全等三角形培优竞赛讲义(全集)

1、精选文档 可编辑 全等三角形培优竞赛讲义(一) 知识点 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最 小角)是对应边(或对应角). 要

2、想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线. 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证

3、明两条线段间的位置关系和大小关系.而证 明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 例题精讲 板块一、截长补短 【例1】(06年北京中考题)已知 ABC中，A 60, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 【解析】BE CD BC, 理由是：在 BC上截取BF BE，连结OF , 利用SAS证得 BEO也BFO ,二12 , A 60 , BOC 1 90- 2 A 120 , DOE 120 , A DOE 180, AEO ADO 180 , 13 180, 24180, 12，二 34 , BE CD

4、. 利用 AAS 证得 CDO 也 CFO , CD CF ,二 BC BF CF 【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点 （点B除外），作 DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？ 【解析】 猜测DM MN 过点M作MG II BD交AD于点G , AG AM , GD MB 又/ADM DMA 120, / DMA / NMB 120 Z ADM Z NMB，而/ DGM / MBN 120 , DGM 也 MBN , DM MN . 【变式拓展训练】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM

5、且与Z ABC 外角的平分线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系？ 【解析】 猜测DM MN 在AD上截取 AG AM , DG MB , Z AGM 45 Z DGM Z MBN 135 , ZADM Z NMB , DGM 也 MBN , DM MN . 【例3】 已知：如图, ABCD是止方形， Z FAD= ZFAE.求证：BE+DF=AE. 【解析】 延长CB至M，使得BM= DF，连接AM . AB=AD , AD 丄 CD, AB 丄 BM , BM= DF /ABM 也zADF /AFD= ZAMB，/DAF= /BAM AB /CD ZAFD= ZBAF= ZEAF+

6、ZBAE= ZBAE+ /BAM = /EAM ZAMB= /EAM AE= EM = BE+ BM = BE+ DF. 【解析】 【例5】 ABD、 ACE，连结 CD、BE 相交 因为 ABD 、 以 AB AD , AE 是等边三角形 ,所 【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 于点0 .求证：OA平分 DOE . AC , ACE BAD 60, 则 BAE DAC，所以 CAE BAE也 DAC , 则有 ABE ADC , AEB ACD , BE 在DC上截取DF BO,连结AF，容易证得 进而由AF AO .得 AFO DC . ADF也 ABO, ACF也 A

7、EO . 由 AOE AFO可得 AOF （北京市、天津市数学竞赛试题 AOF ; AOE，即 OA平分 DOE . ）如图所示， ABC是边长为1的正三角形, BDC是 顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60的 MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求 AMN的周长. 精选文档 可编辑 A E 【解析】如图所示，延长 AC到E使CE BM . ECD 90，BM CE， 在 BDM与 CDE中，因为BD CD , MBD 所以 BDM也 CDE，故MD ED . NDC 60. 因为 BDC 120，MDN 60，所以 BDM 又因为 BDM CDE，所以 MDN EDN 60.

8、 在 MND 与 END 中，DN DN， MDN EDN 60，DM DE , 所以 MND也 END，贝U NE MN，所以 AMN的周长为2 . 【例6 五边形 ABCDE中，AB = AE, BC+ DE= CD，/ABC+ ZAED= 180 求证：AD平分/CDE 【解析 延长DE至F,使得EF=BC，连接AC. V/ABC+ z7ED=180 AEF+ ZAED=180 AB=AE, BC= EF EF=BC, AC= AF BC+ DE=CD ./ABC zAEF CD=DE+ EF= DF DC zADF zADC= ZADF 即AD平分/CDE. 板块二、全等与角度 【例7

9、如图，在ABC中, 求 ABC的度数. 【解析如图所示，延长 AB至E使BE 由 AC AB BD 知 AE AC , BAC 精选文档 而 BAC 60，则 AEC为等边三角形 注意到 EADCAD , AD AD , AE AC 故AED也 ACD 从而有DE DC , DEC DCE , 故BED BDE DCE DEC 2 DEC 所以 DEC DCE 20 , ABC BEC BCE 60 【另解】在AC上取点 E，使得AE AB，则由题意可知 CE BD 在ABD和 AED 中, AB AE , BADEAD , AD AD， 20 80 . 则ABD也AED，从而BD DE ,

