高中数学选修2-2 变化率问题

1、 牛顿莱布尼兹 两人同时创立 了微积分 微积分的创始人微积分的创始人 牛顿，莱布尼兹牛顿，莱布尼兹 导数的产生导数的产生1 1、由、由s=f(t)s=f(t)求速度和加速度。求速度和加速度。 2 2、求已知曲线的切线、求已知曲线的切线。 导数的作用：导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最可以研究函数的增减性，变化快慢，最 值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、gdpgdp、 cpicpi增长率等等。增长率等等。 定积分的作用：定积分的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运可以求平面图形的面积，变速直线运 动的路程，变力做功等问题，积分在

2、生活生产科研等动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等 很多领域都有广泛应用。很多领域都有广泛应用。 导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对研究某个变量相对 于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度 下面是一家公司的工资发放情况下面是一家公司的工资发放情况: 其中，工资的年薪其中，工资的年薪s(单位：单位：10元元)与时间与时间 t(单位：年单位：年)成函数关系。成函数关系。 用用y表示每年的平均工资增长率表示每年的平均工资增长率. 试分析公司的效益发展趋势？试分析公司的效益发展趋势？ 问题一:工资增长率工资增长率 年年 份份12345 年年

3、薪薪2000 2100 2300 2600 3000 公司的工资发放情况公司的工资发放情况 第第1年到第年到第2年的平均工资增长率年的平均工资增长率 第第2年到第年到第3年的平均工资增长率年的平均工资增长率 100 12 )1()2( 1 ss y 200 23 )2()3( 2 ss y 可见可见, 此公司的平均工资增长率是越来越大此公司的平均工资增长率是越来越大, 说明此公司效益越来越好说明此公司效益越来越好. 问题二:气球膨胀率 动画 观看 第一次第二次 0.62dm 0.16dm 观察小新接连两次吹气球观察小新接连两次吹气球 时，气球的膨胀程度。时，气球的膨胀程度。 在吹气球的过程中在

4、吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内随着气球内空气空气 容量容量的增加的增加, 气球的气球的半径半径 增加得越来越慢增加得越来越慢. 从数学从数学 的角度的角度, 如何描述这种如何描述这种 现象呢现象呢? 气球的体积气球的体积v(单位：单位：l)与半径与半径r(单位：单位： dm)之间的函数关系是：之间的函数关系是： 3 3 4 )(rrv 用用v 表示表示r得：得： 3 4 3 )( v vr 3 4 3 )( v vr 当当v从从0增加到增加到1l时，时， 气球的半径增加了气球的半径增加了 当当v从从1增加到增加到2l时，气球的半径增加了时，气球的半径增加了 r r(1)- -r r

5、(0)0.62(0.62(dmdm) ) 气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为 )(62. 0 01 )0() 1 ( dm rr )(16. 0 12 ) 1 ()2( dm rr r r(2)- -r r(1)0.16(0.16(dmdm) ) 气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为 显然显然 0.620.16 可以看出，随着气球的可以看出，随着气球的体积体积 逐渐变大逐渐变大，气球的，气球的平均膨胀率平均膨胀率 逐渐变小逐渐变小了。了。 3 4 3 )( v vr 当气球的空气容量从当气球的空气容量从v1增加到增加到v2时，气球时，气球 的平均膨胀率是多少？的平均膨胀率是多少？ 思考？ 2

6、1 21 ()()r vr v vv 问题三:高空崩极 动画 观看 第第0秒到第秒到第1秒这段秒这段 时间内时间内 第第1秒到第秒到第2秒这段秒这段 时间内时间内 观察小男孩崩极时观察小男孩崩极时 的平均速度变化的平均速度变化 重复观看请按重复观看请按 4.9米 14.7米 作崩极时，小男孩落下的高度作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：单位：m) 与跳后的时间与跳后的时间 t (单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系 h(t)= -gt2 1 2 如果用小男孩在某段时间内的平均速度如果用小男孩在某段时间内的平均速度 来描述其运动状态，那么来描述其运动状态，那么 - v 在在0 t 1这段时间

