参数方程高中复习经典题型

1、x2求椭圆4+/= 1,经过伸缩变换y= y后的曲线方程.=1,求满平面上的曲线y=f(x)在变换:x= X, y= uy的作用下的变换方程的求法是将!xx=二,!yy=u备考方向要明了 考什么怎么考1理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极1从知识点上看，主要考查极坐坐标刻画点的位置， 能进仃极坐标和直角坐标的标方程与直角坐标的互化，考互化.查点、曲线的极坐标方程的求3能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在法，考查数形结合、化归思想极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的的应用能力以及分析问题、解区别，能进行极坐标和

2、直角坐标的互化.决问题的能力.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点2.以解答题形式出现，难度不的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方大，如2012年新课标高考T23程，通过比较这些图形在极坐标系中的方等.程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.归纳知识整合1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x=入x 40 ,一:,的作用下，点P(x, y)对应到点P (x,y),y = uy0称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示，在平面内取一个定点 0,点0叫做极点，自极点0引一 条射线

3、Ox, Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角 山冶町 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这- 样就建立了一个极坐标系.(2) 极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为p 0, B可取任意实数.(3) 点与极坐标的关系一般地，极坐标(p, 0)与(p, 0+ 2kR(k Z)表示同一个点，特别地， 极点0的坐标为(0, 0( 0 R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐 标有无数种表示.如果规定p0,0 90,0 92 n那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆p= r(0 2 n圆心为(r, 0)，

4、半径为r的圆p=nn2rcos 0 一石三n圆心为r,，半径为r的圆p= 2rsin 00 0 n过极点，倾斜角为a的直线(1) 0= o( p R)或 0= n+ a p r) 0= a 和 0= n+ a过点(a,0),与极轴垂直的直线pcos_0=nna 2 02n过点a, 2 ,与极轴平行的直线pin 0= a(0 0 n自测牛刀小试1 .极坐标方程p= cos 0化为直角坐标方程.2. (2013北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线 方程.n3. 在极坐标系中，求点 A 2, 2关于直线I : pcos 0= 1的对称点的一个极坐标.4. 在极坐标系中，若过点

5、A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 p= 4cos 0于A、B两点，求AB的长.5. 已知圆的极坐标方程为 p= 2cos 0,求该圆的圆心到直线 pin 9+2 pcos 0= 1的距离.伸缩变换的应用x1=2x，X2若椭圆x4 + y2= 1经过伸缩变换后的曲线方程为足的伸缩的变换.|少汰“爲碍J |求经伸缩变换后曲线方程的方法! !代入y= f(x)，得 = f ,整理之后得到y = u人h(x )，即为所求变换之后的方程.x= x,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1. 在同一坐标系中，曲线 C经过伸缩变换，1后得到的y =刃曲线方程为y= lg(x+ 5),求曲线C的方程.极坐标

6、与直角坐标的互化例2 已知圆 01和圆02的极坐标方程分别为P2, p - 2 2 npcos 64 2.(1) 把圆01和圆02的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.|方怙极坐标与直角坐标互化的注意点(1) 在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极 角的范围，否则点的极坐标将不惟一.(2) 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化 的等价性.2. (2013佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1, ：3).若以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点 P的 极坐标.jn3. 求以点A(2,0)为圆心，

7、且过点B 2 ;3, 6的圆的极坐标方程.极坐标系的综合问题例3从极点0作直线与另一直线l: pos 4相交于点M，在 0M 上取一点 P,使 0M 0P 12.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.|方怙閱轉求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解.使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化 为极坐标.4. (2013西安五校联考)在极坐标系(p 6(0W 00)的一个交点在极轴上，求a的值.(1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程

8、转化为 普通方程.因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路.(3) 解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值 范围等而致错的情况.已知两曲线的极坐标方程 C1: p 2(0 w 6W n , C2： p 4cos 6,求两 曲线交点的直角坐标.1. 已知直线的极坐标方程2. 在极坐标系中，已知圆 相切，求实数a的值.3. (2012江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2 + y2 2x 0, 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C的极坐标 方程.n4. 已知圆M的极坐标方程为p 4.2 pcos 64 + 6

9、0,求p的最 大值.n5. (2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆 C经过点P ,2, n，圆心为直线pin 3 中与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.x 1 +1,1 .设直线11的参数方程为(t为参数),y a+ 3t,、7r K 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为pin 6- 3 pcos 6+ 4 0,若直线|1与12间的距离 为.10,求实数a的值.2. (2011江西高考改编)若曲线的极坐标方程为 p 2sin6+ 4cos 6, 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐 标方程.3极坐标系中，A为曲线p2+ 2 pcos

10、6-3 0上的动点，B为直线pcos 6+ pin 6- 7 0上的动点，求 AB的最小值.n4. 在极坐标系中，圆C的圆心c 6,石，半径r 6.(1) 写出圆C的极坐标方程；(2) 若Q点在圆C上运动，P在0Q的延长线上，且0Q ： QP 3 : 2, 求动点P的轨迹方程.备考方向要明了 考什么怎么考1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.本节考查的重点是参数方程和直角 坐标方程的互化，热点是参数方程、 极坐标方程的综合性冋题，难度较 小,主要考查转化和化归的思想方 法，女口 2012年新课标T23等.归纳知识整合求 |PF|.2.3.已知