10、进而有 DE CE ,ECD EDC , AED ECD EDC 2 ECD. 注意到 ABD AED，则: ABC ACB 1 ABC - ABC 2 故 ABC 80 . -ABC 2 180 BAC 120， 可编辑 【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成 AE，利用角平分线 AD可以构造全等 三角形同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分 自然的 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法 【例8】在等腰 ABC中，AB AC，顶角 求 B

11、DC. A 20，在边 AB上取点D，使 AD BC， 在 ABC和 EAD中 ,AD BC ,AB EA, EADBAC 80 ABC : 则 ABC也 EAD. 由此 可得ED EA EC,所以 EDC 是等腰三角形 由于 AED BAC 20, 则 CED AEC AED 60 20 40, 从而 DCE 70 , DCA DCE ACE 70 6010 , 则 BDC DAC DCA 20 10 30. 【解析】以AC为边向 ABC外作正 ACE，连接DE CAE 20 60 | 【另解1】以AD为边在 ABC外作等边三角形 ADE，连接EC. 在 ACB 和 CAE 中，CAE 60

12、20 ACB，AE AD 因此 ACB也CAE , CB , .D , AC CA, 从而 CAB ACE, CE AB AC. 在CAD和CED中，AD ED , CE CA, CD CD , 故 CAD也 CED, 从而 ACD ECD , CAB ACE 2 ACD , 故 ACD 10，因此 BDC 30 【另解2】如图所示，以BC为边向 ABC内部作等边 BCN，连接NA、ND. 在 CDA和 ANC 中，CN BC AD， CAD 20， ACNACB E BCN 80 60 20, 故 CAD ACN， 而AC CA，进而有 CDA也 ANC . 贝U ACDCAN 10, 故

13、BDCDAC DCA 30 角度之间的 C 20， 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、 关系. 【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在 ABC中，AC BC， 又M在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50， ABM 60，求 NMB . 【解析】过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P . 连接PN，易知 APB、 MKP均为正三角形. 因为 BAN 50 , AC BC, C 20 , 所以 ANB 50 ,BN AB BP, BPN BNP 80 则 PKN 40 , KPN 180 60 80 40 , 故PN KN . 从而 M

14、PN 也 1 MKN . 进而有 PMN KMN , 1 NMB - 2 KMP 30 . 【另解】如图所示，在 AC上取点D，使得 ABD 20， 由 C 20、AC BC 可知 BAC 80 . 而 ABD 20，故 ADB 80，BA BD . 在 ABN 中， BAN 50， ABN 80， 故 ANB 50，从而BA BN ，进而可得BN BD. 而 DBNABC ABD 80 20 60 , 所以BDN为等边三角形. 在 ABM 中， AMB 180 ABM BAM 180806040 , DBMADB AMB 80 40 40 , 故 DMBDBM，从而 DM DB. 我们已经得

15、到 DM DN DB，故D是 BMN的外心, 1 从而 NMB NDB 30 . 2 【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger将其 喻为“平面几何中的一颗明珠”本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角 【例10】在四边形ABCD中，已知AB AC, ABD 60， 求 DBC的度数 ADB 76， BDC 28， ADCADB BDC 7628104 , 故ADE ADC 又因为AD AD , DE DC , 故 ADE也 ADC 因此AE AC , E ACD , EADCAD 又因为AB AC , 故 AE AB ,ABC ACB. 【解析

16、】如图所示，延长BD至E，使DE DC，由已知可得: ADE 180 ADB 18076104， 而已知 ABD 60， 所以ABE为等边三角形 E 函数也不是那么容易 于是 ACD E EAB 60， 故 CAD 180 ADC ACD 16， 则 CAB EAB CAD EAD 28 , 从而 ABC 1 (180 2 CAB) 76 , 所以 DBC ABC ABD 16 . 【例11】 （日本算术奥林匹克试题）如图所示， 在四边形ABCD中， 【解析】 CAB 36， ABD 48， DBC 24，求 ACD 的度数. 仔细观察，发现已知角的度数都是 12的倍数，这使我们想到构造 用正

