数学建模：最小二乘拟合实验

1、 数学建模期末实验作业 院 系：数学学院 专 业：信息与计算科学 年 级：2014级 试题编号：37胡克定律的综合评价分析背景摘要：利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！越狱这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。在越狱第一季第六集中，Michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上

2、钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。搜狐娱乐曾经报道过，有越狱粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。胡克定律的表达式为F=kx或F=kx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的

3、伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。一、建模问题1.问题提出1.1 问题背景弹簧在压力F 的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx。现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。表1-1X1247912131517F1.53.96.611.715.618.819.620.621.11.2 问

4、题提出试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：（1）试由数据确定k（2）给出不服从胡克定理时的近似公式1.3 问题分析这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。二、模型假设通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F的值是随着X的改变而改变的，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。假设1：当X9时，F不遵循胡克定律。三、模型建立 已知胡克定律为：F=KX，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现K的值并非固定值，我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。故建立模

5、型公式：F=KX+S运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合内容，在matlab程序上可进行求解。四、符号说明表4-1 符号名称符号含义f弹簧受到的压力数值k弹簧的弹劲系数x弹簧增加的距离S胡克定律中的未知数值五、模型求解解：（1）试由数据确定k输入以下程序：x=0 1 2 4 7 9 12 13 15 17;f=0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1;k=f/x可得结果：k =1.4377（2）给出不服从胡克定理时的近似公式：输入以下程序：x=0 1 2 4 7 9 12 13 15 17;f=0 1.5 3.9 6.6 11

6、.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1;a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,k+,x,z,r)运行结果：a =1.3340 1.2678可得图5-2-1：图5-2-1通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式F=1.3340X+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。先取前六个数据的值进行线性拟合：输入程序：x=0 1 2 4 7 9;f=0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6;a=polyfit(x,f,1)z=poly

7、val(a,x);plot(x,f,k+,x,z,r)可得结果：a =1.7085 0.0008可得图5-2-2：图5-2-2通过图5-2-2，可以看到拟合良好，且0.008可以忽略不计，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系，该公式较符合胡克定律。接下来对后面的四个数据进行二次拟合来观察效果：输入程序:x=12 13 15 17;f=18.8 19.6 20.6 21.1;a=polyfit(x,f,2)z=polyval(a,x);plot(x,f,k+,x,z,r)可得结果：a = -0.0732 2.5790 -1.5834可得图5-2-3：图5-2-3通过图5-2-3可以

8、看出，当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确，可以接受，近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834六、结果分析通过运用matlab分别进行三次拟合，可以发现三次拟合的结果大不相同。第一次将所有数据进行拟合，拟合的情况并不好，偏差较多，得出的公式与胡克定律也相差甚远；第二次按照模型假设，只采用0 1 2 4 7 9这六个数据进行拟合，拟合情况较为良好，所得到的公式也极为接近胡克定律；第三次同样按照模型假设，采用12 13 15 17这四个数据进行拟合，拟合情况同样良好，且所得公式也符合我们的模型假设。综合三次拟合，现在可以解答第二步所建立的模型假设。假设1：当X9时，F遵

9、循胡克定律。假设1结果：当X9时，F不遵循胡克定律。假设2结果：当X9时，F不遵循胡克定律，其近似公式为近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834七、实验心得在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳的拟合数据。常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。在本次建模实验中，我们所用到的方法就是是线性最小二乘拟合，通过这次实验，使得我掌握了用线性最小二乘拟合建立回归数学模型（包括参数估计和模型建立），并通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，判断模型建立是否正确。八、参考文献类别著录项目专著数学建模与数学实验/赵静，但琦主编.4版北京：高等教育出版社，2014.8九、附录附录A：其实除我们所熟知的F=KX这一简单的胡克定律，还有一个广义的胡克定律，其内容为：在材料的线弹性范围内（见下图的材料应力应变曲线的比例极限范围内），固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力与应变成正比，即=，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。图A1附录B：各向