斯特瓦尔特定理及应用

1、肂第四章 特瓦尔特定理及应用蚁【基础知识】膆斯特瓦尔特定理设 P为ABC的 BC边上任一点（ P B， P C），则有2 2 2蒄 AB2 PC AC 2 BP AP2 BC BP PC BC 2 2 PC 2 B P 2 B P PC薀或 A P A B A C B C BC B C B C BC葿证明 如图 4-1 ，不失一般性，不妨设 APC 90 ，则由余弦定理，有芆 AC 2 AP2 PC2 2AP PC cos APC ，袅 AP 2 BP2 2AP BP cosAPC 节对上述两式分别乘以 BP， PC 后相加整理，得式或式芈斯特瓦尔特定理的逆定理设 B， P ， C依次分别为从

2、 A点引出的三条射线 AB，AP， AC上的点，若莆 AB2 PC AC BP AP2 BC BP PC BC ，2 2 PC 2 B P 2 B P PC羂或 A P A B A CB C，BCB CB C BC螀则 B ， P， C三点共线羇证明 令BPA 1，APC 2，对 ABP和 APC分别应用余弦定理，有2 2 2 2 2 2蒅 AB2AP2PB22AP PB cos 1， AC2AP2PC 22AP PC cos 2 莃将上述两式分别乘以 PC， BP后相加，再与已知条件式相比较得蒂 2AP BP PC cos 1 cos 2 0 ，由此推出 1 180 2 ，即证肀斯特瓦尔特定

3、理的推广1）设 P为ABC的 BC边延长线上任一点，则22蒅 AP2AB2PCBC2AC2BP BC2 PC BPBC BC BC螄（2）设 P为 ABC的 BC 边反向延长线上任一点，则2 2 PC2 BP 2PCBP 袀 AP2 AB2 AC2 BC2BCBCBCBC蝿注 若用有向线段表示，则，式是一致的薅推论 1设 P 为等腰 ABC的底边 BC 上任一点，则AP2 AB2 BP PC 膅注 此推论也可视为以 A为圆心， AB 为半径的圆中的圆幂定理蚂推论 2 设 AP为ABC的 BC边上的中线，则 AP2 1AB2 1AC2 1BC2224薈推论 3 设 AP为ABC的 A的内角平分线

4、，则 AP2 AB AC BP PC 蚅推论 4 设AP为ABC的A的外角平分线，则 AP2 AB AC BP PC 薆推论 5 在 ABC 中，若 P分线段 BC满足 BP ，则 BC肀 AP2( 1)BC 2 (1 )AB2AC 2 薁注 若 BP k ，则 AP21 AB2k AC2k 2 BC2 PC 1 k 1 k 1 k 2 螅【典型例题与基本方法】蚃1选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键螁例 1 如图 4-2，凸四边形 ABCD中， ABC 60 ，BAD BCD 90 ， AB 2，CD 1，对角 线 AC ， BD交于点 O求 sinAOB（1996 年

5、北京中学生竞赛题）莀解 延长 BA ， CD相交于 P，设 BC x，则 PB 2x，PC3x，对 PBC及PB边上的点 A，应用斯特瓦尔特定理，有2袅 x 2x 4 肃 由 RtADP RtCBP ， 有 P D P CP A， 即 3x 1 x3 x2 2 ，x2 求 得BC x 4 3 蒃于是， CA2 15 6 3 又在 RtBCD 中， BD2 x2 1 20 8 3 ，从而 BD AC4 5 2 3 3 5 2 3 10 312膈而 SABCDS ABD S BCD2 3 2 24 3 2 ，羅故2110 3 12 siAnOB 32 3，即sinAOB 15266 3为所求蒄例

6、2 如图 4-3，在ABC中，A 60 ，AB AC ，点O是外心，两条高 BE，CF交于 H点，点M ， N分别在线段 BH ， HF上，且满足 BM CN ，求MHOHNH 的值羁（ 2002 年全国高中联赛题）羇解 延长BE交 O于L ，由三角形垂心性质，知 L为H关于 AC的对称点，则 LC CH肅设 O的半径为 R，OH d，CH x，BH y ，由CLB =A 60，知 LH LC CH x延长OH 两端交 O 于T， S，如图 4-3，由相交弦寇理有 TH HS BH HL ，即 R d R d x y ， 即 R2 d2 xy 袅在 BCL 及边 BL 上的点 H ，应用斯特瓦