17、三角形 在四边形 ABCD外取一点P，使 PAD 12且AP 在 ADP 和 ADC 中， PAD CAD 12，AP 故 ADP 也 ADC . 从而 APD ACD . 在 ABC 中， CAB 36 , ABC 72 , 故 ACB 72 , AC AB, A = AC,连接 PB、PD. P AC , AD AD , DAC 12， 从而利 6 精选文档 故 BCD 30o. 而 DBEDBC , BE AB BC ,BD 因此 BDE 也 BDC ，故 BED BCD 从而AP AB . 而 PAB PAD DACC ；AB 121236 60 , 故 PAB是正三角形， APB 6

18、0 , PA PB . 在DAB中, 故 DA DB. DAB DAC CAB 1236 48DBA , 在PDA和 PDB 中, PA PB ,PD PD , DA DB , 故PDA也 PDB , 从而 APD BPD 1 APB 2 30 , 则 ACD 30 . 【例12】（河南省数学竞赛试题 在ABC外取一点E，使 DBE 【解析】 如图所示，连接DC.因为AD BD，AC 则 ADC也 BDC, 【例13】 （北京市数学竞赛试题 内一点，使得 ）如图所示，在 MCA 30 , MAC 【解析】 在ABC中, 如图所示，作 由 BD A D 精选文档 则有 OAC MCA 30 ,

19、BAO BAC OAC 443014 , OAM OAC MAC 301614 , 所以 BAO MAO . 又因为 AOD 90 OAD 903060 COD , 所以 AOM 120 AOB . BOM 120 而AO AO , 因此 ABO也 AMO , 故OB OM . 由于 BOM 120 , 贝 U OMB OBM 180 BOM 30 2 OU ? 故 BMC 180 OMB 150 . 全等三角形培优竞赛讲义(二) 【知识点精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中, 互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对

20、应角。 2. 全等三角形的表示方法：若 ABC和从B C是全等的三角形，记作“MBC也必 B C 其中，“也”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等; 4. 寻找对应元素的方法 (1 )根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角； 以对应顶点为端点的边 是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此， 由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2 )根据已知的对应元素寻找 相等的角是对应角， 相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应

21、边，相等的边所对的 角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边; (3 )通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 可以看出其中一个是由另一个 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析, 经过下列各种运动而形成的。 到的; 翻折如图( 旋转 如图(2) COD也 EOD沿直线AO翻折180 得 Jp 孑D A D A B C E B F BOC可以看成是由 BOA , COD可以看成是由 BOA绕着点O旋转180 得 可编辑 到的; 平移 如图(3) DEF也ACB , DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到 的。 5. 判定三角形全等的方法: (1) 边角边公理、角边角

22、公理、边边边公理、斜边直角边公理 (2) 推论：角角边定理 6. 注意问题： (1) 在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； (2) 不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即 AAA ; b :有两边和其中一 角对应相等，即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。 在平 面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等 例1 :如图，已知 AD=AE,AB=AC. 求证：BF=FC 分析：由已知条件可证出 A

23、CD也/ABE，而BF和FC分别位于厶DBF和厶EFC中，因此 先证明 ACD BABE，再证明厶DBF 也/ECF,既可以得到 BF=FC. 证明：在厶ACD 和 AABE中， AE=AD Y / A= / A AB=AC. AACD BaaBE (SAS) ZB= ZC (全等三角形对应角相等) 又/ AD=AE,AB=AC. AB AD=AC AE 即 BD=CE 在ADBF 和AECF 中 / B= / C -/ BFD= / CFE （对顶角相等） BD=CE ADBF 也 2ECF （AAS ） BF=FC （全等三角形对应边相等） （2）证明线段平行 例2 :已知：如图， DE丄

24、AC, BF丄AC,垂足分别为 E、F, DE=BF , AF=CE.求证: AB /CD 分析：要证 AB /CD，需证/C=ZA，而要证/ C=ZA，又需证A ABF也DE.由已知BF 丄 AC , DE 丄 AC,知/DEC = /BFA=90 ，且已知 DE=BF , AF=CE.显然证明A ABF 也DE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证/C=/A,进一步证明AB /CD. 证明： DE丄AC , BF丄AC（已知） /DEC = /BFA=90 （垂直的定义） 在A ABF 与ACDE 中, -AF=CE（已知） r / DEC = / BFA（已证） 1- DE=BF （

