高中数学选修2-2导数概念课件

1、3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念 1.平均变化率平均变化率 )(xf 一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的 的平均变化率平均变化率为为 , 21 xx 11 21 21 f xxf x( )( ) x f xf xy xxx 一一. .复习回顾：复习回顾： 2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: (1)先计算函数值的改变量先计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1); (2)再计算自变量的改变量再计算自变量的改变量 (3)计算平均变化率计算平均变化率 y x 1 21 )()ffx xx 2 (x 12 xxx 3.平均变化率平均变化率其几何意义是其几何意

2、义是: 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不能反映运动平均速度不能反映运动 员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度瞬时速度. . 又如何求又如何求 瞬时速度呢瞬时速度呢? ? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势的变化趋势. . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势

3、呢? ? 105 . 69 . 4)( 2 ttth 求：从求：从2s2s到到(2+(2+t)st)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 解：解： (2)(2) 13.14.9 h v t hth t t t0t0t0时时, , 在在2, 2 +2, 2 +t t 这段时间内这段时间内 1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv 13.051 v 当当t=0.01t=0.01时时, , 13.149v 当当t=0.01t=0.01时时, , 13 0951.v 当当t=0.001t=0.001时时, ,13 104 9. v 当当t=0.001t=0.001时时, , 13.099 5

4、1v 当当t=0.000 1t=0.000 1时时, , 13.100 49v 当当t=0.000 1t=0.000 1时时, , 13 099 951. v 当当t=0.000 01t=0.000 01时时, ,13 100 049. v 当当t=0.000 01t=0.000 01时时, , 13.099 995 1v 当当t=0.000 001t=0.000 001时时, , 13.100 004 9v 当当t=0.000 001t=0.000 001时时, , 当当tt趋近于趋近于0 0时时, ,平均平均 速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? ? 当当 t t 趋近于趋近于0 0时时

5、, , 即无论即无论 t t 从小于从小于2 2的一边的一边, , 还是从大于还是从大于2 2的一边趋近于的一边趋近于2 2时时, , 平均速度都趋近于平均速度都趋近于 一个确定的值一个确定的值 13.1.13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, , 时间间隔时间间隔 | |t |t |无限变小时无限变小时, , 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. . 因因 此此, , 运动员在运动员在 t = 2 t = 2 时的瞬时速度是时的瞬时速度是 13.1 m/s.13.1 m/s. v 从从2s2s到到(2+(2+t)st)s这段时间内平均

6、速度这段时间内平均速度 13.14.9 h vt t 1 .13 )2()2( lim 0 t hth t 表示表示“当当t =2, t =2, t t趋近于趋近于0 0时时, , 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”. 13.1”. v 为了表述方便，我们用为了表述方便，我们用 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度， 然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时 速度的精确值速度的精确值. .那么那么, ,运动员在某一时刻运动员在某一时刻 的瞬时速的瞬时速 度为度为 00 0 ()

7、( ) lim t h tth t t 0 t 探究探究: : 运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t t0 0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示? ? 5 . 68 . 9 )5 . 68 . 99 . 4(lim )5 . 68 . 9()(9 . 4 lim )()( lim 0 0 0 0 2 0 00 0 t tt t ttt t thtth t t t 导数的概念导数的概念: : 函数函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x = xx = x0 0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 00 00 () limlim xx f xxf xy xx ( ( ) ) ， 称

8、为函数称为函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x = xx = x0 0 处的导数处的导数, , 记作记作 或或 , , 即即 00 0 00 ( )() ()lim= lim. xx f xxf xy fx xx )( 0 x f 0 | xx y 000 1与与 的的值值有有关关，不不同同的的, ,其其导导数数值值一一般般也也不不相相同同. .f (x )xx 0 2与与的的具具体体取取值值无无关关. .f (x )x 3. 瞬瞬时时变变化化率率与与导导数数是是同同一一概概念念的的两两个个名名称称. . 4 4. .平平均均变变化化率率与与导导数数的的关关系系： 总结提升总

9、结提升 5 5、导数是一个局部概念，它只与函数在、导数是一个局部概念，它只与函数在x x0 0及其附近的函数值及其附近的函数值 有关。有关。 6.若极限 不存在，则称函数在点x0处 不可导。 x xfxxf x )()( lim 00 0 求函数求函数 y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的一般方法处的导数的一般方法: : 1.1.求函数的改变量求函数的改变量 2. 2. 求平均变化率求平均变化率 3. 3. 求值求值 00 ()(); yf xxf x 0 0 ()lim. x y fx x 00 ()() ; f xxf xy xx 一差、二比、三极限一差、二比、三极限

10、2 0 1.( )2 ,(0), (1), ().f xxxfffx练 已知分别求的值 三三. .例题讲解例题讲解 例例1求函数求函数yx2在点在点x3处的导数处的导数 l 点评求函数yf(x)在点x0处的导数的方法 l 由导数的意义可知，求函数yf(x)在点x0处的导数 的方法是： 例例2 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, , 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. . 如果在第如果在第 x hx h时时, , 原油原油 的温度的温度( (单位单位: ): )为为 y=f (x) = xy=f (x) = x2 27x+1

11、5 7x+15 (0 x8) . (0 x8) . 计算第计算第2h2h与第与第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化原油温度的瞬时变化 率率, ,并说明它们的意义并说明它们的意义. . c 解解: : 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是 (2) f (6). f 和和 22y()( ) = fxf xx 根据导数的定义根据导数的定义, , 22 27 215215 3 ()xx x x （）（2 -7）2 -7） 所以所以, , 00 (2)limlim(3)3. xx y fx x 同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h2h

12、和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率 分别为分别为3 3和和5. 5. 它说明在第它说明在第2h2h附近附近, , 原油温度原油温度 大约以大约以3 /h3 /h的速率下降的速率下降; ; 在第在第6h6h附近附近, ,原油温原油温 度大约以度大约以5 /h5 /h的速率上升的速率上升. . c c l 答案c l 答案a l 求：(1)物体在t3,5内的平均速度； l (2)物体的初速度v0； l (3)物体在t1时的瞬时速度 1 21 )()( )ff xf x xxx 2 (x 2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: : (1)(1)求函数的增量求函数的增量y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) ) (2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率 1 21 )()( )ff xf x xxx 2 2 (x(x 3.3.求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度： （1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度 （3 3）求极限）求极限 s v t 00 ()( ) . limlim tt ss tts t