用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题1

1、用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题 教案 1、部分学生閃对向量加法和减法的不熟练.在用向址表示几何关系时存在困难： 2、学生虽然学过向虽共线的条件和平而向虽基木定理的内容.但现阶段对向址的认识还不 学 够深刻自主应用向虽解决数学问题的意识还没有树立起來： 3、虽然学生通过对平面向址基木定理这一节例5的学习，学会了在三点共线的条件下如何 用向虽表示几何关系的方法.但因时间关系.这一结论并没有去挖掘它的应用。 情 应对策略 1、课前婆求学生自己复习向址的加法和减法、向址共线的充要条件和平面向量基木定理有关 分 知识： 2、在上完的平面向虽基木定理后，布迓教材P110第7题和一些用向虽表示

2、几何关系的 练习，让学生能较熟练地用向址表示几何关系，为学习木节诔的知识作准备： 析 3、通过探求三点共线的向虽结论中的几何意义，加深学生对这一结论的认 识与理解.逐步增强学生应用向址的总识。 1、能熟练地用向址表示几何关系： 识 知 2、能说出三点共线的向址结论中冬的几何意义： 与 3、模式识别：能应用三点共线的向量结论求平几中的共线线段的比值问题： 技 4、培养学生应用向虽解决数学问題的意识。 能 M 标 过 1、复习三点共线的向址结论： 程 与 方 2、启以、引导学生发现三点共线的向址结论中丄的几何总义： “ 法 目 3、巩固与应用，増强学生应用向虽解决数学问題的能力。 标 情 学会合作

3、与交流： 感 态 在独立思考的基础上获取知识获得成功的体验： 感受向虽应用的广泛性。 度 与 价 值观 学 情 分 析 1、部分学生因对向址加法和减法的不熟练，在用向虽表示几何关系时存在困难： 2、学生虽然学过向虽共线的条件和平面向量基木定理的内容，但现阶段对向址的认识还不 够深刻.自主应用向址解决数学问题的总识还没有树立起來： 3.虽然学生通过对平面向虽基木定理这一节例5的学习，学会了在三点共线的条件下如何 用向虽表示几何关系的方法.但因时间关系.这一结论并没有去挖掘它的应用。 应对策略 1、课前要求学生自己复习向址的加法和减法、向址共线的充要条件和平而向虽基木定理有关 知识： 2、在上完的

4、平面向址基木定理后，布迓教材P110第7题和一些用向虽:表示几何关系的 练习，让学生能较熟练地用向虽表示几何关系，为学习本节课的知识作准备： A 3、通过探求三点共线的向虽结论中一的几何意义.加深学生对这一结论的认 识与理解，逐步增强学生应用向址的总识。 教 学 重 点 三点共线的向址结论的应用 教 学 难 点 应用向虽解决数学问题的意识 教 具 准 备 多媒体课件 注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。 教学过程（师生活动） 设计理念和实施方 法 师：上节课我们学习了三点共线的向虽结论（如右图叭 1、“可提 创 A、B. C丄点共线的充耍条件是：有唯一实数/ 问 一一 一

5、 / 学生，上课伊始适当 设 对A. u.使OCAOA + jliOB 且 一 的问題能让学生注总力 x + u=l:H 转移到课堂上來： 情 2 2、板书本节课课题： 一有何意义这就虽木节课需要解决的问题。 用三点共线的向虽 景 结论解决平几中的一类 求值问题 电脑显示本节课课标：1、探求一的几何总义：2、应用. “ 问题 1、电脑显示结论 O八、 已知如图，A、B、C三点共线，/ 2、这节课的知识较 0为线段AB外一点。 抽象. 探 过女使用电脑会给 1 % 0C = OA + OB 学生理解和学握知识造 成障碍。因此，板书对于 。、OB = OA + OC 学生理解知识是很有好 师：请同

6、学们完成上面两个问题（请学生说出答案） 处的。 52_57 3、两个问題的答案 生：lx 、一 ； 2、一、 7722 如下: 索 师：请说出1的系数比生：- 5 一 2 OC = -OA + -OB 2 77 师：结合图形，你对这一比值有什么新的发现没有 一5 7 OB = -_OA + _Oe 生：恰好等于线段一值。 2? AbAb CA 4、让学生经历 师：再次发挥同学们的想像能力.上述线段能否从1式的向址表 操作一 观察T猜 达 想 式中得到怎样得到的 这一过程。 生：能：将1式各向址的终点联结就能得到。 分 师：系数之比与用向址表达式写出的线段比位宜上有何关系 5、这节课的重点是 生

