北京市圆和旋转压轴题解题技巧详细解析汇报

1、如何短时间突破期中数学压轴题 平移：平行等线段（平行四边形） 全等变换对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 一、旋转： 半 角：有一个角含一个二分之 一角及相邻等线段 旋转 自旋转：有一对相邻等 线段，需要构造旋转全 等 共旋转：有两对相邻等 线段，直接寻找旋转全 等 遇60旋60,造等边三角形 自旋转构造方法遇9旋90，造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋180，造中心对称 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 AC 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图: D A A CD AA 3、等线段、共

2、端点 (1) (2)等腰直角三角形(旋转90 中点旋转(旋转180 O 60 等边三角形旋转(旋转 C (4)正方形旋转(旋转90 ) IF F 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形 / EAF =45 , AE、AF分别与对角线 BD交于点 M、 ABCD 中, 已知 E、 F分别是边 BC、CD上的点，且满足 N.求证： D D F (1) BE+DF = EF; (2) Sabe+Sa adf=Sa aef； (3) AH=AB; (4) Ca ecf = 2AB ; (5) BM2+DN2=MN2； (6) DNFs ANMAEFsA BEM ;相似比为 1: , 2 (由厶AMN

3、 与厶 AEF 的高之比 AO: AH=AO: AB=1 :2 而得到); (7) sa amn = s 四边形 MNFE ; (8) AOMADF , AONABE; (9) / AEN 为等腰直角三角形，/ AEN=45 1. / EAF =45 2.AE: AN=1 : J2 ) 解题技巧： 1遇中点，旋180 构造中心对称 BDEC 中，DB DE , 当 时, AM DM . 解析m 如图所示； 在的基础上，连接 AD ,af 由中的中心对称可知， dem fcm 5 DE FC BD , DM fm , dem fcm , ABD ABCCBD 360 bde dem bce 36

4、0 dem bce , ACF 360 ace fcm 360 bce ABDACF , ABD ACF ， AD AF , / DM FM , 丿 AM DM . 45 . 例：如图，在等腰 ABC中，AB AC， ABC，在四边形 BDE 2，M为CE的中点，连接 AM，DM . 在图中画出 DEM关于点M成中心对称的图形； 求证：AM DM ; e 2遇90o旋90,造垂直; 例：请阅读下列材料： 已知：如图1在Rt ABC中， BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段 BC上 两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把 AEC

5、绕点A顺时针旋转90，得到 ABE，连结E D , 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件 不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 999 解析DE BD EC 证明：根据 AEC绕点A顺时针旋转90得到 ABE AEC 也 ABE BE EC , AE AE , C ABE , EAC E AB 在Rt ABC中 / AB AC ABC ACB 45 ABC ABE 90 即 E BD 90 EB2 BD2 ED

6、2 又 DAE 45 BAD EAC 45 E AB BAD 45 即 E AD 45 AED也 AED DE DE DE2 BD2 EC2 关系式DE2 BD2 EC2仍然成立 证明：将 ADB沿直线AD对折，得 AFD，连FE - AFD 也 ABD AF AB, FD DB FAD BAD , AFD ABD 又 AB AC , AF AC FAEFADDAE FAD 45 EAC BAC BAE 90 DAE DAB 45 DAB FAEEAC 又 AE AE AFE也 ACE FE EC , AFE ACE 45 AFD ABD 180 ABC 135 DFE AFD AFE 135

7、4590 在Rt DFE中 DF2 FE2 DE2即 DE2 BD2 EC2 3遇60,旋60,造等边； 例：已知：在厶ABC中, BC=a, AC=b，以 AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题： (1) 如图1，当点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，a=b=3,且/ ACB=60，则 CD=; (2) 如图 2，当点 D与点 C位于直线 AB的同侧时，a=b=6,且/ ACB=90，则 CD=; (3) 如图3,当/ ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相 应的/ ACB的度数. A B D n A B D 解：（1） 3.3 ; 1 (2) 3.、63、

8、2 ; 2 (3) 以点D为中心，将厶DBC逆时针旋转60,则点B落在点A,点C落在点E.联结 AE,CE, CD=ED / CDE=60 , AE=CB=a, CDE为等边三角形， CE=CD. 4 当点E、A C不在一条直线上时，有 CD=CEAE+AC+b; 当点E、A C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=+b; 此时/ CEDM BCD=/ ECD=60，/ ACB=120 , 7 因此当/ ACB=120时，CD有最大值是a+b. 4遇等腰，旋顶角。 综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。 图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给

9、出旋转倒角 模型。 、相似模型 说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构 造相似三角形的作用。 说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以300、45、600形式出现的居多。 （2）外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、 射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幕定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、 等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。 的平行线。 中点模型 、 b 连中蛊梅i鱼中位颈 罟圧一边掏造中位堆 构進對屯中直 三、圆 1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时； (1)特殊角问题或者锐角三角函数问题

10、，必须有直角三角形才行，如果题目条件中 给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。 构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型： 利用垂径定理；直接作垂线构造直角三角形; (2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等, 把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中 在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形： 半径相等 圆周角=圆周角 圆心角=2圆周角 2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时； 因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在 利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线 段的长度，常见情形如下； (2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线 段长度，常见的圆中相似情形如下： ADE ACB ADE BCE C ABDCAD