全等三角形中做辅助线的技巧

1、精选文档 全等三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角 平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离 相等。对于有角平分线

2、的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件 与角有关的辅助线 ()、截取构全等 F 图1-1 B 如图 1-1 ,ZAOC= ZBOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，贝U有OED A D C 图1-2 OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条 件。 例 1.如图 1-2，AB/CD，BE 平分ZBC D，CE平分/BCD，点E在AD上，求证：BC =AB+CD o 例2. 已

3、知：如图 1-3，AB=2AC，ZBAD= /CAD，DA=DB，求证 DC丄 AC 例3. 已知：如图1-4，在AABC中，/C=2 ZB,AD平分ZBAC，求证：AB -AC=CD 图1-4 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？ 练习 1. 已知在ZABC 中，AD 平分/BAC，ZB=2 /C,求证：AB+BD=AC 2. 已知：在厶ABC 中，/CAB=2 ZB, AE 平分/CAB 交 BC 于 E, AB= 2AC，求证：AE

4、=2CE 3. 已知：在厶ABC中，ABAC,AD 为/BAC的平分线，M为AD上任 点。求证：BM-CMAB-AC 4. 已知：D是AABC的ZBAC的外角的平分线AD上的任一点，连接D B、DC。求证：BD+CDAB+AC 。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 图2-1 问题。 例 1.如图 2-1，已知 ABAD, ZBAC= ZFAC,CD= BC。 求证：ZADC+ ZB=180 分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证Z ADC与/B之和为平角 例2.如图 2-2，在ABC 中，/A=90 ,

5、AB=AC ,ZABD= ZCBD。 求证：BC=AB+AD 分析：过D作DE丄BC于E,贝U AD=DE=CE ，贝U构 造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分 图2-2 例3.已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于 A 4 B 3 C 2 D 1 问题，从中利用了相当于截取的方法。 可编辑 1.5,DB=2.5.求 AC。 点，F为BC 上的点，/FAE= /DAE。求证：AF=AD+CF 。 5. 已知：如图2-7，在RtABC中，/ACB=90 ,CD丄AB，垂足为D , AE平分/CAB交CD于F,过F作FH/AB 交BC于H。求证CF=BH。 （三）：作角平分

6、线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。 例 1. 已知：如图 3-1，ZBAD= ZDAC，ABAC,CD 丄AD C 1 于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC ） F 分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证 例2.已知：如图 3-2，AB=AC，ZBAC=90 ，AD 为/ ABC的平分线，CE丄BE.求证：BD=2CE。 分

7、析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的 垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角 例3 .已知：如图3-3在ABC中，AD、AE分别 ZBAC的内、外角平分线，过顶点 B作BFAD，交AD 的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。 求证：AM=ME。 E N 图 3-3 分析：由AD、AE是ZBAC内外角平分线，可得E 例4. 已知：如图3-4，在AABC中，AD平分ZBAC， AD=AB，CM 丄 AD A丄AF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。 1 分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 交AD延长线于M。求证：AM= - (

8、AB+AC ) 1 ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM= - EC, 2 1 另外由求证的结果 AM= - (AB+AC )，即2AM=A B+AC，也可尝试作 ACM关于CM的对称 FCM， 然后只需证DF=CF即可 练习： 1. 已知：在厶ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是ZBAC 的 平分线，且CE丄AE于E,连接DE，求DE 2. 已知BE、BF分别是AABC 的ZABC的内角与外角的平分线，AF丄B 1 F于F，AE丄BE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN= - BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分

9、线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。 图4-1 图4-2 如图，ABAC, /仁Z2，求证: 例 5 如图，BCBA，BD 平分/ABC,且 AD=CD，求证：/A+ /C=180。 例6 +CD o 女口图，AB /CD, AE、 练习: 1. 已知，如图，/ C=2 ZA, AC=2BC。求证：AABC是直角三角形 C 2 .已知：如图，AB=2AC，/仁 Z2, DA=DB，求证：DC 丄AC C 3 .已知CE、AD是AABC的角平分线，/ B=60。，求证：

10、AC=AE+CD D 4.已知：如图在厶ABC中，/A=90 ,AB=AC , BD是/ABC的平分线, 求证：BC=AB+AD 二、由线段和差想到的辅助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 一、 在利用三角形

11、三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可 连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1 : D、E为ABC内两点，求证:AB+ACBD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE两边延长分别交 AB、AC于M、N , 在KMN 中，AM+ANMD+DE+NE; （1） 在BDM 中，MB+MDBD ；（2） 在MEN 中, CN+NECE ；（3） 由（1）+（ 2）+（ 3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （法二：图 1-2 ） 延长BD交

