时,请用含x的代数式分別表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。(费 用二灯的售价+电费)0005 x + 4 9 (2) .小刚想在这种灯中选购两盏

12、。假左照明时间是3000小时，使用寿命都是2 8 00小时。请你 设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。 200 0 知能点3储蓄、储蓄利息问 (1)顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行 的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 (2 )利息=本金X利率X期数本息和二本金+利息利息税二利息X税率(20%) 利润=每个期沙的利息X100%, 本金 11. 某同学把250元钱存入银行，整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半 年期的年利率是多少？(不计利息税) 分析等量关系：本息和二本金X(l+利率) 解：

13、设半年期的实际利率为X,依题意得方程250(1+X) =252.7,解得X= 0.0108 所以年利率为0. 0108X2=0. 02 16 答:银行的年利率是21.6% 12. 为了准备6年后小明上大学的学费20000元,他的父亲现在就参加了教弃储蓄，下面有三种教育 一年 2. 2 5 三年 2.70 六年 2. 8 8 储蓄方式： (1)直接存入一个6年期： (2 )先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期； (3) 先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期;你认为哪种教育储蓄 方式开始存入的本金比较少？ 分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储

14、蓄的本 金是多少，再进行比较。 解：(1 )设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程XC1+6X 2.88%) = 2 0000,解得X=1 70 53 设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y (1+2.7%X3) (1+2. 7%X 3)=2 0 000, X=17 1 1 (3)设存入一年期本金为Z元,Z(l+22 5%)=2 0 0 0 0 , Z=1 7 8 9 4 所以存入一个6年期的本金最少。 1 3.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券45 0 0元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700 元，问这种债券的年利率是多少(精确到0. 01%). 解：设这种债券的年利率是x,根据

15、题意有 45 0 0+4500X2X x X (1-2 0 %) =470 0,解得 x= 0.0 3 答：这种债券的年利率为0. 03. 14.(北京海淀区)白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元(销售价与进价的差 价2元就是卖出一件商品所获得的利润).现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%岀售，但要 求卖岀一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%,则x应等于() A. 1B. 1.8C. 2D. 10 C 点拨：根据题意列方程，得(10-8) X90% = 10 (1-x%)-&解得x=2,故选C 1 5.用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券，到期

16、后他取出本金的一半用作购物，剩下 的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券(利率不变)，到期后得本息和1320元。问张叔叔当初 购买这咱债券花了多少元？ 2 2000 元 工作量=工作效率x工作时间 工作时间=工作量三工作效率 知能点4：工程问题 工作效率=工作量一工作时间 完成某项任务的各工作量的和二总工作量=1 16. 件工作，甲独作1 0天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？ 分析甲独作10天完成.说明的他的工作效率是丄，乙的工作效率是丄, 10 8 等量关系是：甲乙合作的效率X合作的时间=1 解：设合作X天完成，依题意得方程(+ -)x = l解得兀=艺 10 89 40 答:两

17、人合作丁天完成 17. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务, 剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位1,等量关系为:甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1,由题意得, 3 答：乙还需天才能完成全部工程。 18. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池：单独开乙管 8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开 丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析等量关系为：甲注水量+乙注水量一丙

18、排水量=1。 解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得,(l + l)(x + 2)- = l解这个方程得r = = 2- 6891313 4 答:打开丙管后2小时可注满水池。 13 19一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做3 0分钟, 然后甲.乙一起做，则甲.乙一起做还需多少小时才能完成工作？ 解：设甲、乙一起做还需X小时才能完成工作. 根据题意，得:X ； + (； + ；) x=l解这个方程，得X =二2小时12分 626 45 5 答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作. 20.某车间有1 6名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件

19、4个.在这16名工人中，一部分 人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利1 6元，每加工一个乙种 零件可获利2 4元若此车间一共获利1 44 0元，求这一天有几个工人加工甲种零件. 解:设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5 x个，乙种零件有4 (16-x)个根 据题意，得 16X5x+24X 4 （16-x）=144 0 解得 x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件. 21项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去, 乙参与工作，问还需几天完成？ 设还需X天。 =1解得2学 3 x3 + 丄 12 + 1

20、5 21或存3+存+右（3 + “） 知能点5：若干应用问 等量关系的规律 （1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目 中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列 出代数式或方程式。 增长量二原有量x增长率 现在量二原有量+增长量 （2 ）等积变形问题 常见几何图形的而积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变. 圆柱体的体积公式V二底面积X高二Sh=7rr:h 长方体的体积V =长X宽X髙二abc 22. 某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个

