江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

1、 学年度第二学期期中考试2017-2018高二理科数学试卷一、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上14 5 701. 函数的导数是_【答案】【解析】试题分析：由题：考点：导数的运算2. 若，则 _（用数字作答）【答案】55【解析】分析：利用组合数的性质求出详解：因为，故答案为 .点睛：本题主要考查组合数的性质与基本运算，属于基本题.3. 设曲线【答案】【解析】在平行，则实数 的值为_由函数的解析式可得：则函数在 处的切线斜率为结合直线平行的结论可得：，解得：.4. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为 3 s，绿灯时间为 60

2、s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为_【答案】【解析】分析：根据这个路口的指示灯的总时间,已知绿灯的时间，利用几何概型的计算公式，计算可得答案.详解：根据题意，这个路口的指示灯的总时间为绿灯的概率为 ，故答案为 .秒，其中有 秒是绿灯时间，则到达路口时，遇到 点睛：本题主要考查长度型几何概型，属于简单题，可直接绿灯的时间除以总时间求解.5. 函数【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于 0 求出 的范围，写成区间形式，可得到函数单调减区间.的详解：函数的定义域为，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于

3、简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出 ，在定义域内，分别令求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间.6. 函数的极大值是_【答案】【解析】函数的定义域为 ，且，列表考查函数的性质如图所示：极大值则当时函数取得极大值：.7. 将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子的概率为_【答案】【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有

4、两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.8. 设函数 的导函数为 ，若【答案】105，则_【解析】结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：据此可得：，.9. 用数字 1 到 9 组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 _个（用数字作答）【答案】300【解析】分析：分两种情况讨论：三位数中没有一个偶数数字，三位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下三位数的数目，由分类计数原理计算可得答案.详解：三位数中没有一个偶数数字，即在数；三位数中只有一个偶数数字，在种任

5、选三个，有种选出两个，在种情况，即有 个沒有一个偶数数字三位中选出一个，有 种取法，将取出的三个数字全排列，有三位数有种顺序，则有个只有一个偶数数字的三位数，所以至多有一个数字是偶数的个，故答案为 .点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10. 已知函数【答案】上不是单调函数，则实数 的取值范

6、围是 _【解析】分析：求出函数的单调区间，找出函数的极值点，令极值点在区间内，得到关于 的的不等式，从而可求出的范围.详解：或函数在递减，因为函数在区间上不是单调函数，或，综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用导数求函数单调区间的步骤：求出 ，在定义域内，分别令11. 已知两曲线_ 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间.，相交于点 p，若两曲线在点 p 处的切线互相垂直，则实数 的值是【答案】【解析】分析：联立两曲线方程，可得，设交点，分别求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 ，再

7、由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到 值.详解：由，即，即有，的导数为的导数为，且，则去），故答案为或（舍.点睛：本题主要考查导数的几何意义，同角三角函数之间的关系以及两直线垂直斜率之间的关系，属于难题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.12. 某种圆柱形的饮料罐的容积为 v，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含v 的代数式表示）_【答案】【解析】设饮料罐的底面半径为 ，高为 ，由题意可得：圆柱的表面积：，故，当且仅当，即时等号成立，据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐

8、的底面半径为 . 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.13. 已知直线【答案】，分别与直线和曲线交于点 m,n 两点，则线段 mn 长度的最小值是_【解析】分析：将问题转化为详解：设与 平行且与，切点为相切的直线与直线截得的弦长求解即可.，因为，长度的最小值就是被与截得的弦长，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题. 求曲线切线方程的一般步

9、骤是（：1）求 出处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）由点斜式求得切线方程在.14. 已知 为常数，函数成的集合为_【答案】有且只有四个不同的解，则实数 的取值所构【解析】分析：关于 的方程与有四个不同的交点，画出，画出与的图象，利用数形结合可得结果.详解： 关于 的方程有且只有四个不同的解，等价于直线相切时，由与有四个不同的交点，直线过定点，斜率为 ，当直线与，令可得斜率；当直线相切时，与，由可得斜率；同理，当直线相切时，斜率，画 出的图象，如图，由图知，或时，与 有四个交点，此时关于 的方程有且只有四个不同的解，故答案