11、点P（3, m）在以点F为焦点的抛物线x=4t， （t 为参数）上,y=4t（2012中山模拟）将参数方程x = cos a, y= 1 + sin a（a为参数）化成普通方1.参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C上任意一点P的坐标x,x=f t ，y都可以表示为某个变量t的函数：反过来，对于t的每个允y=g tx= f t ，许值，由函数式所确定的点P（x，y）都在曲线C 上,那么方程y= g t程.4.1x=t+t ,求参数方程ty=2（t为参数）表示的曲线.25.求椭圆” +卫普=1的参数方程.x=f t ， y=g t叫做这条曲线c的参数方程，变量t叫做参变数，简称

12、参数.相参数方程与普通方程的互例1将下列参数方程化为普通方程.3k x二 1+2， (1)6k2y_ 1+k2，x= 1 sin 2 0, y= sin 叶 cos0对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程探究1平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择 的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同.2.直线的参数方程将参数方程化为普通方程的方法经过点M（xo， yo），倾斜角为a的直线I的参数方程为（1）将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取X = xo + tcos a,y=yo + tsin a (

13、t为参数讥适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方3.圆的参数方程圆心为（a，b），半径为r的圆的参数方程为x= a+ rcos 0,尸b+ rsin 0(0为参数).消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消 参，女口 sin2 0+ cos2 0= 1 等.（2）将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增 解.1.将下列参数方程化为普通方程.程为的参数提示：如图，取椭圆=1（ab0）上任一点M作x轴垂线,4.椭圆的参数方程2 2椭圆字+ b= 1（a b 0）的参数方x= acos 0,y= bsin0(0 为参数).2 2探究2.椭

14、圆拿+ * = 1(ab0)x= acos方程（为参数）中，参数的几何意义是什么?y= bsin 交以原点为圆心，a为半径的圆于点A，就是点M所对应的圆的半径0A的 旋转角（或点M的离心角）即 Ox绕0逆时针转到与0A重合时的最小正角，代0,2 n.自测牛刀小试x = 1 + 3t,1 .若直线I的参数方程为（t为参数），求直线I倾斜角y= 2-4t的余弦值.1x=l，（1）1（t为参数）；y= 1 .t2-11 t2 x=， t（t为参数）.y=1+2例2 （2012湖南高考）在直角坐标系 xOy中，已知曲线C1 ：x=t+ 1,x= asin 0,（t为参数）与曲线C2：（0为参数，a0）

15、有一个y= 1 2ty= 3cos 0公共点在x轴上，求a的值.淳“此;订|与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程， 转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题.x=V5cos 0,2. （2011广东高考改编）已知两曲线参数方程分别为y= sin 0x=5t2,（0W0n和4（t R），求它们的交点坐标.y= t23. （2013扬州模拟）已知P（x, y）是椭圆4 + 卄1上的点，求 M = x + 2y的取值范围.x= 1 + s,x= t + 2,方程分别为I :（s为参数）和C：2 （t为参数），若ly= 1 sy= t与C相交于A、B两点，求AB|的长.极坐

16、标方程和参数方程的综合例3 （2012辽宁高考）在直角坐标系 xOy中，圆Ci： x2 + y2= 4, 圆 C2: （x 2）2 +4.x= 2+ t,x= 3+ 5cos 9,1.直线y= 1 t（t为参数）被圆y= 1 + 5sin9 （9为参数,求9 0,2力）所截得的弦长.（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci, C2的极坐标方程，并求出圆 C1, C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.|孑站：媳跻求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时， 如果不能直接用极坐标解决，或用极坐

17、标解决较麻烦时，可将极坐标方 程转化为直角坐标方程解决.转化时要注意两坐标系的关系，注意p 9的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同.4.直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极2 22. （2012福州模拟）已知点P（x, y）在曲线A + ” 1,a2 + b23,求x+ y的最小值.x= sin a,3.已知曲线C的参数方程为2 a 0,2力，曲线D的极坐y= cos a,n标方程为psin + 4 二2x= 3+ cos 9,坐标系，设点A, B分别在曲线C1：（ 9为参数）和曲线y= 4+ sin 9（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共

18、点？试说明理由.4. （2012福建高考）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M , N的极坐标分冗x= 2+ 2cos 9,别为（2,0）, ，n，圆C的参数方程为（9为参数）.32y= + 2s in 9C2： p= 1上，求|AB|的最小值.4种方法化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数 的常用方法有： 代入消元法； 加减消元法； 乘除消元法； 三角恒等式消元法数学思想一一参数方程中的转化思想在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵 活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及 的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系 下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化 生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想.典例（2012浙江高考改编）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程;（2）判断直线l与圆C的位置关系.x= 2cos 札5. （2012新课标全国卷）已知曲线C1的参数方程是o ,（ y= 3s in 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