导数二次求导

1、1. 已知函数 f (x) ( x 1)ln x x 1 . (I)若xf (x) x2 ax 1，求a的取值范围; (n)证明：(x 1)f (x)0 2.设a为实数，函数f x ex 2x 2a,x R。 (i)求f x的单调区间与极值； (n)求证：当 a ln2 1 且x 0 时，ex x2 2ax 1。 1.已知函数 f(x) (x 1)lnx x 1. (I)若 xf (x) 2 x ax 1，求a的取值范围; (n)证明：(x 1)f (x)0 先看第 f(x) (x 1)ln x x 1可知函数fx 的定义域为 0, In x 则由xf (x) 2 x ax 1可知 x In

2、x ax 1，化简得 2 1 xln x x2 ax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x，而x又大于零，所以两边同乘 可得 x In x x a，所以有a In x x，在对g x In x x求导有 1 g x1，即当0 v x v 1时，g x 0, g x在区间 0,1上为增函数；当x 1时，g x 0 ；当1 v x x时，g x v 0, g x在区间1,上为减函数。 所以g x在x 1时有最大值，即 g x In x x g 11。又因为a In x x，所以a 1。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证(x 1)f (x)0,只须证当0

3、 v x 1时，f x 0 ；当1 v x时，f x 0即可。 11 由上知f x In x ，但用f x去分析f x的单调性受阻。我们可以尝试再对f x In x 求导， xx 111 可得f x2，显然当0 v x 1时，f x 0 ；当1 v x时，f x 0 ,即f x In x 在区间1, x xx 上为减函数，所以有当0 v x 1时，f X f 1 1，我们通过二次求导分析f x的单调性，得出当0 v x 1 时fx1,则f x在区间0,1上为增函数，即f Xf 10，此时，则有(x 1)f (x)0成立。 下面我们在接着分析当1 v x时的情况，同理，当1v x时，f x 0，

4、即f x在区间1,上为增函数， 则fxf 11，此时，f x为增函数，所以f xf 10,易得(x 1)f (x)0也成立。 综上，(x 1)f (x)0得证。 下面提供一个其他解法供参考比较。 1 解：(I) f x In x ，则 xf x xlnx 1 x 题设 xf (x) x2 ax 1 等价于 In x x a。 令 g x Inx x，贝U g x x 当0 V x v 1时，g x 0 ;当x 1时，g x 0 , x 1是g x的最大值点，所以g x g 11。 综上，a的取值范围是 1,。 (D： ）由（I）知，g x g 1 1, 即 In x x 1 0。 当0 v x

5、 V 1 时，f x In x x In x x 1 In x x In x 1 1 x In x x I n 1 1 1 0 x x 因为 x 1 V 0,所以此时 (x 1)f(x) 0 。 当x 1 时，f x In: x x I n x x 1 In x x In1 1 1 0。 x x 所以(x 1)f(x)0 比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外 一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。 不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个

6、秘密武器！ 2.设a为实数，函数f x ex 2x 2a, x R 。 (i)求f x的单调区间与极值; (n)求证：当 a ln2 1 且x 0 时，ex x2 2ax 1。 第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数 g x ex x2 2ax 1，如果这一着就想不到，那没辙 了。然后求导，结果见下表。 g x ex 2x 2a，继续对 g x 求导得 g x ex 2 0,In 2 In 2 In2, g x 0 g x 减 极小值 增 由上表可知g x g In 2，而 g In 2eln22In2 2a 2 2In2 2a 2 a In 2 1 ，由 a In2 1 知 g In 2 0,所以