12、AC于F,廷长CE交BF于G,在AABF 和A3FC和GDE中有: AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（ 1） GF+FOGE+CE （同上）（2） DG+GEDE （同上）（3） 由（1） + （2） + （3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+ 图2 1 DE AB+ACBD+DE+EC 。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的 位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1 :已知D为AABC内的任一点，求证

13、：/ BDC ZBAC 分析:因为ZBDC与ZBAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添 加辅助线构造新的三角形，使ZBDC处于在外角的位置，ZBAC处于在内角的位 置; 证法 :延长BD交AC于点E,这时ZBDC是生DC的外角, zBDC /DEC，同理ZDEC ZBAC，a/BDC ZBAC 证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时ZBDF是ABD的 夕卜角，：/BDF /BAD，同理，Z CDF /CAD ,：ZBDF+ ZCDF ZBAD+ /CAD，即：ZBDC ZBAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位

14、置上，再利用不等式性质证明 图3 1 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形, 如: 例如：如图3-1 :已知AD为AABC的中线，且Z仁 2 Z3= Z4,求证：BE+CFEF。 分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定 理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由 已知Z仁Z2， Z3= Z4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF移到同个三角形中。 证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF ,贝U DN=DC， 在DBE和NDE中： DN=DB （辅助线作法） /仁Z2 （已知） ED=ED （公共边） zDBE

15、dNDE （SAS） BE=NE （全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF 在ZEFN中EN+FNEF （三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段， 构造全 等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。 三、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图6-1 :在AABC中，ABAC , Z1= Z2, P为AD 上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 分析:要证：AB-AOPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因 为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC， 故可在AB上截取AN等于AC，

16、得 AB-AC=BN，再连接PN，贝U PC=PN，又 在ZPNB 中, PB-PNvBN ， 即：AB-ACPB-PC 。 证明：（截长法） 在AB上截取AN=AC 连接PN,在AAPN和4APC中 AN=AC （辅助线作法） 上仁Z2 （已知） AP=AP （公共边） ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形对应边相等） T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形两边之差小于第三边） BP-PCvAB-AC 2 1 P C N D 证明：（补短法） 延长AC至M，使AM=AB，连接PM , 在MBP和/AMP中 f AB=AM （辅助线作法） /仁Z2 （已知） AP=A

17、P （公共边） z.zABPzAMP （SAS） PB二PM （全等三角形对应边相等） 又.在ZPCM中有：CMPM-PC（三角形两边之差小于第三边） AB-AOPB-PC。 例1 如图, +BE。 例2如图，在四边形 ABCD中，AC平分/BAD , CE丄AB于E, AD+AB= 2AE , 求证：/ADC+ ZB=180 o 例3已知：如图，等腰三角形 ABC 中, AB=AC , A=108 ,BD 平分 A BCo 求证：BC=AB+DC o 例4如图，已知 RtKBC 中, ZACB=90 ,AD是/CAB的平分线，DM丄 1 AB 于 M , 且 AM=MB o 求证：CD= 2

18、 DB。 【夯实基础】 例： ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD，求证 方法1 :作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,证明二次全等 方式1 : E 延长AD到E, 使 DE=AD , 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD 连接BE 方式2 :间接倍长 C 1* E 作CF丄AD于F, 作BE丄AD的延长线于 C 延长MD DN=MD 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1 : ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2 :已知在厶ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，ID

19、E交BC于F,且 E 方法3 :过D作DG丄BC于G ,过E作EH丄BC的延长线于 H 证明 BDG zECH 第1题图 A 例3 :已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD AC 于 F,求证：AF=EF 提示：倍长 AD至G,连接BG,证明 BDG也DA 三角形BEG是等腰三角形 例4 :已知：如图，在ABC中，AB AC，D、E在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF / BA交 AE 于点 F,DF=AC. 求证：AE平分 BAC 提示： 方法1 :倍长AE至G,连结DG 方法2 :倍长FE至H，连结CH 例 5 :已知 CD=AB，/BDA= /BAD , AE 是AB

20、D 的中线，求证：/ C= /BAE 提示：倍长AE至F,连结DF 证明 ABE也/FDE ( SAS) 进而证明厶ADF也/ADC ( SAS) 【融会贯通】 1、在四边形 ABCD中，AB /DC , E为BC边的中点，/ BAE= /EAF, AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE、DF交于G 证明 AB=GC、AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如图，AD为 ABC的中线，DE平分 于E，DF平分 ADC交AC于F.求证：BE 提示： 方法1 :在DA上截取 DG=BD，连结EG、 证明 BDE zGDEADCF