25、已知） AABF B/CDE （ SAS） ZC = /A （全等三角形对应角相等） AB /CD （内错角相等，两直线平行） （3 ）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例3 :如图，在 ABC中，AB=AC，延长 AB到D，使BD=AB，取AB的中点E,连 接CD和CE.求证：CD=2CE 分析： （i ）折半法：取 CD中点F,连接BF，再证 CEBzCFB.这里注意利用 BF 是AACD中 位线这个条件。 证明：取CD中点F,连接BF 1 BF= AC,且BF/AC （三角形中位线定理） 2 ZACB = 72（两直线平行内错角相等） 又 AB=AC

26、ZACB = 73 （等边对等角） Z3 =72 在 ACEB 与 ACFB 中， -BF=BE 一 Z 3=7 2 CB=CB ACEBzCFB （SAS） 1 CE=CF= CD （全等三角形对应边相等） 即 CD=2CE (ii)加倍法 证明：延长 CE到F,使EF=CE，连BF. C 4 1 A E2 3 BD I / I I / I 1/ f F 在 AAEC 与 ABEF 中， -AE=BE -Z 1 = 7 2 (对顶角相等) CE=FE AXEC BAEF (SAS) AC=BF, 74 = 73 (全等三角形对应边、对应角相等) BF/AC (内错角相等两直线平行) / ZA

27、CB+ /CBF=180 , ZABC+ /CBD=180 , 又 AB=AC7ACB= /ABC zCBF= ZCBD（等角的补角相等） 在 ACFB 与 ACDB 中， CB=CB 7CBF= 7 CBD .BF=BD ACFB Bcdb (SAS) CF=CD 即 CD=2CE 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的 线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF（如图）（B为AD中点是利用 这个办法的重要前提），然后证CE=BF. （4）证明线段相互垂直 例4 :已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上， ADC、ABDO为等腰三角形，

28、AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 C /OE AD B 分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后 再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC , AO丄BC. 证明：延长 AO交BC于丘,在4ADO 和 ACDB中 AD=DC Z ADO= Z CDB=90 - OD=DB AADO zCDB （SAS） AO=BC,ZOAD= /BCD （全等三角形对应边、对应角相等） ZAOD =ZCOE （对顶角相等） ZCOE+ ZOCE=90 0 AO 丄 BC 5、中考点拨： 例1 .如图，在 ABC中，AB = AC , E是

29、AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧，交 BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF = DE,连结FC. 求证：Z F=/A. 分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中/A、 ZF不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF/AC，因此把/ A通过同位角转到厶BDE 中的/BED，只要证厶EBDzFCD即可. 证明： AB= AC, /ZACB=ZB, VEB= ED, /ZACB=/EDB. ED/AC. /ZBED=ZA. VBE= EA. BD= CD. 又 DE = DF, /BDE=/CDF ZBDENDF, ZBED=/F. ZF=/A. 说

30、明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求 全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、 公共角、公共边、平行线的同位角、 内错角等相等的关系。 例2如图，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD，连 接 CE、DE.求证：EC=ED / E A / / BCD 分析：把已知条件标注在图上， 需构造和厶AEC全等的三角形，因此过D点作DF /AC交 BE于F点，证明 AEC也ED即可。 证明：过D点作DF /AC交BE于F点 / ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD / AE=BD AE=BF=FD AE

31、 AF=BF AF 即 EF=AB EF=AC 在厶ACE和ADFE中， EF=AC （已证） ZEAC = Z EDF （两直线平行，同位角相等） AE=FD （已证） AEC 也ED （SAS） EC=ED （全等三角形对应边相等） 题型展示: 例 1 如图， ABC 中，Z C= 2 ZB,Z1 =Z2。求证：AB = AC + CD . 分析：在AB上截取AE= AC,构造全等三角形， AEDZACD，得DE= DC ,只需证 DE= BE问题便可以解决. 证明：在AB上截取AE= AC,连结DE. / AE = AC,/1 = Z2 , AD = AD , AED BzACD, DE

