气体动理论习题解答

1、习题8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的 压强为 1.35 1014 Pa 。试估计太阳的温度。 （已知氢原子的质量 m = 1.67 10-27 kg，太阳 半径 R = 6.96 108 m，太阳质量 M = 1.99 1030 kg）解： nMm VmM(4/3)R3m8-2 目前已可获得 1.013 10-10 Pa 的高真空，在此压强下温度为 27的 1cm3体积内有多少个气体分子？解： N nV p VkT1.013 1010231.38 10 23 30010 6432.45 104 /cm38-3 容积 V1 m3的容器内混有 N11.

2、01023个氢气分子和 N24.01023个氧气分子， 混合气体的温度为 400 K ，求：1） 气体分子的平动动能总和； （2）混合气体的压强解：（1）2）3 3 23 23 3 tkT(N1 N2)1.38 10 23 400 5 1023 4.14 103J22pnikT 1.38 10 23 400 5 1023 2.76 103 Pa8-4 储有1mol氧气、容积为 1 m3的容器以v=10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的 80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？（将氧气分子视为刚性分子）解：1mol 氧气的质量 M 32 10 3

3、kg ， i 515由题意得1Mv 2 80% 5 R T T 6.2 10 2K228-5 一个具有活塞的容器中盛有一定量的氧气，压强为 1 atm 。如果压缩气体并对它 加热，使温度从 27 上升到 177 ，体积减少一半，则气体的压强变化多少？气体分子 的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？解：已知p1 1atm、 T1 300K根据 pV RTp1V1 p2V2p2 3p1 3atmT1T28-6 温度为 0 和 100 时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平 均平动动能等于 1 eV，气体的温度需多高？解：（1） t1 3kT1 3 1.38 10 23 27

4、3.15 5.65 10 21Jt1 2 1 2（2）1ev 1.6 10-19J t 3kT28-7 一容积为 10 cm3的电子管，当温度为 300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为 510-4 mmHg的高真空，问此时（ 1）管内有多少空气分子？（ 2）这些空气分子的平均平 动动能的总和是多少？（ 3）平均转动动能的总和是多少？（ 4）平均动能的总和是多少？ （将空气分子视为刚性双原子分子， 760mmHg =1 .013 105 Pa）5解： 1mmHg 1.013 10 133Pa7601) N nV pV 1.61 1014 个 kT2）t3N kT3 RT3pV 1106J2

5、223）rN 2kT2RTpV6.65107J4）t5 rpV1.65106J8-8 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即 H2O H2 1 O22也就是 1mol水蒸气可分解成同温度的 1mol 氢和 1/2mol 的氧。当不计振动自由度时， 求此 过程的内能增量。解： E 2i RT ， 1mol若水蒸气温度是 100时8-9 已知在 273 K、1.010-2 atm 时，容器内装有一理想气体，其密度为 1.24 10-2 kg/m3。求：（1）方均根速率；（2）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3）气体分子 的平均平动动能和转动动能各为多少？ （4）容器单位体积内分子的总平动动能是

6、多少？ （5） 若该气体有 0.3 mol ，其内能是多少？1 解： （1） p 31 v2v2494m/s2）v23RT3RT 3RT3p28g所以此气体分子为 CO或 N23）3kT 5.65 10 21J2（4） t n3kT 3P 1.52 103Jt 2 25（5） E 5 RT 1701J28-10 一容器内储有氧气，其压强为 1.01 105 Pa，温度为 27.0 ，求：（ 1）分子数 密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能； （4）分子间的平均距离。（设分子间均 匀等距排列）解：（1） n p 2.44 1025/m3kT（2）32p 3p P 1.297kg/m

7、3v23RT RT（3）t 3kT 6.21 10 21J21（4）d3 1 d 3.45 10 9mn8-11 设容器内盛有质量为 M1和 M 2的两种不同的单原子理想气体，此混合气体处在 平衡态时内能相等，均为 E ，若容器体积为 V 。试求：（1）两种气体分子平均速率 v1 与v2 之比；（2）混合气体的压强。解：（1） E 3 M1 RT 3 M2 RT M1122 1 2 2M2（2） pnikT N1kT N2 kTi V V2N1 kT V2 2E4EV33V8-12在容积为 2.010-3 m3的容器中，有内能为6.75?10 2 J的刚性双原子分子理想气体。（1）求气体的压强

8、；（2）设分子总数为 5.4?10 22 个，求分子的平均平动动能及气体的温度解：（1）Ei2RTi pV2p 2E 1.35 105pa iV（2）TpV1.535 105210 3362.3KNk5.42210221.382310 238-13 已知 f（v） 是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：vp（1） f （v）d v ；（2） Nf （v）dv；（3） f （v）dv解：（1） v v dv 范围内的粒子数占总粒子数的百分比；（2） v v dv 范围内的粒子数（3）速率小于 vp 的粒子数占总粒子数的百分比习题 8-14 图（ 1）氢气分子和氧气 所处的温度。可知：8-14