21、zDGF BDA 交 AB D 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2 :倍长ED至H，连结CH、FH 证明 FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 3、已知：如图， ABC中， C=90, CM AB于M , AT平分 BAC交CM于D，交 A B C BC 于 T,过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E,求证：CT=BE. 提示：过T作TN丄AB于N 证明 BTN也/ECD 1.如图，AB /CD , AE、DE 分别平分/BAD 各ZADE，求证：AD=AB+C D。 nn 四、由中点想到的辅助线 口诀: 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形

22、中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点， 那么首先应该联想到 三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、 等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 （一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ABC的中线，贝U S abd=S ac= - Sa abc（因为 ABD与 ACD是等底同高的） 例1 .如图2，A ABC中, AD是中线，延长 AD到E,使DE=AD，DF是 DCE勺中线。已知 A ABC的面积为2，求：A CDF面积。 解：因为 AD是 ABC的中线，所以 Sa ac

23、gf . Sa abc= , X 2=1，又因CD 是 A ACE的 中线，故 Sa cd=S a ace=1 ， 因DF是A CDE勺勺中线，所以Sa cd= _ Sa cd= _ X 1=。 1 A CD的面积为，。 （二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例2 .如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点, BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：/ BGE= /CHE。 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ME是 BCD勺中位线， ME= 1 CD, AJMEF= /CHE, MF是 ABD的中位线， MF AB , AJMFE=

24、ZBGE, =L VAB=CD , AME=MF，/IEF= ZMFE , 从而 ZBGE= /CHE。 （三）、由中线应想到延长中线 例3 .图4，已知 ABC中, AB=5 , AC=3，连BC上的中线AD=2，求B C的长。 解：延长 AD 至U E, 使 DE=AD，贝U AE=2AD=2 X 2=4。 在 ACD和 EBD中, AD=ED , /ADC= ZEDB, CD=BD , ACDA EBAC=BE , 从而 BE=AC=3。 在 A AB冲，因 AE2+BE2=42+3 2=25=AB 2，故/E=90 , BD=匚丁 孑=_1一，故 BC=2BD=2 二。 中线。求证：A

25、B等腰三角形。 证明：延长 AD到E,使DE=AD 仿例3可证： 例4 .如图5，已知 ABC中, AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的 BEDZAC , 故 EB=AC，/E= Z2, 又/仁Z2, 力=ZE, AB=EB，从而AB=AC，即 ABC是等腰三角形 （四）、直角三角形斜边中线的性质 例5 .如图6，已知梯形 ABCD中，AB/DC , AC丄BC, AD丄BD，求证： AC=BD 。 证明：取AB的中点E,连结DE、CE,贝U DE、CE分别为Rt ABD, Rt ZA 1 BC斜边AB上的中线，故 DE=CE= . AB，因此ZCDE= / DCE0 VAB/DC ,

26、zCDE= Z1 , ZDCE= Z2 , = Z2, 在 ADE和 BCE中 DE=CE，/仁 Z2 , AE=BE , ADEZ BCAD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD 。 精选文档 （五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例6 .如图7, ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 BD平分/ABC交A C于点D, CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 证明：延长BA , CE交于点卩，在 BE和 BEC中, U / , BE=BE，/BEF= / BEC=90 , BEFBEEF=EC，从而 CF=2CE。 又/1+ ZF= Z3+

27、 / F=90。，故/ Z3。 在 A ABD和 A ACF中, v/1= Z3, AB=AC , ZBAD= ZC AF=90 A ABDA ACBD=CF ,：BD=2CE。 注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线 （六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。 题目中如果出现了三角形的中线, 常延长加倍此线段，再将端点连结，便可 C M 得到全等三角形 例一：如图4-1 : AD为zABC的中线，且Z 1= Z, Z3= Z4，求证：BE+C FEF。 证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM , MF。在ABDE 和CDM 中， BD=CD （中点定义） Z1= Z5

28、 （对顶角相等） 可编辑 精选文档 ED=MD （辅助线作法） BDEFDM （SAS） 又/仁 Z2 ,/3= Z4 （已知） Z1+ Z2+ Z3+ 74=180 平角的定义） Z3+ 72=90 即：ZEDF=90 /FDM= ZEDF=90 在EDF和MDF中 r* ED=MD （辅助线作法） .ZEDF= ZFDM （已证） DF=DF （公共边） EDFdMDF （SAS） EF=MF （全等三角形对应边相等） 在MMF中，CF+CMMF （三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF 上题也可加倍FD，证法同上。 注意 当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构

29、造全等三角形，使题中分散的条件集中。 例二：如图5-1 : AD为zABC的中线，求证：AB+AC2AD。 分析：要证 AB+AC2AD ，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD ，所以 有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD ，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接 证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同 一个三角形中去 证明：延长AD至E,使DE=AD , AD为ABC的中线（已知） BD=CD （中线定义） 在ACD和EBD中 r I BD=CD （已证） /仁Z2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ZACD 也zEBD （ SAS）

