高一数学必修二课件2.3.2平面与平面垂直的判定

1、2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 从一条直线引出的两个半平面所组成的从一条直线引出的两个半平面所组成的 图形叫做图形叫做二面角二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱， 这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。 二面角二面角 l a b p q 注注: :面内的一条面内的一条 直线，把这个平面分直线，把这个平面分 成两部分，每成两部分，每 一部一部 分都叫做半平面。分都叫做半平面。 二面角的记法二面角的记法 下图二面角记做下图二面角记做 二面角二面角-l-，或或二面角二面角-ab-。 用面用面1棱面棱面2表示一个二面角表示一个二面角 有时为了方便，

2、在有时为了方便，在， 内分别取点内分别取点p,q,将此二面将此二面 角记做角记做p-l-q,或二面角或二面角p- ab-q。 l a b p q l a b 二面角二面角 ab 二面角二面角 l 二面角二面角cab d a b c d o b a aob 这个是角这个是角 这些是二面角这些是二面角 角角 b a o 边边 边边 顶点顶点 从一点出发的两条射线所组成从一点出发的两条射线所组成 的图形叫做的图形叫做角。角。 定义定义 构成构成 边边点点边边 （顶点）（顶点） 表示法表示法 aob 二面角二面角 a b 面面 面面 棱棱 a 从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面 所组

3、成的图形叫做所组成的图形叫做二面角。二面角。 面面直线直线面面 （棱）（棱） 二面角二面角 l 或二面角或二面角 ab 图形图形 角与二面角的比较角与二面角的比较 书本展开时形成的书本展开时形成的“角度角度”的大小如何来的大小如何来 确定？用什么来衡量？确定？用什么来衡量？ 思考思考 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 二面角的平面角二面角的平面角 l a b o 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角

4、的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 l o a b a o b 是二面角是二面角不是二面角不是二面角 二面角的平面角用来度量二面角的大小，二面二面角的平面角用来度量二面角的大小，二面 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 上图是正方体上图是正方体abcd-abcd， 二面角二面角 度数为度数为45。 a b cd a b c d cd 平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角。 若两个平面相交，如果它们所成的二面若两个平

5、面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直。 记作记作: : 两个平面互相垂直两个平面互相垂直 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 思考思考 可以用铅垂判断所在直线是否与地面垂直。可以用铅垂判断所在直线是否与地面垂直。 平面和平面垂直的判定定理平面和平面垂直的判定定理 符号表示：符号表示： 如果一个平面过另一个平面的一条如果一个平面过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直。垂线，那么这两个平面互相垂直。 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 l l 在正方体在正方体a c1中中 ，

6、求证，求证 ：平面：平面a1c1ca 平面平面b1d1db a b c c1 d b1 a1 d1 例四例四 证明：证明：aa1面面ac, aa1bd， 又又bdac, bd面面acc1a1， 平面平面a1c1ca 平面平面b1d1db 例五例五 如图，如图，ab是圆是圆o的直径，的直径，pa垂直于圆垂直于圆o所在所在 的平面，的平面，c是圆周上不同于是圆周上不同于a,b的任意一点，求证：的任意一点，求证： 平面平面pac平面平面pbc。 b p a c o 证明：证明：在圆在圆o中中ab为直径，为直径， acbc， 又又pa面面abc, pabc， bc 平面平面pac, 平面平面pac平面

7、平面pbc。 高考链接 1.（2008 湖南）如图所示，四棱锥湖南）如图所示，四棱锥 pabcd 的底面的底面 是边长为是边长为1的菱形，的菱形，bcd=60，e 是是cd的中点，的中点，pa底面底面 ， abcd abcd3pa （1）证明：平面）证明：平面pbe 平面平面pab （2）求二面角）求二面角a-be-p的大小的大小 随堂练习 1）如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则内的一条直线，则（ ） 3）如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线内的两条相交直线, , 则则（ ） 1. 判断：判断： 2）如果平面

8、如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的两条直线，则内的两条直线，则（ ） 4）若若mm，m m ，则，则( )( ) 1）过平面过平面的一条垂线可作个的一条垂线可作个_平平 面与平面面与平面垂直。垂直。 2）过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂个平面与已知平面垂 直。直。 2. 填空：填空： 3）过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平面个平面 与平面与平面垂直。垂直。 4）过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直。垂直。 一一 无数无数 无数无数 一一 1）给出下列四个命题：给出下列四个命题： 垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直

9、于同一个平面的两个平面平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两条直线平行。垂直于同一条直线的两条直线平行。 其中正确的命题的个数是（其中正确的命题的个数是（ ） a1 b2 c3 d4 b 3. 选择：选择： 2）给出下列四个命题：（其中给出下列四个命题：（其中a，b表直线，表直线， 表平面）表平面） 若若ab，a，则则b； 若若a，则则a； 若若，则则； 若若，a，则则a其中不正确的命题其中不正确的命题 的个数是（的个数是（ ） a1 b2 c3 d4 d a b c d

10、a1 b1 c1 d1 4.在正方体在正方体abcda1b1c1d1中，中， 求证：平面求证：平面acc1a1平面平面a1bd。 证明：证明：aa1面面ac， aa1bd 又又bdac, bd平面平面acc1a1 平面平面acc1a1平面平面a1bd。 a b o c 5在二面角在二面角-l-的一个面的一个面内有一条直线内有一条直线 ab，若，若ab与棱与棱l的夹角为的夹角为45，ab与平面与平面所成所成 的角为的角为30，则此二面角的大小是多少？，则此二面角的大小是多少？ 如图，过如图，过a点作点作ao于于o，在，在内作内作ac垂直棱于垂直棱于c， 连连ob、oc，则则abc=45，abo=30， aco就是所求二面角的平面角。就是所求二面角的平面角。 a 2 2 设设ab=a,则则ac= a 2 1 ，ao=