§7—9一一映射,同态及同构

1、 79 一一映射，同态及同构（2课时）（Bijectio n Homomorphism and Osomorphism ）本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求：1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点： 本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映

2、射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学 生展开讨论。本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本 讲结束之后。一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合A到A的映射，且既是单的又是满的，则称 是一个一一映射（双射）例 1: Z 二 ,2,1,0,1,2, 2Z = ,一4,一2,024, ,其中（n）=2n,-nZ，可知显然是一个双射。注意：Z与偶数集2Z之间存在双射，这表明： Z与它的一个真子集2Z 一样 “大” o思考题：从例1中得知：一

3、个无限集与其的某个真子集一样“大” 。这是否可 作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A为无限集的充要条件是A与其某个真子集之间存在双射。定理1:设是A到A的一个双射，那么由 可诱导出（可确定出） A到A的一个双射二（通常称是的逆映射）证明：由于是a到a的双射，那么就a中任一个元素a，它在A中都有逆象 a，并且这个逆象a是唯一的。利用的这一特点，则可确定由 A到A的映射 亠:亠：AA,-?，A（a）= a，如果（aa，由上述说明，易知*是映射。是满射：A，因是映射=A,使（a）二2，再由的定义知二a，这恰说明，a是a在，4下的逆象。由a的任意性，知 4是满 射。是单射：_ai,a代若a

4、i = a?由是满射= ai及a?的逆象分别是a!及a?,即（aj 二（a?） = a?，又;：是单射=ai = a?，这说明Jal），所以*是单射。综合上述讨论知：是A到A的一个双射。结论：设:A A是映射，那么：(1) 是双射二可唯一的确定一个逆映射A A，使得： J是双射； =1A,：亠=1A ； 也是 J的逆映射，且(2)一:；(2) ，是双射=A与A同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2:设:A A是映射，那么习惯上称为是A的变换。当是双射(单射，满射)时，也称 为一一变换(单射变换，满射变换)例2 p9三、同态(本目与高代中的线性变换类似)对代数系统的比较。例3、设:Z A =

5、1,-1，其中Z, 中的代数运算就是Z中的加法，而A 中的代数运算为数中的乘法。现设，(n) - -1, - n 乙那么(2 -1, (3 -1,而(2 3) = (2 3)= (5) = -1,(2)； (3) =(-1(-1) =(-1) (-1) =1= 1 = -1,即(2 3) - ：(2)_ ： (3)定义3 :设集合A,A都各有代数运算/ (称A, 及A；为代数系统)而：:A A是映射，且满足下面等式：-a,b，代：(a bH (af ：(b)(习惯上称可保持运算)那么称是A到A的同态映射。例4、设Z, 与A,同例3，今设:ZA为.(n) =1,- n. Z，那么一m,n Z,

6、(m n) =1, (m) (n) =1 1=1.(m n)二.(m) (n),即.是Z到A的同态映射-一 1例5、引与同上，而吶=11n为偶数n为奇数-n, m Z(1)若n, m均为偶数时= n m为偶数, .匚(n m) - ； (n m) =1,而二(n) ；(m) =1 1 = 1二;(n m) - ； (n)匚(m)(2)若n,m均为奇数时=n m为偶数， .二(n m) - (n m)二 1,而;(n)匚(m) = (一1) (T) =1= 匚(n m) - ；- (n)二(m)(3) 若n奇而m偶时=n - m为奇数，则二(n m) = ；丁(n m) = -1,而;(n) ：

7、(m) = ( 1) 1 = -1 二;(n m) = ；(n)二(m)(4) 若n偶而m奇时同理知 c (n m)=；( n)=(m).由(1)知，二是Z到A的同态映射.如果同态映射是单射(满射)，那么自然称是同态单射(同态满射)， 而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4:若是A, 到A,的同态满射，那么习惯上称A与A同态，并记为A A ;习惯上称A是A的同态象.定理2.如果是A, 到A/的同态满射，那么(1) 若满足结合律=也适合结合律；(2) 若满足交换律=也适合交换律.证明：(1)任取a,b,cA,因是满射一 ：.a,b,c代使a)二a,(b)二b，又因 为A中的满足结合律 =a

8、 (b cH (a b) c即（a （b（） =（a b） c），但是是同态映射。（a （b c）二（af （b c）二（a） （b：（c） = a（bC）（a b） c）二:（a b）（c）二 （a（b）（c） =（5飞）一6所以孑（応）二（a_bfc同理可以证明（2）定理3、设A一，二和A,R都是代数系统，而映射:A A关于:，二以及:，二都是同态满射，那么：（1）若二满足左分配律=匚也适合左分配律；（2）若二满足右分配律=：匸也适合右分配律。证明：（1） -a,b,c A,因是满射= a,b,c A,使（a）二 a（b）二 b,（c）二 c .又因为是关于二及匚的同态映射=孑：（6匚）二

9、（a）7（ （b）匚（c）二a ： （b 二 c）二（a ： b）二（a ： c）二a - b）二（a ： c） = “a）（b） = （a）： “c）=（a： b）二（a： c）即 a ： （b 二 c） = （a ： b）二（a ： c）.同理可证明（2）。思考题1在定理2及定理3中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射 时，才能将A中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到A中，那么：（1） 当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理2, 3成立吗？）（2） 即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A中的性质能“传递”到A中去吗？）（3） 依照定理2, 3的思路，若将换成同态单射后，

10、能获得什么结论？四、同构 定义4、设是A, 到A的同态映射，若是个双射，那么称是同构映 射，或称A与A同构，记为A二A。例6设A=L =1,2,3 , A =Z-二-1,-2,3厂,而与都是整数中通常的加 法“ + ”，现作 化代。_ A/其中（n） = n,/nw A,那么是同构映射.事实上，（1） 是单射：当 n,m A且n=m时，：:（n）二一n =m 二（m）. 是单射.（2）是满射：-t A,则- b A,且、（t） =-（ -1）二t A. 是满射.（3）是同态映射：_n,m A, （n m） = （n m） _ _（n m） = （_n） （_m） = （n） （m）:（n m）

11、二（n）（m）由（1），（ 2），（ 3）知，是同构映射，即 A三入。定理4、设是A, , 到的同构映射，那么（1） “ ”适合结合律二“”也适合结合律；（2） “适合交换律二“也适合交换律；（3）“ ”和“ + ”满足左（右）分配律二”和“一 ”满足左（右）分配 律。注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的 宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同 点一一运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世 代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的 。在上

12、述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的 代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将 代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由 于完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的 代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须 让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。课堂练习：设N =0,123, , N二1,2,3, ，那么,N , 与N, 不可能同构P证明：(反证法)若NN，那么是同构映射。设(0) = n N , :(1) = m,而0 1=1,. m = =(0)(1) = n

13、 m= n = 0但N中没有0,推出矛盾思考题2：试证：(1)N ,与N,不同构(为普通乘法)。(2) Z, 与Z,不同构.(3) Q, 与Q ,不同构(其中Q”为非零有理数集).思路：(1)(反证法)若N ”三N，且是N”到N的同构映射。贝U(1) =1,令(0)=a(. a), a = (0) = 0 0) = (0) (0) =a2. a = 1,推出矛盾(2) (反证法)若Z二Z，且是Z到Z的同构映射。贝U(0) =1,令：(n)=2. 1 = (0) = (n-n)二(n)(-n)=2(-n),推出矛盾.(3) (反证法)若Q = Q，且是Q到Q的同构映射。贝U(0)=1,令(q)=T 1 =(-1)(-1) = (q) (q) = (q q)二 2q = 0,. q = 0