最优风险资产组合

1、投投 资资 学学 investments （第七讲） 主讲人：林 茂 第七讲：最优风险资产组合第七讲：最优风险资产组合 一、两种风险资产的组合 二、股票、债券与国库券之间的资产配置 三、资产组合选择模型 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 分散化投资可以降低组合的风险，但不可能将风险完 全消除：资产组合的标准方差随着证券的增加而下降， 但是不会降至零。 在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk），它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为 系统风险（ systematic risk ） 或不可分散的风险（non- diversifiable risk）。 可被

2、分散化消除的风险被称为独特风险（unique r i s k）、 公司特定风险（firm-specific risk）、非系统风险（non- systematic risk）或可分散风险（diversifiable risk）。 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 实证研究的结果： 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 本章分析资产配置决策和证券选择决策，以得到最优 风险资产组合。 首先考察两种风险资产的组合：债券基金d和股权基金 e，投资所占权重分别为wd和we ， wd+we =1。 其中， (,)72 0.3 12 20 de de cov rr 一、两种风险资产的组合

3、一、两种风险资产的组合 组合的收益率： 组合的期望收益率： pd de e rw rw r ()()() pddee e rw e rw e r ()813 pde e rww 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 由两个资产构成组合的方差： 所以，组合的方差等于各协方差的加权平均，权重为 资产份额的乘积，权重之和为0。 三个资产构成组合的方差： 22222 2(,) (,)(,)2(,) pddeedede ddddeeeedede www w cov rr w w cov rrw w cov r rw w cov rr 2222222 2(,)2(,)2(,) pddeeff de

4、dedfdffefe www w w cov rrw w cov rrw w cov rr 22222 22 12202 72 144400144 pdede dede w w w w 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 以下安排便利于excel制表： 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 两资产收益相关度对组合的影响： 资产收益相关度不影响组合的期望收益。 但要影响组合的标准差（风险）： 完全正相关时，相关系数等于1，组合的标准差就等于各 个资产标准差的加权平均； 只要资产不是完全正相关，相关系数小于1，组合的标准 差就小于各个资产标准差的加权平均； 负相关时，相关系数小于

5、0，起到套期保值作用；完全负 相关时，相关系数等于-1，特定的配置可以起到完全套 期保值作用（风险为0）。 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 相关系数等于-1时候，如果构筑完全套期保值组合： 22222 2 1 2( 1) ()0 de pddeede de ww www w ww 20 0.625 1220 12 0.375 1220 e d de d e de w w 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 e xpect ed r et ur n and st andar d devi at i on w i t h var i ous cor r el at i on

6、 coef f i ci ent s p ort f ol i o s t andard d evi at i on g i ven c orrel at i on p ort f ol i o s t andard d evi at i on g i ven c orrel at i on w w d d w w e e e( re( rp p) ) 0. 001. 0013. 0020. 0020. 0020. 0020. 00 0. 100. 9012. 5016. 8018. 0418. 4019. 20 0. 200. 8012. 0013. 6016. 1816. 8818. 40

7、 0. 300. 7011. 5010. 4014. 4615. 4717. 60 0. 400. 6011. 007. 2012. 9214. 2016. 80 0. 500. 5010. 504. 0011. 6613. 1116. 00 0. 600. 4010. 000. 8010. 7612. 2615. 20 0. 700. 309. 502. 4010. 3211. 7014. 40 0. 800. 209. 005. 6010. 4011. 4513. 60 0. 900. 108. 508. 8010. 9811. 5612. 80 1. 000. 008. 0012. 00

8、12. 0012. 0012. 00 m i ni m um v ari ance p ort f ol i o m i ni m um v ari ance p ort f ol i o w d 0. 62500. 73530. 8200 - w e 0. 37500. 26470. 1800 - e ( r p) 9. 87509. 32358. 9000 - p 0. 000010. 289911. 4473 - 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 上表使用公式： 求最低风险组合的wd，we ： ()813 pde e rww 22222 22 12202 12 20 1444

9、00480 pdede dede w w w w 22222 2 22 2 22 (1)2(1)(,) 2( 22)(24)(,)0 (,) * 2(,) pdddeddde p dddedde d ede d dede minwwwwcov rr d wwwcov rr dw cov rr w cov rr 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 相关系数等于0.3时，计算风险最小组合： 2 22 2 22 22222 (,) * 2(,) 2072 0.82 12202 72 ()0.82 80.18 13 8.9% 0.82120.18202 0.82 0.18 72 11.45%

