初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

1、初中几何中线段和差的最大值 与最小值练习题（最全）初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一) 、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最 小；(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧:A、Z是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使BPA+PQ+QB 最小。(1) 两个点都在直线外侧:R(2)一个AB一个点在内侧, 点在外侧：(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的nm占八、内侧，在直线n、m分别上求 D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=A-mPA变

2、式二：已知点A位于 直线m,n的内侧，在直线m、 n分别上求点P、Q点 PA+PQ+QA周长最短.nA亍m二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一 点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧:P-：mA（二）动点在圆上运动点B在。O上运动，在直线m上找一点P, 使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B）1、点与圆在直线两侧：。BB 三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m 上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒 定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。（原理用平移知识解）2、点

3、与圆在直线同侧:4Am（1）点A、B在直线m两侧：- m过A点作AC / m,且AC长等于PQ长，连接 BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：1P Q-m练习题1 如图，/ AOB=45 P 是/ AOB 内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，求厶PQR 周长的最小值为2、如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4 , /BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D, M,N分 别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN勺最小值 为.3、如图，在锐角三角形 ABC中,AB= 52 ,/ BAC=45 , BAC 的平分线

4、交久4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC 边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若 AE=2,EM+CM 的 最 小 值 为5、如图3,在直角梯形ABCD中, Z ABC= 90,AD/ BC AD= 4, AB= 5, BC= 6, 点点 P是 AB上一个动点，当 PC+ PD的和最小时，PB的长为D6、如图 4,等腰梯形 ABC中, AB=AD=CD=1 / ABC=60 , P是上底，下底中点 EF直线上的 一点， 则 PA+PB 的最小值 为7、如图 5 菱形 ABCD中, AB=2 Z BAD=60 , E 是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则 PE+

5、PB勺最小值为8如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8, 点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是 边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值 是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长 为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为cm.蚂C310、如图，菱形 ABCD 中，AB=2 , / A=120 , 点P, Q, K分别为线段 BC , CD , BD上的 任意一点，贝V PK+QK的最小值为 _11、如图，正方形ABCD的边长 为2, E为AB的中点，P是AC上 一动点则PB

6、+PE的最小值是12、 如图6所示，已知正方形 ABCD勺边长为8, 点M在DC上，且DM=2 N是AC上的一个动 点, 贝V DN+MN 的 最 小 值 为 13、如图，正方形 ABCD的边长是2,Z DAC 的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中, 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点, 连接PB PQ则厶PBC周长的最小值 为cm （结果不取近似值）.15、如图，O O的半径为2,点A、B、C在O O 上, 0A丄OB,Z AOC=60 P是 OB 上一动点， 则PA+PC的最小值是B16、如

7、图8, MN是半径为1的OO的直径，点A 在O O上，/ AMNh 30, B为AN弧的中点，P 是直径 MN上一动点，则 PA+ PB的最小值为( )(A)2(B)(C)1(D)2解答题11、如图9，正比例函数y=ix的图象与反比例函k数y= (k半0)在第一象限的图象交于 A点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M,已知三角形OAM 的面积为1.(1) 求反比例函数的解析式;(2) 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1,在x轴上求一点 P,使 PA+PB最小.2、如图，一元二次方程 x2+2x-3=0的二根 xi, X2( Xi v X2)是抛物线 y=

8、ax2+bx+c与x轴的两 个交点B, C的横坐标，且此抛物线过点 A( 3,6).(1) 求此二次函数的解析 式；(2) 设此抛物线的顶点为P,对称轴与 AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3) 在x轴上有一动点 M 当MQ+MA取得最 小值时，求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中，点 A的坐标 为(1,匚)， AOB勺面积是，二(1) 求点B的坐标；(2) 求过点A O B的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点0使4 AOC勺周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由;3184.如图，抛物线y= gx2 x+ 3和y轴的交点 为A, M为OA

9、的中点，若有一动点P,自M点 处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E）， 再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为 点F），最后又沿直线运动到点 A，求使点P运 动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这 个最短路程的长. .如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角 梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在 x轴的正半轴上，OA=AB=2，0C=3,过点B作BD丄BC,交OA于点D.将/ DBC绕点B按顺 时针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、 x轴的正半轴于点E和F .（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在