9、图中 I 、 II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中数据求：分子的最概然速率；（2）两种气体解：（ 1）由习题 8-14 图（2）由2RT2vp2R235002 32 10 32 8.31481.3K8-15 在容积为 3.0 10-2 m3的容器中装有 2.0 10-2 kg 气体，容器内气体的压强为5.06?10 4 Pa，求气体分子的最概然速率。解：由 pVRTRT pV8-16 质量 m =6.2 10-14 g 的微粒悬浮在 27的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为 1.4 cm/s ，假设粒子服从麦克斯韦速率分布函数，求阿伏伽德罗常

10、数8-17 有 N个粒子，其速率分布函数为 f （v）c (v0 v 0)0 (v v0 )1）作速率分布曲线；（2）由 v0 求常数 c；（3）求粒子平均速率v 01解：(2) 0 cdv 1 c v103) vvf (v)dv0v0cv0v028-18 有 N个粒子，其速率分布曲线如图所示， 当 v 2v0 时 f （v）0 。求：（1）常数 a；（ 2）速率大于 v0 和小于 v0 的粒子数； 率。解：（1）由速率分布函数的归一（2） v v0 时：3）求粒子平均速习题 8-18 图化条件可得v v0 时： N2 N N1 2 N3kv223v03) f (v)23v00v0 vv v0

11、v02v08-19 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为 v 2gr ，其中 r 为地球半径。（1）若 使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（ 2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。 （取 r =6.40 106 m）解：（1）由题意知 v 8RT 2gr T 2gr8R又 O 32 10 3 kg/mol H 2 10 3 kg/mol（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4 倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个 极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很

12、高。因而，在气 体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽 然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子 速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布 曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。 8-20 试求上升到什么高度时大气压强减至地面的 75%？设空气温度为 0，空气的 摩尔质量为 0.0289 kg/mol 。解：由 p p0 exp（ gz） z RT ln p00 RT g p8-21 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程； （ 2）若温

13、度不变，气 压降低到 1.33 10-4 Pa，平均碰撞次数又为多少？平均自由程为多少？（设分子有效直径 为 10-10 m ）解：Z 2 d2n 2 d 2p 8.38 10 m8-22 真空管的线度为 10-2 m，真空度为 1.3310-3 Pa，设空气分子有效直径为 310-10m，求 27时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。解：n kT 1.3831.33 10 3 17 323 3.21 10 /m10 23 300v1Z 2 d2nkT2 ，当容器足够大时，取 d 3 10 10m2 d2 p代入可得 7.8m10 2m （真空管线度）所以空气分子间实际不会发生碰

14、撞，而只能与管壁碰撞，因此平均自由程就是真空管 的线度，即 10 2m8-23 在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因电子速率远大于气体分子的平 均速率，所以可以认为气体分子不动。设气体分子有效直径为 d ，电子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求： （ 1）电子与气体分子的碰撞截面； （2）电子与气体分子碰撞的平均自由程。气体分子数密度为 n ）解：（1）(d22 d242）ve其中 u为电子相对于分子的平均相对速率 Z nu由于 vev分子 ，所以 u ve8-24 在标准状态下，氦气（ He）的内摩擦系数 = 1.89 10-5 Pas，求：（1）在此状态下氦原子的平均自由程

15、； （2）氦原子半径解：标况： p 1.01 105 pa、 T 273.15K111)nmv v33把 p 0.18kg/m 3v 8RT 1202m/s 代入得 2.62 10 7 m2）12 d2nkT2 d2 pd2kT2p 8-25 热水瓶胆的两壁间距 L = 410-3 m，其间充满温度为 27的氮气，氮分子的 有效直径为 d = 3.1 10-10 m，问瓶胆两壁间的压强降低到多大数值以下时，氮的热传导系 数才会比它在一个大气压下的数值小？1解：热传导系数 K 13 cV v由于nm ，2 d2n ，所以2md2与压强无关，即热传导系数与压强无关然而在抽真空的容器中当压强降到一定程度时，平均自由程 会大于容器本身的线度，这 时 取为容器的线度不变，当真空度进一步提高时，因 不变，所以 p 时， ，则 K 于是热传导系数就小于一个大气压下的数值了。因此当kTL时传导系数开始发生变化8-26 由范德瓦耳斯方程 (p a V2)(V b) RT ，证明气体在临界状态下温度 Tk、压强 pk及体积Vk 为T