10、 p ede d dede p cov rr w cov rr e r 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 资产组合期望收益率与股权投资比例的关系 fi gure 7. 4fi gure 7. 4 portfol i o standard devi ati on as a functi on of i nvestm ent proporti onsportfol i o standard devi ati on as a functi on of i nvestm ent proporti ons 0 5 10 15 20 25 30 35 -0. 500. 501. 50 w ei

11、 ght i n stock fundw ei ght i n stock fund portfol i o standard d evi ati onportfol i o standard d evi ati on =-1 =1 =0 =.3 资产组合期 望收益率与 股权投资比 例的关系 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 相关系数只影响标准差期望收益，不影响期望收益； 而风险资产的构成比例要影响二者。 股权投资比例对期望收益的影响： 股权投资比例增加，期望收益线性上升； 股权投资比例对标准差的影响： 如果正相关系数不是特别高，当股权投资的比例从0增加 到1时，资产组合的标准差先

12、下降后上升，因为资产组合 是从集中到分散，再到集中。最小标准差小于单个资产 收益的标准差。 对于一对收益的正相关系数很高（接近1）的资产，当股 权投资的比例从0增加到1时，资产组合的标准差将单调 上升，从低风险资产变化为高风险资产。 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 如果是完全正相关（系数为1）的资产，当股权投资的比 例从0增加到1时，资产组合的标准差将单调、线性上升， 从低风险资产变化为高风险资产。在这种情况下显示不 出分散化的好处。 如果是完全负相关（系数为-1）的资产，当股权投资的 比例从0增加到1时，资产组合的标准差将先是线性下降， 达到0（完全套期保值），然后线性上升，从

13、低风险资产 变化为高风险资产。 fi gure 7. 5fi gure 7. 5 portfol i o expected return as a functi on ofportfol i o expected return as a functi on of standard devi ati onstandard devi ati on 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0510152025 m ean (% ) m ean (% ) standard d evi tati on (% )standard d evi tati on (% ) = - 1 =1 =. 3

14、=0 资产组合期 望收益率与 标准差的关 系 一、两种风险资产的组合一、两种风险资产的组合 资产组合机会集（portfolio opportunity set）：由给定 的一组资产构成所有的期望收益- 标准差集合。 总结：期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单 加权平均值，但是标准差却不是。 相关系数等于1时，不能体现分散化的好处。 当相关系数小于1时，分散化的潜在收益将增加。 资产组合中的资产相关性越低，分散化的潜在收益就越 大。 在完全负相关的情况下，可以有一个完全对冲掉风险的 机会，并能构造一个零方差的资产组合。 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 在三种

15、资产：股票、债券与无风险货币市场证券之间 的配置。 最优的风险资产组合：cal与资产组合机会集的切点， 此时的报酬-波动性比率最大。 fi gure 7. 6fi gure 7. 6 the opportuni ty set of the debt and equi ty funds and tw othe opportuni ty set of the debt and equi ty funds and tw o feasi bl e calsfeasi bl e cals 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0510152025 standard devi ati on (% )

16、standard devi ati on (% ) m ean (% )m ean (% ) cal(a) cal(b) a b e d p 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 最优的风险资产组合要求报酬-波动性比率最大： () cf p c err m axs 22222 ()()() 2(,) 1 pddee pddeedede de e rw e rw e r www w cov rr ww s.t. 2 22 ( ) ( )( ,) * ( ) ( ) ( )( )( ,) dfeefde d dfeefddfefde e rre rr cov r r w

17、 e rre rre rre rr cov r r 代入数据： 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 2 22 2222 (8 5)20(13 5)72 * (8 5)20(13 5)12(8 5 13 5)72 0.4 *1*0.6 ( )0.4 8 0.6 13 11% 0.4120.6202 0.4 0.6 72 14.2% 11 5 0.42 14.2 d ed p p p w ww e r s 构造出的最优风险资产组合对不同投资者都是一样的， 风险厌恶程度不同的投资者在该最优风险资产组合和 无风险资产之间的资本配置不同。 风险厌恶程度越高，无风险资产比例越

18、大。 如果风险厌恶程度a = 4： 所以，投资于无风险资产25.61%，投资风险资产组合 74.39%（其中，债券29.76%，股票44.63%）。 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 22 () 11 5 *0.7493 0.010.01 4 14.2 pf p e rr y a ()0.2561 50.7439 11 9.46% 0.7439 14.210.56% c c e r 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 概念检验问题3： 可选择的证券包括两种风险股票基金：a、b和国库券， 所有的数据如下： 基金a和b的相关系数为-0.