21、仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的|。问每个仓库各有多少粮食？ 设第二个仓库存粮工吨，则第一个仓库存粮3x吨，根据题意得 |（3x-2O） = x + 2O解得兀=303x = 3x3O = 9O 23. 个装满水的内部长、宽、髙分别为300亳米，30 0亳米和8 0亳米的长方体铁盒中的水，倒入 一个内径为20 0亳米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1亳米，兀3.14） 解：设圆柱形水桶的高为x亳米,依题意，得7T （） 2x=300X300X8 02 29. 3 答：圆柱形水桶的高约为229. 3毫米. 24. 长方体甲的长、宽、髙分别为2 6 0mm, 15 0

22、mm, 3 2 5mm,长方体乙的底而积为130X 130mm2,又 知甲的体枳是乙的体积的2. 5倍，求乙的高？ 设乙的高为A-mrn.根据题意得260 x150 x 325 = 2.5x130 x130 xx解得x = 300 知能点6:行程问题 基本量之间的关系： 路程二速度X时间时间=路程三速度速度二路程三时间 （1）相遇问题 （2 ）追及问题 快行距+慢行距二原距 （3）航行问题 快行距一慢行距=原距 顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系. 25. 甲、乙两站

23、相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出,每小时行1 4 0公里。 (1)慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ (2 )两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ (3)两车同时开岀，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距6 0 0公里？ (4) 两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ (5) 慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车? 此题关键是要理解淸楚相向、相背、同向等的含义，弄淸行驶过程。故可结合图形分析。 (1)分析:相遇问题，画图表示为：

24、 等量关系是；慢车走的路程+快车走的路程=480公里。 解：设快车开出X小时后两车相遇，由题意得，140 x+90 (x+l) = 480 解这个方程，2 30 x=3 90 答:快车开出咗小时两车相遇 A. 1/ 甲 600 12 x= 23 23 分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是:两车所走的路程和+48 0公里二600公里。 解:设x小时后两车相距600公里， 由题意得，(140+90) x+480=6 0 0 解这个方程，2 3 0 x=120 12 答：小时后两车相距6 00公里。 (3) 分析:等量关系为：快车所走路程-慢车所走路程+4 8 0公里=600公里。 解:设x小时

25、后两车相距60 0公里，由题意得，(1 40 - 9 0)x4480=600 5 0 x=120A x=24 答:2. 4小时后两车相距6 0 0公里。 分析：追及问题,画图表示为：, 等量关系为：快车的路程二慢车走的路程+ 4 8 0公里。吊戸口 解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得,140 x=90 x+48 0 解这个方程，5 0 x=4 8 0 :. x=9. 6 答：9. 6小时后快车追上慢车。 分析:追及问题，等量关系为:快车的路程二慢车走的路程+4 8 0公里。 解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，14 0 x=9 0 (x+l) + 4 80 50 x=5 70A x=

26、ll. 4 答：快车开出11. 4小时后追上慢车。 26. 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度 为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直 至甲追上乙为止，已知狗的速度为1 5千米/小时,求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路 程=它的速度X时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间 解:设甲用X小时追上乙，根据题意列方程 5X=3X+5 解得X=2. 5,狗的总路程：15X2.5=37. 5 答：狗的总路程是3

27、7.5千米。 27. 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地,一共航行了 7小 时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米， 求A、B两地之间的路程。 分析这属于行船问题,这类问题中要弄清： (1) 顺水速度二船在静水中的速度+水流速度； (2) 逆水速度二船在静水中的速度一水流速度。相等关系为:顺流航行的时间+逆流航行的时间=7 小时。 解:设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 由题意得，+丄二巴=7解这个方程得v = 32.5 2 + 8 8 2 答:A、B两地之间的路程为32.

28、 5千米。 2 8 .有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒, 又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长. X 解:设第一铁桥的长为X米,那么第二铁桥的长为(2 x -50)米，过完第一铁桥所需的时间为 分过 600 完第二铁桥所需的时间为兰二一分依题意，可列出方程 600 x 十 5 -2兀一50 而十可600 解方程 x+ 5 0=2x-5 0 得 x=10 0 A2x-5 0=2X1 0 0-5 0 = 1 50 答:第一铁桥长100米，第二铁桥长1 50米. 2 9.已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快

29、1千米，甲先从月地岀发2小时后，乙从 万地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？ 设甲的速度为X千米/小时。则 2x + 10(x + x + l) = 120 x = 5 x + l=6 30. 一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队 头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：若已知队长32 0米，则通讯员几分钟返回？ 若已知通讯员用了 25分钟，则队长为多少米？ 320320 (1)设通讯员x分钟返回.则+ -一 = xx-9 0 18-1418+14 + = 25 (2)设队长为x米。则 18 + 1418-14 800