7、尔特定理，并注意到 BC 2R sin A 3R ，可得蚃BC2 LH LC2 BH LH BH BL CH 2 BL，羀即3R x x2 y x y x y x2 x y ，荿亦即 R2 1 x2 x y 2y 芆于是，有122 xy y2d xy 莅亦即x 2y3，即 x y3 d 2 d羃而当 AB AC 时， MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y ， 蒈故 MH NH x y 3 为所求OH d螇 2 注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 肇例 3 如图 4-4，自 O外一点引圆的两条切线 PE，PF，E，F 为切点，过 P点任意引圆的割线交211O于A ， B，交

8、EF于C 证明： 2 1 1 （2001 年湖南中学生夏令营试 PC PA PB题）螂证明 由相交弦定理，有 EC CF AC CB 螂由于 PE PF ，对等腰 PEF 及底边 EF 上的点 C ，应用斯特瓦尔特定理的推论 1，有 PC2 PE2 EC CF ，即有膈 PA PC PB PC PA PB 薅而 PE2 PA PB ，从而 2PA PB PA PC PB PC 螅故211P C PA PB袂注 此例结论表示线段 PC是线段 PA ， PB的调和平均这个结论亦即为点P、 C调和分割弦 AB蕿例 4 如图 4-5，设在 ABC中， AB AC， AE平分A ，且交 BC于E，在 B

9、C上有一点 S，使2 2 2BS EC 求证： AS2 AE2 AB AC 2（1979 年江苏省竞赛题）芇证明 对ABC 及边 BC上的点 S，应用斯特瓦尔特定理，有22薄 AS2 AB2SCBCAC2BS BS SC BC羂由 AE平分 A，对 ABC 及边 BC上的点 F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有 AE2 AB ACBE EC ，从而2 2 2 SC 2 BS羀 AS2 AE2 AB2 AC2 AB AC BE EC BS SC BC BC螄因 BS EC ，有 BE SC，即 BE EC BS SC 莃由角平分线的性质，有BE A B , E CAC，B C AB A C B

10、C AB A C肂即SC BEB C BCA B BSAB A C B CE CACBC AB A C肇从而，由式，有 AS2 AE2 AB AC 2 蒆例 5 凸多边形 ABCD 外切于 O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、 F ，对角线交于点 G 求证：DGEF 中等数学 奥林匹克题高中 251 题）肁证明 如图 4-6，设 O与边 AB 、 BC 、 CD 、 DA分别切于点 M、 N 、 R 、 S，则由牛顿定理知， AC 、 BD、MR、 NS四线共点于 G 由切线长定理，知 EM ER膂由推论 1，有 EG2 FS2 MG GR 蒇同理， FG 2 FS2 SG GN 袄联结

11、MO、EO、SO，令 O的半径为 r ，则2 2 2 2 2膄 EM2 OE r2，FS2 OF2 r2 节又由相交弦定理，有 MG GR SG GN 袈于是，由、有 EG2 ED2 FG2 FO2 蚆由定差幂线定理，知 OGEF 袃注 （ 1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4 条直线共点莂（ 2）定差幂线定理设 MN 、 PQ 是两条线段，则 MN PQ 的充要条件为PM 2 PN2 QM 2 QN2艿此定理可用勾股定理及逆定理证明这个定理放到空间也是成立的运用向量法可给出平面、空间的 统一证明如下：肄由 PM2 QN2 PN2 QM2 PM 2 QN PN2 QM

12、 2蚂 2PM PQ 2PN PQ 2 PM PN PQ 2NM PQ 莁知莆故 M N PQP2MP2 NO2 M 2Q N螆例 6 已知E 、F分剔是 ABC的边AB 、 AC的中点， CM 、 BN是边AB 、 AC上的高，联结 EF、 MN交于点 P又设 Q、 H分别是 ABC的外心、垂心，联结 AP、 OH 求证： APOH蒁（ 2005 年国家队集训题）11 蒁证明 如图4-7，联结 AO 、AH 设O1、H1分别为 AO、AH的中点，则H1NAH ，H1MAM ，22 即知点 H1 在线段 MN 的中重线上，应用推论 1，有螇 H1P2 H1M 2 MP PN 芄注意到 EF为A