32、 = DC ,ZAED =ZC. / ZAED = /B+/EDB,/C = 2 ZB, 2 ZB=ZB+ZEDB. 即 ZB=ZEDB. EB= ED,即卩 ED = DC, : AB = AC + DC. 剖析： 证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法 （即在长 线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段）；如作 AE= AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法（即延 长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等） ,其目的是把证明线段 的和差转化为证明线段相等的问题, 实际上仍是构造全等三角

33、形, 这种转化图形的能力是中 考命题的重点考查的内容. 【实战模拟】 1. 下列判断正确的是（ ） （ A ）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B ）有两边对应相等，且有一角为 30。的两个等腰三角形全等 （C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2.已知：如图，CD丄AB于点D ,BE丄AC于点E, BE、CD交于点0,且AO平分Z BAC.求 证： OB= OC. 3.如图，已知 C为线段AB上的一点, ACM 和 CBN都是等边三角形， AN和CM 相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。 1 4.如图，

34、在 ABC中，AD为BC边上的中线.求证： AD AE （三角形两边之和大于第三边） AB + AC 2AD （等量代换） 即 AD-1AB + AC 说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。 5. 分析：由于BD与CG分别在两个三角形中， 欲证BD与CG相等，设法证 CGEzBDF。 由于全等条件不充分，可先证厶 AECzCFB 证明：在 Rt AEC与Rt CFB中， AC= CB, AE丄CD于E, BF丄C交CD的延长线于 F zAEC=/CFB= 90 又ZACB= 90 ZCAE= 90 ACE=/BCF Rt AECRt CFB CE= BF 在 RtBFD 与

35、 RtCEG 中，/F=/GEC= 90 ,CE= BF, 由ZFBD= 90 zFDB= 90 DH = ZECG, Rt FD 织t CEG BD = CG 全等三角形培优竞赛讲义（三） 全等三角形的证明方法 【知识点精读】 这两 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型： 一是平面图形的数量关系； 二是有关平面图形的位置关系。 类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果） ,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向 可

36、编辑 精选文档 前推进，直到问题的解决； （2 ）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所 需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达， 因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达 到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线， 以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】1、证明线段

37、相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。 例 1.已知：如图 1 所示， ABC 中， C 90，AC BC, AD DB，AE CF 。 A E 、D C F B 求证：DE= DF图1 分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中点，可考虑连 结CD，易得CDA D , DCF 45。从而不难发现 DCF DAE 证明：连结CD AC BC A B A

38、CB 90 , AD DB CD BD AD, DCB B A AE CF, A DCB, AD CD ADE CDF DE DF 作顶角的 更应该连结CD , 使DG =DE，连 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中, 平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中， 因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G， 结BG,证 EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例 2.已知：如图 2 所示，AB = CD , AD = BC, AE = CF。 求证：/ E=ZF E AD BC F 图2 证明：连结AC 在A

39、BC和 CDA中， AB CD, BC AD, AC CA ABC CDA(SSS B D AB CD, AE CF BE DF 在 BCE和 DAF中, BE DF B D BC DA BCE DAF （SAS） E F 这时应注 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形, 意: （1 ）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2 ）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明。 证两条直 线垂

40、直，可转化为证一个角等于 90。，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来 证。 例3.如图3所示，设BP、CQ是 ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ 的垂线。求证：KH /BC A Q八。 / K H / i.1SA B M N C 图3 分析：由已知，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延长AH交BC于N，贝U BA = BN , AH =HN 。同理，延长AK交BC于M ,贝U CA = CM , AK = KM 。从而由三角形的中位线定理， 知 KH /BC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M BH 平分/ABC / ABH / NBH 又BH丄AH Z

41、 AHB Z NHB 90 BH = BH ABHNBHA； SA） BA BN, AH HN 同理，CA = CM , AK = KM KH是AMN的中位线 KHM/ N 即 KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例 4.已知：如图 4 所示，AB = AC, Z A 90 , AE BF, BD DC。 求证：FD丄ED A I / ! E F /2：3/ 1 BDC 图4 证明一：连结AD AB AC, BD DC Z 1 Z 290，/ DAE Z DA

