2013年高考山东卷理科数学试题及答案

1、 普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷一、选择题（山东卷）1复数 z 满足(z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为()a2i答案 db2ic5id5i52i解析 由(z3)(2i)5 得，z32i，z5i， z 5i.2已知集合 a0,1,2，则集合 bxy|xa，ya中元素的个数是()a1b3c5d9答案 c解析 xy 2，1，0，1，2 .13已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x ，则 f(1)()2xa2b0c1d2答案 a解析 f(1)f(1)(11)2.4已知三棱柱 abc-a b c 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 3的正三角

2、形若941 11p 为底面 a b c 的中心，则 pa 与平面 abc 所成角的大小为()1 11512a.b.3c.4d.6答案 b123 34解析 如图所示：s 3 3sin 60abc.3 3494vadc-a b c s opabcop ，op 3.1 113223又 oa 3 1，2optanoap 3，又 0oap0)的焦点与双曲线 c ： y 1 的右焦点的连线交 c 于第一象223121限的点 m.若 c 在点 m 处的切线平行于 c 的一条渐近线，则 p()123382 334 33a.16b.c.d.答案 d p解析 抛物线 c 的标准方程为：x22py，其焦点 f 为

3、0， ，双曲线 的右焦点 cf212 3为(2,0)，渐近线方程为：y x.313333 3p由 y x 得 x p，故 m， .p63p由 f、f、m 三点共线得 p4 3.3xy12设正实数 x，y，z 满足 x 3xy4y z0，则当 取得最大值时， 的最大值为2 1 2x y z22z()a0 b1 c.9 d34答案 b解析 由已知得 zx23xy4y2(*)xy xy则 z x23xy4y11，当且仅当x2y 时取等号，把x2y 代入(*)式，得 z4y2 x 3y x2 1 2 1 1 112y2，所以 1 211.2yx y z y y y第卷二、填空题13执行右面的程序框图，

4、若输入的 的值为 0.25，则输出的 n 的值为_答案 3解析 第一次循环：f 3，f 2，n2；第二次循环：f 5，f 3，n3.101014在区间3,3上随机取一个数 x 使得|x1|x2|1 成立的概率为_13答案 解析 由绝对值的几何意义知：使|x1|x2|1 成立的 x 值为 x1,3，由几何概型31 2 1知所求概率为 p .33 6 3 15已知向量ab与ac的夹角为 120，且|ab|3，|ac|2.若 a p abac，且apbc，则实数 的值为_712答案 解析 由apbc知apbc0，即apbc(abac) (acab)(1)abaca b 21712 ac2(1)32

5、940，解得 . 20，0x0，b0，则 ln (a )bln a；b若 a0，b0，则 ln (ab)ln aln b；ab若 a0，b0，则 ln ln aln b； 若 a0，b0，则 ln (ab)ln aln bln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)答案 解析 0a 1 时(0a1 时(a1)，ln (ab)ln abbln abln a；正确15设 a ，b3，则 00ln 3 不成立，不正确；ln aln b(a，b1)，a(ab)ln ln a(0b1a)，b0(0a，b1).ln aln b(a，b1)，(ab)0 ln (0 1 )，b ab0(0a，b1，a，

6、b1：ln(ab)ln aln bln 2ln 2ab 成立；(2)ab1，a1,0b1,0a，b1：ln(ab)ln 2 成立；(4)0ab1,0a，b1：0ln 2 成立 三、解答题7917设abc 的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，且 ac6，b2，cos b .(1)求 a，c 的值；(2)求 sin(ab)的值解 (1)由余弦定理得：a2c2b2 a2c2479cos b ，2ac2ac14即 a2c24 ac.914(ac)22ac4 ac，ac9.9c6，a由得 ac3.9ac79(2)在abc 中，cos b ，sin b 1cos2b 1 24 2.7 99ab

7、由正弦定理得：，sin a sin b4 293sin b2 2.sin aab23213又 ac，0a0 得 x ，由 f(x) .11211 f x所以 f(x)的单调递增区间为 ， ，递减区间为 ， .所以 ( ) fc .2 2 2emax x(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x| c，x(0，)，e2xx令 g(x)|ln x| ，yc.e2xx当 x(1，)时，ln x0，则 g(x)ln x .e2x1 2 1xe2x所以 g(x) 0.x所以 g(x)在(1，)上单调递增x当 x(0,1)时，ln x1x0，所以 1，而 2x11.所以 g(x)0，即 g(x)在(0,

8、1)xxx上单调递减1由可知，当 x(0，)时，g(x)g(1) .e21由数形结合知，当 c 时，方程|ln x|f(x)根的个数为 2.e2x2 y2a2 b23222椭圆 c： 1(ab0)的左、右焦点分别是f 、f ，离心率为 ，过 f 且垂直于 x121轴的直线被椭圆 c 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 c 的方程；(2)点 p 是椭圆 c 上除长轴端点外的任一点，连接pf ，pf ，设f pf 的角平分线 pm1212交 c 的长轴于点 m(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 p 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点，11设直

9、线 pf 、pf 的斜率分别为 k 、k ，若 k0，试证明 为定值，并求出这个定kk kk121212值 c3 b2 1解 (1)由已知 e ， ，a 2 a 2又 c2a2b2，所以 a24，b21.x2故椭圆 c 的方程为： y21.4(2)方法一 如图，由题意知|f m| |pf |pf |cmcm3m3m321 1 即21 ，整理得： (|pf1|2)m|mf | |pf | 4 | pf|21又 ac|pf |ac，即 2 3|pf |2 3.1132323 3 m .故 m 的取值范围为 m ， .2 2 pf pm pf pm pf pm pf pm方法二 由题意知：12，即12. |pf |pm| |pf |pm|pf |pf |1212设 p(x ，y )，其中 x24，将向量坐标化得：m(4x216)3x312x .000000343 3所以 m x ，而 x (2,2)，所以 m ， .2 200(3)设 p(x ，y )(y 0)，则直线 l 的方程为 yy k(xx )00000x24y21，联立整理得(14k2)x28(ky k2x )x4(y22kx y k2x21)0.0000 00yy k(xx )，00所以 64(ky k2x )216(14k2)(y22kx y k2x21)0.即(4x2)k22x y k1y2000