7、：交叉关系。 知道结论并会应用，证明 师：从以上过程你对此有什么猜想 的技巧性较强。对商一学 生：系数之比等于（由向址表达式写出的）“交叉线段”长之比 生在教学中有时采用“重 形式轻实质”的方法能让 师：若A、B. C三点共线nOC = G + “OB且入+円 学生更好地学习木节课 AR 的主要知识。因此,证明 我们是否能作这样的猜想：O 过程让有兴趣的学生课 “ CA 外完成。 师大家算一下2的系数比，你又有什么发现 析 5 BCBC55 生：二- 可写成二丨一一丨二一. 7 BABA11 2 CB 师：由此我们可得猜想=O这一猜想是正确的。它的证明留 “ CA 给同学们谏外完成，半你完成了

8、这一结论的证明后，完全有理由相信自己 对向址的认识会提商一个层次！ 6、得到结论后重要 师：综上所述.我们有下面结论：A、B、C三点共线的充要条件是有 的是引导学生分析结论 的持点，能模式识别。 唯一实数对A. U.使O CaOA + jLIOB 9其中 A CB 入十=O “ CA 师：这一结论的右边表示什么的比值这两线段有何位置关系 左边又表示什么的比值 生：线段：两线段共线（或三点共线）：向址表达式的比值。 师：这些持点告诉了我们什么（略停）求解三点共线的线段的比值问 题，可将其转化为求三点共线的向址结论中的系数。我们所学的向虽知识 可与平几知识联系起來！ 应用1想一想 答案： 一 1

9、一 4 1、三点共线 1、已知平Iftl上不同的四点满足：CM =-CA + - CB , 55 2 、 试描出A. B的关系。 A 2 *3 -* CM =C4 + H 巩 AM 3z / 、5 9 已知如右冈若一./ MB 2片 3、3 则_ CA +_ CBB 图C 1 3 CA 3 1、一 3、已知 0(? = _OA + _OB, 一 = 8 44CB 1 t . 8 3 rPM 固 4、已知 OP = -OM -ON ,= 55PN 应用2做一做 例lx已知如右图.AE=2EC, AABC的中线AM交BE交于点G, AG 求的值。 GM 思路分析：要求的是AG与GM两线段 / 练

10、的比值，且两线段是共线的，故可考虑/ 虻仃 為HI水节迎Ml结论上 B 解:VA G、M三点共线，可设 MC .1 几 BG-ABA + (U)BM -ABA+BC 一 1 一 2 一 又、E、。三点嗨AE = 2ECE巧时寸C 习 -1 X 一 2t 可设2AC AR + AC 23 3 =1 1 (1-/1 2t亠圧匚=屁丄石+ 土莎= AG 4 23555 GM 1 引导学生总结解题思路： 解題过程的回顾与 总结是调动学生参与课 (1)由A、G、M三点共线用结论表示BG , 堂，也是一次学生自我提 高的的过程。 (2)由A. Ex C三点共线用结论表示 例题用多媒体显示 将BG与BE转化

11、成用相同的基底表示: (4)根据两向呆BG、BE共线.通过比较对应向虽 的系数转化为方程组求值。 例2已知如下图.G为AABC的重心过点G的直 线分别交边AB. AC于点匸F.且AE = AAB. 一 一 1 1 AF = pAC (几工0)。求证：一+ = 3。 2 / 思路分析：从图中可看到E、F、G三点/ 共线，可试若去找适当的基向址/ * 表示忌.些时作辅助线再找一 BC 一个与花共线的向址就是自然的事了！ 解：连结AG并延长交BC于点乂则AM为BC的中线。 I Ex G、F三点共线，可设花=rAE + (l-r)AF 又 V AE = XAB AF = pAC A = AG =+ (

12、1 -r)/AC 2 2 1 1 1 1 AG = AM = ( AB h AC) = AB h AC 332233 以-； (I0“一! Q 丄 + 丄=3 卜3几“ 学生练习教师巡视对学 生练习中出现的问题给 予指导。 答案：4： 1 课 外引 申 用木节课所得到的结论证明第23届试题(见课外作业) 给学有余力的学生 展示自己的平台的机会！ 课 堂 小 结 2 ix探索得到了三点共线的向址结论中一的几何意义： 2. 应用这一结论解决平几中的一类求值问题： 3. 应用结论來求值时，选择适、”1的基底将几何关系用向虽表示，再 用向虽共线來建立方程组进行求解： 4. 木节课仅是根据同学们现在具备

13、的知识讲了向虽的一个应用。实 际上，随肴同学们知识的枳累.你会发现向址的应用是很广泛的，这节课 只想起到一个抛砖引玉的作用.课后同学们可去网上查询有关这方面的知 识！ 课堂小结是使知识 系统化： 作 课堂练习： 河 AB DF, DE , X.DV 已知如图一 =一 =2,求一的值 BC FBECV 2 lx作业的布宜是检 査学生对木节课所学知 识的掌握情况: 2、作业的布宜要分 A B C 用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案说明 向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平而几 何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何

