线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1、线线角、线面角、二面角的求法1. 空间向量的直角坐标运算律：两个非零向量与垂直的充要条件是两个非零向量与平行的充要条件是=|2.向量的数量积公式若与的夹角为(0),且，,则（1）点乘公式： =| cos （2）模长公式：则，（3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：若，则， 两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例1 (福建卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）ABCD （向量法，传统法）例2 (2005年全国高考天津卷)如图，平面

2、，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填点评：本题是将三棱柱补成正方体直线与平面所成的角(重点讲述平行与垂直的证明)图12图11图13可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标(2)设出平面的一个法向量为(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组，取其中的

3、一组解，即得法向量。ABCDEFGxyz1. (线线角,线面角).在棱长为的正方体中，分别是的中点.（1）求直线所成角；（2）求直线与平面所成的角.BCDPAxyz2.如图，底面为直角梯形，面，为的中点，求1） 异面直线与所成角的余弦值；2） 直线与面所成角的正弦值；求二面角的大小1.范围：2.二面角的向量求法： 方法一：如图，若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角. l 方法二:设是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量与的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为. 注意:在用向量求二面角的大

4、小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。ABCPDExyz例：如图，求二面角的大小。1.2014新课标全国卷 如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥P ABD的体积V，求A到平面PBC的距离2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使.证明：（）平面；（）设。3、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，

5、底面是菱形，.()求证：平面 （）若求与所成角的余弦值；4、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。直线与平面平行或者垂直（重点掌握）ABCDA111B11C11111D1111MN1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M,N分别是A1B1，BB1的中点.求证:(1)MN/平面ACD1 ; (2)DB1平面ACD1. 2、如图，四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB，E为PC中点ABCDEP (I) 求证：CD平面PAD； (II) 求证：BE/平面PAD 3.正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：（1） D1O/平面A1BC1; （2）D1O平面MAC.4.如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，,点D是AB的中点，求证： （I）ACBC1； （II）A1C /平