30、BE=CA （全等三角形对应边相等） 在ZABE中有：AB+BEAE （三角形两边之和大于第三边） AB+AC2AD 。 练习： 1如图，AB=6 , AC=8 , D为BC的中点，求AD的取值范围 可编辑 2 如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，/ BAC= ZBCA，求证：AD=2AE。 B E C 3 如图，AB=AC , AD=AE , M 为 BE 中点，/BAC= /DAE=90 。求证: AM 丄 DC。 E 4，已知ABC , AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。 5 .已知：如图AD为AABC的中线，

31、AE=EF， 证：BF=AC F 常见辅助线的作法有以下几种: 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思 维模式是全等变换中的“对折”. 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等 三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理. 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线

32、段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质 加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶 点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. （一）、倍长中线（线段）造全等 1:（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 B D C 2:如图，AABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE丄DF，D是中点，试比 较BE+CF与EF的大小.A 精选文档 3:如图，AABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分ZBA E. 中

33、考应用 (09崇文二模)以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和 等腰Rt ACE， BAD CAE 90，连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探 究：AM与DE的位置关系及数量关系. (1)如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 ; (2)将图中的等腰Rt ABD绕点a沿逆时针方向旋转(0 BA,AD = CD，BD 平分 ABC，求证: A C 180 A 5:如图在ABC中，AB AC , Z1 =Z2, P为AD上任意一点，求证；AB-A C PB-PC 中考应用 （08海淀一模） 如叭在四謹形肋切中tAD/BCf点忙是

34、M上一个刖点，苦= 且 ZDjEC = W1判断 肘丿+45与BC的关蔡井证矣1你的结论. 解: 例题讲解： 一、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰 三角形 如图中，若/ABC = 2 zC，如果作BD平分/ABC，则 DBC是等腰三角形； 精选文档 如图中，若/ABC = 2 Q,如果延长线 CB至U D，使BD = BA，连结 ADUADC 是等腰三角形; 如图中，若/B= 2 zACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ ACD = ZACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形 可编辑 1、如图，

35、 ABC中, AB = AC, BD 丄 AC 交 AC 于 D.求证：/ DBC =丄 ZBAC. 2 2、如图， ABC 中，/ACB = 2 ZB, BC= 2AC.求证：/ A = 90 、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形 如图中，若 AD平分/BAC, AD /ECUAACE是等腰三角形; 如图中，AD平分/ BAC , DE /AC,则ADE是等腰三角形; 如图中，AD平分/ BAC , CE/AB，AACE是等腰三角形; D F 3、如图， ABC 中, AB = AC,在AC上取点P,过点P作EF丄BC,交B

36、A的延长线于点 E,垂足为点F.求证：.AE= AP. 4、如图， ABC 求证：EF/AB. AD 平分/ BAC, E、F 分别在 BD、AD 上, F ED 三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形 若AD平分/BAC , AD丄DC ,则AEC是等腰三角形. A D 图1 5、如图 2，已知等腰 Rt ZABC 中，AB = AC ,ZBAC= 90 ,F 平分/ABC, CD丄 BD 交 BF的延长线于 D。求证： BF= 2CD. A C 四：其他方法总结 1 截长补短法 6、如图，已知：正方形 ABCD中，/BAC的平

37、分线交 BC于E, 求证：AB+BE=AC . 精选文档 可编辑 2 倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将 分散条件集中在一个三角形内。 7、如图（7）AD是ABC的中线, 求证：AC=BF BE交AC于E, C 8、已知 ABC，AD是BC边上的中线，分别以 三角形，如图，求证EF= 2AD。 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角 3 平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt 有时可作出斜边的中线. 9、AABC 中，/BAC=60 ,/C=40 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q

38、, 求证：AB+BP=BQ+AQ 说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ，连0D , 构造全等三角形，即“截长补短法”. 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下: 图（2） 如图（1 ）,过 0作OD /BC交AC于D，则 ADO也zABO来解决. 如图（2）,过 0作DE /BC交AB于D，交AC于E, 则ZADO也ZQO , ZABO也ZEO来解决. 如图（3 ）,过P作PD /BQ交AB的延长线于 DUAAPD也zAPC来解决. 如图（4），过P作PD /BQ交AC于D，则ABP也zADP来解决. 10、已知：如图，在 ABC中，/A的平分线 AD交BC于D，且AB=AD AD的延长于M . 1 求证：AM=(AB+AC ) 2 图（4） 巩固练习 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D, E分别为 ABC的AC , BC边的中点，将此三 角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若 CDE 48，贝U APD等于（） A. 42B. 48 C . 52D. 58 2 （2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D . 4个 3、 （2009宁夏）如图， ABC的周长为32，且AB A