14、关系转化为 向量表示（即选择适当的基底），然后再借助向量运算来解决。因此，本节课实际就是让学生 学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。 本节课的教学目标是按三维目标来确定的。它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与 价值观三个方而。知识与技能目标有4点，它们是相互联系层层递进的关系。目标1是基础, 目标2是内容，目标3是获得技能，目标4才是这节课的根本意图。我国新一轮课程改革提岀：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成技能 的过程成为学会学习和形成价值观的过程。这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生，要 让他们在课堂上参与适应的探索并能在

15、这一过程中感受成功的喜悦。 本内容是学生学习了向量的一些基本概念、向量的加法与减法、向量共线的充要条件、 平面向量基本左理和三点共线的向量结论后进行的一肖探究式的习题课。平而向量基本左理 这一节的例5学生知道了这样一个结论：A、B、C三点共线的充要条件是：有唯一的实数对X、 U,使OCAOA + pOB，其中X + U=l.并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点共线 条件下写向量表达式的一种方法：如右图， 分母mF代表线段AB的份数，即右边两向捲终点表示的线段.m代表线段CB的份数，即 左边向量呢和右边向量亦两向量终点表示的线段,n代表线段CA的份数，即左边向量呢和 右边向量N两向量终点表示

16、的线段。系数m、n与它对应的线段恰好是交叉关系；当分点在 线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为1确定。在三点共线的条件下学生能较为 熟练的写出向疑表达式作为基础来进行这肖课的教学。 对仝的几何意义的探求分四个阶段进行：先由1、2两个特例得猜想：-=：再由检 验特例2的系数完善猜想，得猜想2：- =；然后指出这一猜想的正确性（不证明）：最 JLl CA 后通过课堂的应用1、应用2和课堂练习来巩固知识。本肖课最关键的是教师引导学生得猜想 1和猜想2,这也是本节课最难的。因为这一过程思维跳跃性很强，要反复结合向量表达式和 图形.稍有不慎，学生的思维链一断，这节课就变得亳无意义了！结论仝二空在

17、课堂上没 “ CA 有证明，从这一意义上说失去了数学的理性思维，少了很多的数学味”，但对高一的学生来 说却是很必要的（要知道，正是因为有时我们过分追求理性思维才让学生产生“数学就是繁 和难的演绎与推理”这种想法，让他们畏:惧数学！）。有时这种“重过程轻实质”的方法，能 减轻学生的学习负担，不会因技巧性强、冗长的证明过程冲淡本节课的主题。本肖 课的最终目的是要让学生感受到一点向量应用的广泛性，并希望能逐步增强学生应用向量 解 决数学问题的能力。若着眼点仅是这一节课，探索仝的几何意义的过程对高一学生而言 有 些难，甚至可以说没必要。但若将这节课放到整个高中阶段这根知识大链上来看又是怎样 的 呢仅从

18、以下两个例子就可见向量在中学数学知识中的地位了： 1、向量与三角知识的融合。在推导正弦左理、余弦定理均用到了向量知识。但是在教 学过程中这一点还没有引起我们足够的重视，甚至有些教师对教材中用向量方法证明正弦 和 余弦左理弃之不用，课堂教学中仅仅是为了得到一个结论，证明方法仍是沿用以前的老教 材中的方法。应该说这是一种教学资源的浪费！正弦和余弦立理究竟要解决的是什么问题初 中解决角与边有哪些方法高中与角和边有关的又有哪些知识通过这种引导，让学生将所学的 向量的数疑积与三角形知识联系起来，这样既能让学生掌握这种证明方法，又能让学生树立 应用向量的意识： 2、向呈:在立体几何中的应用。这几年来髙考对

19、立体几何知识大题的考查都是能建立直角 坐标系，大题的得分率比以前大大提髙。但这也给部分学生（甚至于我们的教师）留下了这 样一些印象：只要会建立直角坐标系就行了：立体几何对逻借推理和空间想像能力的要求降 低了；向量在立体几何中的应用关键是能建立直角坐标系等等。比如高二数学教材下B第51 页例2,题如下： 已知在一个60的二面角的棱上有两个点A、B, AC、BD分别是在这个二面角的两个 面内,且垂直于AB的线段，又知AB=4cm, AC二6cm, BD二8cm,求CD的长。 对于高三的同学来说也很少想到用向量方法来解决的。在不建立直角坐标系的条件下用向 量来证明线线平行、线而平行，求线面角、二而角的平而角这方而的意识学生就更弱了！ 培养学生应用向量的意识不是一朝一夕就能实现的，而要把这种意识转化为一种能力 那就更是需要一个长期的、不断训练的过程了。我从最不理想的角度考虑过这节课的效果， 若有学生在上课时由于注意力不集中导致后面的内容听不懂了，若他看到用向量方法能这样 简捷的解决平而几何问题时，他只要能这样想：哦，原来还可以这样呀！