13、BC中位线， O在BC的中垂线上，由此知 O1也在 EF的中垂线上，应用推论 1，有蒄 O1P2 O1E2 EP PF 薁再注意到 ANM ABC AEF，知M、E、N、F 四点共圆，并由直角三角形性质，有 膈 MP PF EP PF 羆及芃O1E O1A、 H1M H1A 蚁由、得 H1A2 H1P2 O1A2 O1P2 由定差幂线定理， O1H1 AP蕿而 O1H OH ，故 AP OH 蒃注 此例的其他证法可参见第九章例 16、第十章例 15羂例 7 设D是ABC的边BC上一点，满足 CDACAB， O经过 B 、 D两点，并分别与 AB、 AD交于 E、 F 两点， BF 、 DE交于

14、点 G，联结 AO、 AG，取 AG的中点 M 求证： CMAO螁证明 如图 4-8，在AG的延长线上取点 P，使得 AG AP AF AD（即G、P、D、F 四点共圆）， 则由 AE AB AF AD知 E 、 B 、 P 、 G 也四点共圆于是 BPA 180 BED 180 BFDBFA，知 B、P、F、 A四点共圆，即有 FG GB AG GP AF AD AG2羀联结OD 、 OF 、 OE ，并令 O半径为R，则对 ODE 、 ODF分别应用推论 1，有膅 OG2 OD 2 EGGD R2 FG GB 22肄OA2 OD 2 AF2AD R2 FG2GB AG2聿联结 OM ，由三

15、角形中线长公式，并注意、，有2 2 1 2 2 2 1 2 2 莄MO2 MA2(2OA2 2OG2 AG2)AG2 R2 44肅联结 OB 、 OC ，对 OBD 应用推论 1，有 CO2 OB2 CD CB R2 CD CB 肁又由 CDACAB ，有 CA2 CD CB ，即有 CO2 CA2 R2 膈注 P即为完全四边形的密克尔点， 由、有 MO2 MA2 CO2 CA2 由定差幂线定理， 知CM AO螅 3 注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理蒃斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理螀证明 如图 4-9，在 ABC中，点 P在 BC上，由斯特瓦尔特定理，有膈 AP2 BC AB2 PC AC

16、2 BP BP PC BC 膆延长AP交ABC的外接圆于 E，连BE，EC，由ABP CEP 和ACPBEP，有AB AP CE AP ， AC BP AP BE 芅又由相交弦定理，有 BP PC AP PE 蕿于是，得 AP2 BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC ，芈即 B C A P P E A B C E A C， B E薇亦即 AB C E AC BE B C即为托勒密定理 蚃由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理薂证明 如图 4-10，设圆内接四边形 ABEC的对角线 AE， BC 交于 P 由托勒密定理，有 莈 AB EC AC BE BC AE 蚄即 AB E

17、C AC BE B P P C A EAB PC AC BP 莅由ABPCEP和 ACP BEP ，有 EC AB PC，BE AC BP 由相交弦定理，有AP APPE BP PC 将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理AP莁因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题 也能用斯特瓦尔特定理处理反之亦然蒈例 8 若 ABC的三边为连续整数，且最大角 B是最小角 A的两倍，求三角形的三边长肅（ IMO -10 试题）袂解法 1 作ABC的平分线 BD （图略），则BD AD，令 AD y， AB x，则膀 AC x 1， BC x 1 ， CD x

18、 1 y 薈由斯特瓦尔特定理的推论AB AD ，即 xBC CD x 13，有 y2 x x 1 y x 1 y ，即 y x x 1 x1y ，有x1yx x 1y 2x 1x2 x x2 x蒅故由 x x x x ，求得 x 5 （舍去 x 0 ），即 AB 5 ， BC 4 ， AC 6 x 1 2x 1薄解法 2 作 ABC 的外接圆 O ，取 AC 的中点 D ，连 AD ， BD ， CD ，则 ABCD 为梯形，其中CD BA令 AB x，则 AC x 1，BC x 1，且CD BC x1，BD AC x 1对四边形 ABCD22应用托勒密定理，有 x 1 x x 1 x 1 ，

19、求得 x 5 （下略）膂【解题思维策略分析】蚈1获得线段倍分关系的一条途径袆例 9 如图 4-11，已知 ABC 的外接圆 k 的圆心为 O，半径为 R ，内切圆的圆心为 I ，半径为 r ，另 一个圆 k0与边CA ， CB分别切于点 D ， E ，且与圆 k内切求证：内心 I是线段 DE的中点肂（ IMO -34 预选题）羁证明r设圆 k0的圆心为 O1，半径为 ，于是 O1，I ，C三点共线， 且 CI1r，CO1sin1 C 2，sin 1 C2则 IO1rr ，且 O1E1sin C2羂于是，IO1CO1rr1薁连 OC， OIO1O ，对 COO1，及边 O1C上的点 I ，应用斯