19、2，即协方差为-240。 a. 画出基金a与b的机会集合。 b. 找出最优风险资产组合p及其期望收益与标准差，以 及资本配置线的斜率。 c. 求最小方差组合。 d. 当一个投资者的风险厌恶程度a5时，应在股票基金 a、b和国库券中各投资多少？ 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 a. 画出基金a与b的机会集合（参见excel）。 b. 找出最优风险资产组合p及其期望收益与标准差，以 及资本配置线的斜率： 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 2 22 2222 (10 5)60(30 5) ( 240) *0.6818 (10 5)60

20、(30 5)20(10 5 30 5)72 *1*0.3182 ( )0.6818 10 0.3182 30 16.36% 0.6818200.3182602 0.6818 0.3182 ( 240) 21.13% 16.36 5 0.5376 21.13 d ed p p p w ww e r s c. 求最小方差组合。 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 2 22 2 22 22222 (,) * 2(,) 60( 240) 0.8571 20602 ( 240) *1*0.1429 ( *)0.8571 10 0.1429 30 12.86% *0.8571

21、200.1429602 0.8571 0.1429 ( 240) 17.57% p ede d dede ed p cov r r w cov r r ww e r 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 d. 当一个投资者的风险厌恶程度a5时，应在股票基 金a、b和国库券中各投资多少？ 所以，投资于无风险资产49.11%，投资风险资产组合 50.89%（其中，a为34.70%，b为16.19%）。 22 () 16.365 *0.5089 0.010.01 5 21.13 pf p e rr y a ()0.4911 50.5089 16.3610.78% 0.50

22、89 21.1310.75% c c e r portfolio risk and return 0.00000 00.05 starndard deviation expected return 股票、债券与国库券之间的资产配置股票、债券与国库券之间的资产配置 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 现在开始要把风险资产组合的构成由两个资产扩展到 多个资产。 分析步骤： 根据风险资产的期望收益、标准差和相关系数，构建风 险资产最小方差边界； 引入无风险资产，找到最优风险资产组合p； 根据投资者的风险厌恶程度，在cal上求出该投资者所 需要的投资组合

23、c。 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 第一步：构建风险资产最小方差边界 风险资产的最小方差边界（minimum-variance frontier）：这一边界表示为在给定期望收益的条件下， 可获得风险资产组合的最低可能方差的图形。 在给定一组期望收益、方差和协方差数据时，我们可以 计算出任何有特定期望收益的资产组合的最小方差。对 期望收益与标准差相对应的点进行连接。 在没有限制的情况下，单个资产都位于边界的内右侧。 全局最小方差组合（global minimum-variance portfolio） 处在最小方差边界上，且位于全局最小方差组合上面 部分的边界是风险资产有效率的边界（

24、effcient frontier of risky assets）。 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 风险资产的最小方差边界 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 首先是风险-收益分析，资产组合的管理者需要资产组 合中每一证券的期望收益的一组估计值和协方差矩阵 的一组估计值。 协方差可以通过历史数据，或情景分析。 10 0 ()() ( ) iii i i e ppe d e r p 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 接下来是优化工作，计算各个给定期望收益条件下最 小方差组合，得到相应的风险资产权重。对期望收益 与标准差相对应的点进行连接就得到最小方差边界。 可以用ex

25、cel求解。 加入限制条件（如不能做空）得到的边界在无限制边界 右内侧。 2 11 1 1 ( ,) . . ()( ) 1 nn pijij ij n pii i n i i minww cov r r st e rwe r w 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 风险资产的最小方差边界的构建是分两步完成的： 资产配置：在不同的资产类别（class）之间配置。 证券选择：在特定资产类别内部的各具体证券中配置。 证券选择与资产配置都要构造一个有效率边界，沿边 界选择一个特定的资产组合。分两步完成是由于金融 工具复杂化，投资的专业化，通过很权管理和规模经 济效应来提高组织的效率竞争力越来越

26、重要。因此， 通过一步就同时优化整个机构的风险资产组合在实践 中不太可能。 分两步构造资产组合与一步构造资产组合相比较有一 缺点，这就是不能考查这个资产类别的单个证券与另 一资产类别中证券的协方差，只有本类别资产组合中 的协方差矩阵可以运用。 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 第二步：引入无风险资产，寻找一条有最高报酬-波动 性比率的cal，切点就是最优风险资产组合p 。 资产组合经理将给所有客户提供相同的风险资产组合p， 风险厌恶程度不同的投资者的组合在cal上的不同位 置。 三、资产组合选择模型三、资产组合选择模型 分离性质（separation property）：资产组合选择问题可 分为两项相互独立的工作：第一项工作是决定最优风险 资产组合，这是完全