7、内这段时间内 在在1 t 2这段时间内这段时间内 )/(9 . 4 01 )0() 1 ( sm hh - v1 )/(7 .14 12 ) 1 ()2( sm hh - v2 h(t)= -gt2 1 2 可以看出，可以看出， 随着跳后的时间的推移，随着跳后的时间的推移， 小男孩下落的速度越来越大。小男孩下落的速度越来越大。 思考？ 小男孩跳后的时间从小男孩跳后的时间从t1变化变化 到到t2时，平均速度是多少？时，平均速度是多少？ h(t)= -gt2 1 2 12 12 )()( tt thth v 在高台跳水运动在高台跳水运动 中中, 运动员相对于运动员相对于 水面的高度水面的高度 h

8、(单单 位位:m)与起跳后的与起跳后的 时间时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系: 2 ( )4.96.510h ttt 播放暂停停止 问题四问题四:高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 2 ( )4.96.510h ttt 如果用运动员在某段时间内的如果用运动员在某段时间内的平均速度平均速度 描述其运描述其运 动状态动状态, 那么那么: v 在在0 t 0.5这段时间里这段时间里, 在在1 t 2这段时间里这段时间里,

9、 (0.5)(0) 4.05(m/s); 0.50 hh v (2)(1) 8.2(m/s); 2 1 hh v 平均速度只平均速度只 能粗略地描能粗略地描 述运动员的述运动员的 运动状态，运动状态， 并不能反映并不能反映 每一时刻的每一时刻的 运动状态，运动状态， 需要用瞬时需要用瞬时 速度描述运速度描述运 动状态。动状态。 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度, 并思考下面的问题并思考下面的问题: 65 0 49 t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗? 探探 究究 t h o 65 98 t 65 49 65 ()(0) 49

10、65 0 49 0 hh v (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么 问题吗问题吗? 12 12 )()( tt thth 100 12 ) 1 ()2( 1 ss y 平均工资增长率：平均工资增长率： 21 21 ()()r vr v vv 气球平均膨胀率：气球平均膨胀率： 平均速度：平均速度： 平均变化率平均变化率: 式子式子 12 12 )()( xx xfxf 令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则 xxx xfxf y )()( 12 12 称为函数称为函数 f (x)从从x1到到 x2的平均变化率

11、的平均变化率. 平均变化率的定义： .,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx 1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x的值不能为的值不能为0， y 的值可以为的值可以为0 x y 2、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理解理解 x xfxxf xx xfxf )() ()()( 11 12 12 3、变式、变式: 21 21 ()() y f xf x xxx 12 12 )()( xx xfxf x y 平均变化率为平均变化率为: 思考：思考：平均变化率有什么几何意义呢？平均变化率有什么几何意义呢？ 平均变化率的几何

12、平均变化率的几何 意义就是：意义就是： 函数函数f(x)图像上两点图像上两点 (x1,f(x1), (x2,f(x2)所所 在直线的斜率。在直线的斜率。 例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ； (2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。 (1)解：解： y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2 4 2 2 y x (2)解：解： y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 2 2() 2 yx xx xx xx .求函数的平均变化率的步骤求函数的平均

13、变化率的步骤: (1)求函数的增量：求函数的增量： f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：计算平均变化率： 12 12 )()( y xx xfxf x 练习 v1.已知函数已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点a(-1,-2) 及临近一点及临近一点b(-1+x,-2+y),则则y/x=( ) a . 3 b . 3x-(x)2 c . 3-(x)2 d . 3-x d l2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率. 2x0+x 3. t 2 质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中 相应的平均速度为( ) 9 a. 6+ t b. 6+ t+ c.3+ t d.9+ t a 练习 小结：小结： v1.函数的平均变化率函数的平均变化率 l2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：计算平均变化率： 12 12 )()( y xx xfxf x 12 12 )()( y