20、特瓦尔特定理，有22羈 OO12 CI OC22IO1 OI 2 CO1 CI IO1 CO1羄注意到欧拉公式，2OI2R 2Rr ，及 OO1 R ， OC R ，并将其代入式，得到肂 R2 2Rr1r1 sin C sin C2sin 12Csin1 C2蚈化简得 si n2 1 C21蒆从而IO1 sin2 1CCO12CO1螃即 IO1 CO12 O1E2 膁因为O1E CE ， CO1 DE且平分DE ，令DE的中点为 I ，由射影定理，有聿 IO1 CO1 O1E2 膈比较式和式，知 I 与 I 重合，即得 I 为 DE 的中点螆例 10 如图 4-12，两个大圆 A， B相等且相

21、交； 两个小圆 C， D 不相等但相交， 且交点为 P， Q若 C ， D 既同时与 A内切，又同时与 B外切试证：直线 PQ 平分线段 AB芁(中等数学奥林匹克问题高中58 题)蒀证明 由于 C ， D 半径不相等， 此两圆交点所在直线 PQ 必与线段 AB 相交，设交点为 M 连 AC ， MC ， BC ， AD ， MD ， BD， PC ， PD ， CD ，显然 PQ CD ，设垂足为 N，又设 A， B的半 径均是 ， C， D的半径分别为 R，r(R r) ，则易得 AC R， BC R， AD r， BD r ，蚆因为 PQCD ，或MP CD ，垂足为 N，则2 2 2 2

22、 薅 PC PD R r 莁设 AM x，MB y，对 CAB及边 AB上的点 M ，应用斯特瓦尔特定理，有袁 x y MC 2 x MB 2 y AM 2 蚈对 DAB及边 AB上的点 M ，应用斯特瓦尔特定理，有蚄 x BD2 y AD2 x y MD2 x MB2 y AM 2螁 ，得蚂 xBC2BD2y AC2AD2x y MC2 MD 2x y R2r2 ，膆即x R 2 r2 y R 2 r 2 xy R2 r2，蚇亦即 2 x y R r 0 袁因0 ， R r ，从而 x y 0 ，即 x y 蝿故 AM MB ，即直线 PQ 平分线段 AB A 中的第 6 题，习题 B袈2求

23、解三角形问题的一种工具 蒆斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题中的第 7 题等可以看出在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用羁例 11 设ABC的三边为 a ， b ， c ，其面积为 S，则 a2 b2 c2 4 3S，当且仅当 ABC为正三 角形时，等式成立 （ IMO -3 试题）膀证明 取BC的中点 D ，对 ABC及 BC边上的点 D ，应用斯特瓦尔特定理的推论 2，薀有 AD2 12 A C2 21 A2B 14B2C 12b 1膅从而有2 2 2 2 3 2 a b c 2AD a2 2 2AD 23a 2 3 AD2a羁设 ABC的 BC边上的

24、高为 h，则 AD h，于是薁 2 3 AD a 2 3 2 1a h 4 3S 2肇故 a2 b2 c24 3S，其中等号当且仅当2AD2 3a2且 AD h时成立，也即 ADBC且23AD3a ，此时 ABC恰为正三角形2羄例 12 如图 4-13，在ABC中， D，E分别为 AC和 AB同方向延长线上的点， BD与CE相交于 P， 且 BD CE 当 P 在 BC 边的中线上时，则 AB AC 肁证明 设AP交BC于Q 分别对 BPQ及点 A和CPQ及点 A应用斯特瓦尔特定理的推广结论， 有羁 BA2BP2 APQQ BQ2 PAQP AP AQ，2 2 AQ 2 AP蝿 CA2CP2C

25、Q2AP AQ PQ PQ芀于是BA2 CA2CP2 BP2 PAQQ BQ2 CQ2 PAQP 蒅由于 BD CE，对 PBC及点 A应用塞瓦定理，有 莂 QB EC DP 1 ，即 PD QC QC EP DB PE QB蒁当 P 点在 BC 边上的中线上时，有 BQ QC 聿从而 PD PE ，由此知 PC PB，故 AB AC薅例 13 如图 4-14，若 D是ABC的边 BC延长线上一点，则 AD平分A的外角的充分必要条件是2AD2 BD CD AB AC 螃证明 必要性：若 AD 平分A的外角，则由推论 4 即有2膃 AD BD CD AB AC 袈或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来