10、抛物线的对称轴上取两点 P、Q （点Q 在点P的上方），且PQ= 1,要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标.6如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的 坐标分别为 A(2, 3), B(4, 1)若 C(a, 0), D(a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当a为何值 时，四边形ABDC的周长最短.lP211 1-2 1 00 12 345 r-1-2-3 N7、如图11,在平面直角坐标系中，矩形 亠匚的 顶点O在坐标原点，顶点 A B分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点.(1) 若E为边0A上的一个动点，当 CDE勺 周长最小时，求点E的坐标；(

11、2) 若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF勺周长最小时，求点E、F的坐标.0二、求两线段差的最大值问题 （运用三角形两边 之差小于第三边）基本图形解析：1、在一条直线 m上，求一点P,使PA与PB 的差最大； m解析：延长AB交直线m于点P,根据三角形两 边之差小于第三边，P PBv AB,而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。B(2)点A、B在直线异侧：AP(3)当PA PB最大时，求点P的坐标.2.如图，已知直线y= 1 x+ 1与y轴交于点A, 与x轴交于点D,抛物线y= 1 x2+ bx+ c与直线交于A、E两点, 与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,

12、 0).(1)求该抛物线的解析式；(3) 在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM MC|的值最大，求出点M的坐标.EOCDBxoXAB3、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(一4, 1)和(一2, 5);点P 是y轴上的一个动点，点 P在何处时，PA+ PB的和为最小？并求最小值。点P在何处时，I PA PB I最大？并求最大值。4. 如图，直线y=3x+ 2与x轴交于点C, 与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点， O A经过点B和点0,直线BC交。A于点D.(1) 求点D的坐标；(2) 过0，C，D三点作抛物线，在抛物线的对 称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差 的值最大？若存在

13、，请求出这个最大值和点P的 坐标.若不存在，请说明理由.5、抛物线的解析式为y = -x2 2x 3，交X轴与A与B,交y轴于C,在其对称轴上是否存在一点 P,使/APC周长 最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点Q，使 I QBQC I的值最大，若存在求其坐标。6、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标 系中，OC=3, BC=2，取AB的中点 M，连接 MC，把 MBC沿x轴的负方向平移 OC的长 度后得到厶DAO .(1) 试直接写出点D的坐标；(2) 已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ丄x轴于点Q，连接0P. 若以O、P、Q为

14、顶点的三角形与 DAO相似， 试求出点P的坐标； 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T ,使 得|TO-TB|的值最大？7、如图，已知抛物线C的解析式为y=-x2+2x+8, 图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上.(1) 求过顶点A的双曲线解析式；(2) 若开口向上的抛物线C2与C的形状、大小 完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明： 抛物线C2定经过A点；(3) 设(2)中的抛物线G的对称轴PF与x轴 交于F点，且与双曲线交于 E点，当D O E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P 点坐标，并在直线 y=x上求一点 M 使|MD-MP| 的值最大.8、如图，已知抛物线

15、经过A(3, 0),B(0, 4),(1) .求此抛物线解析式(2) 若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C 关于直线AB的对称点C的坐标(3) 若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、 H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得| PH - PA|的值最大？若存在，求出该最大 值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线 段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段 之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的 中位线及直角三角形斜

16、边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联 起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短 以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在厶 ABC 中，Z C=90, AC=4，BC=2， 点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运 动过程中，A 2(2+2D62、已知:在厶AB(中, BC=a, AC=b以AB为边作 等边三角形ABD.探究下列问题:(1) 如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且 / ACB=60CD ;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6 ,且 / ACB=90,则CD=;(3) 如图

17、3,当/ ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的/ ACB的度数.3、在 Rt ABC 中，/ ACB=90 tan/BAC弓. 点D在边AC上(不与A, C重合),连结 BD, F为BD中点.(1)若过点D作DE丄AB于E，连结CF、EF、CE，如图 1设CF=kEF，贝y k =；(2) 若将图1中的 ADE绕点A旋转，使 得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如 图2所示求证：BE-DE=2CF ;(3) 若BC=6,点D在边AC的三等分点处， 将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值.CB备图4、如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边 三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， 将BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接ENAM CM求证： AMB2A ENB当M点在何处时，AW CM的值最小；当M点在何处时，AW BW CM的值最小,并说明理由；当AW BW CM的最小值为31时，求正方形EBC5、如图，二次函数 y=-x2+bx+c与x轴交于 点B和点A (-1, 0)，与