42、B Z BAC 90 , BD DC BD AD Z B Z DAB Z DAE 在ADE和 BDF中， AE BF , Z B Z DAE, AD BD ADE BDF 3 1 3290 FD ED 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用 辅助线。 证明二：如图5所示，延长 ED到M，使DM = ED,连结FE, FM , BM A F jr 1 tl 1 、 E BD DC B M DC 图5 BDMCDE, BDMCDE DM DE CE BM, C BM / /AC A 90 CBM ABM 90A AB AC, BF AF CE BM AE 说明

43、：证明两直线垂直的方法如下： (1)首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证 (2)找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 (3 )证明二直线的夹角等于 90 。 3、证明一线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。(截 长法) 例5.已知：如图6所示在 ABC中， B 60，/BAC、/BCA的角平分线 AD、CE 相交于O。 求证：AC = AE+ CD O 1 4 23 5 A 分析: 在 AC上截取 AF = AE。 易知 AEO AFO , 2。由 B 60 , FOCD 证明: 602, 3 1

44、20 23460，得: OC, FC DC 在AC上截取 AF = AE BADCAD, AO AO AEO AFO SAS 4 2 又 B 60 5 660 1 60 2 3120 1 23460 FOC DOC (AAS) FC DC 即 AC AE CD （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明 该线段等于较长线段。（补短法） 例6.已知：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上， EAF 45。 求证：EF= BE + DF 分析：此题若仿照例1 , 将会遇到困难, 不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G , 可编辑 使 BG=

45、DF。 证明：延长CB至G,使BG = DF 在正方形ABCD中， ABG D 90 , AB AD ABG ADF (SAS) AG AF,13 又 EAF 45 2 3 45 21 45 即ZGAE = ZFAE GE EF EF BE DF 4、中考题： 如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且 使 AE = BD，连结 CE、DE。求证：EC= ED E / F A BCD 图8 证明：作DF/AC交BE于F ABC是正三角形 BFD是正三角形 又 AE = BD AE FD BF BA AF EF 即 EF= AC AC/FD EAC EFD EAC

46、DFE (SAS) EC ED 题型展示： 证明几何不等式：例题：已知：如图 9所示， 12 , AB AC。 求证：BDD C C BD E 图9 证明一：延长AC至U E,使AE = AB,连结DE 在ADE和ADB中， AE AB,21, AD AD ADE ADB BD DE, E B DCE B DCE E DE DC, BD DC 证明二：如图10所示，在 AB上截取AF = AC,连结DF A /1 2 / / F34 BD C 图10 则易证 ADF ADC 3 4，DF DC BFD 3，4 B BFD B BD DF BD DC 这是常用辅助线。 说明：在有角平分线条件时，

47、常以角平分线为轴翻折构造全等三角形, 【实战模拟】 1.已知：如图11所示， ABC中, 90 , D是AB上一点，DE丄CD于D，交 BC于E,且有AC AD CE。求证: DE 1 CD 2 2.已知: 如图12所示，在 ABC中, 求证: BC = AC + AD 3.已知: 如图13所示，过 ABC的顶点A, 垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MP = MQ D 图11 2 B , CD是/C的平分线。 图12 在/A内任引一射线，过 B、C作此射线的 Q B C M P 图13 4. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求证： AD -AB AC BC 【试题

48、答案】 1. 证明：取CD的中点F,连结AF C 4 1、 丿-F /3E ADB AC AD AF CD又 1490 ,1390 AFC CDE 90 43 AC CE ACF CED (ASA) CF ED 1 DE CD 2 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一 “截长”即将长的线段截 条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。 成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。 证明：延长CA至E,使CE= CB,连结ED 在CBD和 CED中, CB CE BC

49、D ECD CBD CED B E BAC 2 B BAC 2 E BAC ADE E ADE E， AD CD CD AE 又 CEA C BC AEA C AD Q、r 3.证明: 延长PM交CQ于R cq ap, bp ap BP/CQ PBM RCM 又 BM CM, BMP CMR BPM CRM PM RM QM是Rt QPR斜边上的中线 MP MQ 4.取BC中点E,连结AE B DEC BAC 90 2AE BC AD BC， AD AE BC 2AE 2AD AB AC BC 2BC AB AC BC 4AD AB AC BC AD -AB AC BC 全等三角形培优竞赛讲义

50、（四） 等腰三角形 【知识点精读】一、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2 :等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的 垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两 角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶 角的平

51、分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据。 、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等 边”。 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2 :有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形。 推论3 :在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3.