26、推导衿充分性：设直线 AD交ABC的外接圆于 E，连 BE、CE膄由割线定理有 BD CD AD ED ，并将其代入条件式 AD2 BD CD AB AC 可得 蚁 AD ED AD AB AC 袁由此可知 E 必在 DA的延长线上（因 ED AD 0 ）羈于是 AD AE AB AC 薅由 ACD BCD，有 AC BD AD BE 莃由 得 A E BD A B BE 蚀又由 ECD BAD，有 EC AD CD AB 芆由 得， AE CD AC CE 膄由 得， AE BC AB BE AC CE 罿对四边形 EBCA应用托勒密定理，有薇 AE BC AB CE AC BE 莆于是 A

27、B CE AC BE AB BE AC CE 莁即 AB AC CE BE 0，从而 CE BE 螀因此 CAD EBC ECB EAB 莆故 AD平分 A的外角蒆例 14 如图 4-15，设正 ABC的内切圆圆心为 I，半径为 r ，在 I内任取一点 P，设点 P到BC，CA， AB的距离分别为 d1 ， d 2 ， d3 求证：以 d1， d2 ， d3为边可以构成一个三角形，且其面数学通报 问题 1356积为 3 r 2 PI 2 4题）螁证明 设正三角形 ABC 的边长为 1，则膈 d1 d2 d3IA IBIC2r 3莈连 AP并延长交 BC于 D ，则由题设知BDS APBd3DC

28、S APCd2DP 膂PAS BPCS BACS BPCd1d1 d d3 d1d1d2 d3袀由于 BI IC，BA AC ，对 BIC及边 BC上的点 D ，对ABC及边 BC上的点 D ，均应用斯特瓦 尔特定理的推论 1，有22 2 2蒁 ID2 IB2 BD DC，AD 2 AB2 BD DC BDd3 d3 d3 d2袀又由3 ，知BD 3BC 3， DC 2DC d2d2 d3d2 d3d2 d3螇于是 ID2 1d2d3 2， AD2 1d2d3 2 3 d2 d3d2 d3薂又对 AID 及边 AD 上的点 P 应用斯特瓦尔特定理，有膀 IP2 ID 2 PA IA2 DP D

29、P PAADAD羀由DPPAd1 ，知 PA d2 d3ADd2 d3 ， DP d1 d2 d3 ADd1d1 d2 d3羄将上述各式及式代入式，并注意IAd1 d2 d32 3 4d1 4d2 4d3 ，有莄 1 4d1d2 d1d333d2d3 罿即IP24 d1d 2 dd1 3 d d2 3聿于是， d12 d22 d32 2 d1d2 d1d3 d2 d33 2 2 2 莅 1 3IP 2 3 r2 IP 2 4螂此式可写成为d1d2d3d2d3d1d1d3d2d1d2d3羂 3 r2 IP2 聿由于 P 点在 I 内部，则 r2 IP2 0 ，从而，必有肆 d2d3d10 ， d

30、1d3d20 ，d1d2d30 如若不然， 比如d2d3d10 ，d1d3d20，则d2d3d1d1d3d20 ，即d30 与已知矛盾，则知d2d3d1 ，d1d3d2，d1d2d3 袄 可见，以d1 ， d2 ， d3 为边可以构成三角形，且由海伦秦九韶公式及式知其面积为3 r2 PI2 4肁【模拟实战】薀 习题 A蒇1在 ABC中，AB AC 2 ，BC边有 100个不同的点 P1 ，P2 ，P100 ，记mi AP 22BP PCi i (i 1，2， 100），求 m1 m2 m100 的值节2在ABC中， C的平分线交 AB于D 证明： CD CA CB （匈牙利中学生数学竞赛题） 袀3在ABC中， D是BC边上的点，已知 AB 13， AD 12， AC 15，BD 5，求 DC蕿4在ABC中， AB 2 2，AC 2，BC 2，设 P为BC边上任一点，则（）22袈 A PA2 PB PCB PA2 PB PC22羄C PA2 PB PCD PA2与 PB PC的大小关系不确定袃5D是ABC的边 AC上的一点，且 ADDC 21，C 45 ，ADB 60 ，求证： AB是 BCD 的外接圆的切线1虿 6设