10、为.点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写

11、出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情 况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以 即可.详解：（1） =1440;（2） =576;（3） =3720;（4）=840 .点睛：本题主要考查排

12、列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16. 设关于 x 的一元二次方程 x22axb20，其 中 a，b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率(1)若随机数 a，b1,2,3,4,5；(2)若 a 是从区间0,5中任取的一个数，b 是从区间0,4中任取的一个数【答案】（1） （2）【解析】【详解】分析：(1)利用列举法可得随机数的基本事件共有 25 个，方程有实根中任取的一个数， 是从区间 中任取的一个

13、数，坐标系内所在区域是直角梯形，利用几何概型概率公式求解即可.包含 15 个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；(2) 是从区间所在区域是矩形，方程有实根，坐标系内详解：设事件 a 为“方程 x22axb20 有实根”，当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为 ab.(1)基本事件共有 25 个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(

14、5,4),(5,5),其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 a 中包含 15 个基本事件，故事件 a 发生的概率为 p(a)(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a5,0b4构成事件 a 的区域为(a，b)|0a5，0b4，ab，概率为两者的面积之比，所以所求的概率为 p(a) 点睛：本题主要考查古典概型概率公式与几何概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一

15、定要按顺序逐个写出：先，再，.依次 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 已知曲线(1) 求 的极值；(2) 设，若【答案】（1）极大值【解析】分析：（1）由曲线在点(0， )处的切线斜率为 ，利用导数的几何意义，列方程求出 的值，列表判断导函数的符号，从而可得结果；（2） 在上是增函数，等价于由题知在上恒成立，即在上恒成立，求得 ，可得.详解：(1) f(x)的定义域是(，2)，f(x)由题知 f(0) a ，a.所以 a2，所以 f(x)令 f(x)0，得 x .2当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：xf(x)01f(x)所以 f(x)在 x 处取得极大值(2) g

16、(x)ln(2x)(k2)x，g(x) (k2)，由题知 g(x)0 在(，1上恒成立， 即 k2 在(，1上恒成立，因为 x1，所以 2x1，所以 0故实数 k 的取值范围是1，)点睛：【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在处取极小值.18. 已知函数 x 2x 3x(xr)的图象为曲线 c32（1）求过曲线 c 上任意一点的切线

17、倾斜角的取值范围；（2）求 在区间 上的最值；（3）若在曲线 c 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线c 的切点的横坐标的取值范围【答案】（1）【解析】（2）最大值为 ；最小值为 （3）(，2 (1,3)2 ，)分析：(1)由，可得过曲线 上任意一点切线倾斜角的取值范围是（2）利用导数研究函数的单调性可得 的最大值为；(3)设曲线 的其中一条切线的斜率为 ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，从而可得结果.或，详解：(1)由题意得 f(x)x24x3，则 f(x)(x2)211，即过曲线 c 上任意一点切线倾斜角的取值范围是（2）分别令，的最大值为；(3)设曲线 c 的其中一条切

18、线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0 或 k1，故由1x24x30 或 x24x31，得 x(，2 (1,3)2 ，) 点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率范围求倾斜角的范围以及利用导数求最值，属于难题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，进而得导函数的范围，也就是切线斜率的范围，即是倾斜角正切值的范围，最后根据正切值与倾斜角的关系再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角 的取值范围.19. 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2 百米，圆心角为 的扇形展示区的平面示意图点 c 是半径上一点，点 d 是圆弧 上一点，且为了实现“以展养展”，现决定：在线段 、线段 及圆弧 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段 处每百米为 元，线段 及圆弧 处每百米均为 元设弧度，广告位出租的总收入为 y 元（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ；（2）试问 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值【答案】（1）y 关于 x 的函数解析式（2）广告位出租的总收入的最大值为，定