52、等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅 助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等 腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有 时作哪条线都可以， 有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线， 这要视具体情况来 【分类解析】 例1.如图，已知在等边三角形 ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE =CD , DM丄BC,垂足为M。求证：M是BE的中点。 A 分析：欲证M是BE的中点，已知 DM丄BC,所以想到连结 BD，证BD = ED

53、。因为 11 ABC是等边三角形，/ DBE = /ABC，而由CE= CD，又可证/ E= 4CB，所以/ 1 =Z 22 E,从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 1 所以/ 1 =/ABC 2 又因为CE = CD，所以/CDE = /E 所以/ACB = 2 ZE 即/1 = /E 所以BD = BE，又DM丄BC,垂足为 M 所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理） 例2.如图，已知： ABC中，AB AC , D是BC上一点，且AD DB, DC CA , 求 BAC的度数。 D 分析：题中所要求的 BAC在 ABC中，但仅靠AB AC是无法求出来

54、的。因此需 要考虑AD DB和DC CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外 角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为AB AC，所以 B C 因为AD DB，所以 B DAB C ； 因为CA CD，所以 CAD CDA （等边对等角） 而 ADC B DAB 所以 ADC 2 B, DAC 2 B 所以 BAC 3 B 又因为 BCBAC 180 即 B C 3 B 180所以 B 36 即求得 BAC 108 说明：1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角 的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在

55、解题中发挥着重要的作用，这一点在后 边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例3.已知：如图，ABC中，AB AC，CD AB 于 D。求证：BAC 2 DCB。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形, BAC是等腰三角形的顶角, 于是想到构造它的一半，再证与 DCB的关系。 证明：过点A作AE BC于E，AB AC 1 所以12 BAC （等腰三角形的三线合一性质） 2 因为1 B 90 又CD AB， 所以 CDB 90 所以 3 B 90 （直角三角形两锐角互余）

56、所以13 （同角的余角相等） 即 BAC 2 DCB 说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的 倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法, 对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法, 如构造出 DCB的等角等。 4、中考题型： 1.如图，KBC 中，AB = AC ,ZA = 36 ,BD、 CE分别为/ABC 与ZACB的角平 分线，且相交于点 F,则图中的等腰三角形有（ A. 6个 B. 7个 D. 9个 C. 8个 分析：由已知条

57、件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8 个，故选择C。 2.）已知：如图，在 ABC中，AB = AC, D是BC的中点，DE丄AB , DF丄AC, E、F 分别是垂足。求证：AE = AF。 证明：因为AB AC，所以 B C 又因为DE AB, DF AC 所以 BEDCFD 90 又D是BC的中点，所以DB DC 所以 DEBCFD(AAS) 所以BE CF，所以AE AF 说明：证法二：连结 AD，通过 AEDAFD证明即可 5、题形展示： 例 1.如图， ABC 中，AB AC， A 100，BD 平分 ABC。 求证：AD BD BC。 分析一：从要证明的

58、结论出发，在 BC上截取BF BD，只需证明CF AD，考虑到 12，想到在 BC上截取BE BA，连结 DE，易得，则有 AD FD，只需证明 DE CF，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出CF DF DE 。 证明一：在BC上截取BE BA，BF BD，连结 DE、DF 在ABD和EBD中，BA BE， 12，BD BD ABDEBD(SAS) AD DE， BEDA 100 DEF 80 又 AB AC， A 100 1 ABC C (180100 )40 2 1 12 4020 2 BFD BDF 1 -(180 2) 1 -(180 2 20 )80 DEF DFE 80DE DF DFE 80 , C 40 FDC DFE C 8040 40 FDC C DF FC AD DE DF FC BC BF FC BD AD 即 AD BD BC