【高考必备】高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题27数列求和方法Word版含解析

1、【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。【方法点评】方法一 公式法解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前项和

2、公式求和结果例1.设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论常用的数列求和公式有：等差数列前项和公式： 等比数列前项和公式： 自然数方幂和公式： 【变式演练1】已知an是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和s10等于（ ）a.64 b.100 c.110 d.120【答案】b【解析】试题分析：a1+a2=4，a7+a8=28，解方程组可得 考点：等差数列通项公式及求和方法二 分组法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

3、 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.例2. 已知数列an是321,6221,9231,12241，写出数列an的通项公式并求其前n项sn.【变式演练2】在等差数列中，.设，则数列的前100项之和为（ ）a-200 b-100 c.200 d100【答案】d【解析】考点：等差数列通项，分组求和【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列b

4、n，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式演练3】已知是等差数列，是等比数列，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）易得，；（2）由（1）知， 试题解析：（1）等比数列的公比，所以， 设等差数列的公差为因为，所以，即 所以 （2）由（1）知，因此从而数列的前项和考点：1、等差数列；2、等比数列方法三 裂项相消法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例3. 已知数列:, ,若，那么

5、数列的前项和为（ ）a b c. d【答案】b【解析】考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到，进而得到的通项公式是解答的关键.【变式演练4】已知等差数列an的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为（ ）a b c d【答案】a【解析】考点：数列求和。方法四 错位相减法解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、

6、等比数列的通项公式； 第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； 第四步 求和：根据差式的特征准确求和.例4. 已知数列，满足，,， . （）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （）令求数列的前项和.（）由（）知,， 两式相减得：，故. 【评注】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号【变式演练5】已知数列的前项和为，且（）.() 求数列的通项公式

7、； () 令，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）根据结合已知条件等式即可求得数列的通项公式；（）首先根据()求得的通项公式，然后利用错位相减法求解即可.试题解析：()由，当时，当，则，当时，满足上式，所以考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.【变式演练6】已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为，数列满足，求数

8、列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可知，利用，成等比数列，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析：（1），即，化简得或.当时，得或，即；当时，由，得，即有.（2）由题意可知，-得：，.考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.方法五 倒序相加法例5.设( )a4 b 5 c 6 d 10【答案】b【解析】考点：倒序相加法求和.【变式演练7】已知函数（1）求的值；（2）已知数列,求证数列是等差数列；（3）已知，求数列的前n项和.【答案】(1) s=. (2)见

9、解析；（3）= 。 (2)由两边同减去1,得. 所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列. 分（3）因为.因为，所以 = （3）= （4）由（3）-（4）得=所以=。 【高考再现】1.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是，则（等差数列），（等比数列）；注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明；要熟练掌握数列中相关的通项公式，前项和公式等.2.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项

10、和，且，则_【答案】【考点定位】等差数列和递推关系【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题3.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，

11、裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.4.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知【考点定位】数列与不等式结合综合题.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到，再结合已知条件即可得证，第二小问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将转化为只与有关的表达式，再结合已知条件得到的取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答

12、题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注.5.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知. （i）求的通项公式； （ii）若数列满足，求的前n项和.【答案】（i）; （ii）.所以 当 时， 所以两式相减，得 所以经检验， 时也适合，综上可得： 【考点定位】1、数列前项和 与通项 的关系；2、特殊数列的求和问题.【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维

13、能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 6.【2015高考天津，理18】已知数列满足，且成等差数列.(i)求的值和的通项公式；(ii)设，求数列的前项和.【答案】(i) ; (ii) .(ii) 由(i)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得 所以数列的前项和为.【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并

14、用错位相减法基本思想求和.是中档题.7.【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因为，所以.于是，使成立的n的最小值为10.【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有与间的关系，都是考虑消去或（多数时候是消去，得与间的递推关系）.在本题中，得到与间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属

15、容易题，考生应立足得满分. 8.【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前项和 【答案】（）或；（）. -可得，故. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两

16、项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列9.【2015高考新课标1，理17】为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.【考点定位】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【名师点睛】已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.10.【2015高考广东，理21】数列满足， (1) 求

17、的值； (2) 求数列前项和； (3) 令，证明：数列的前项和满足【答案】（1）；（2）；（3）见解析（3）依题由知，【考点定位】前项和关系求项值及通项公式，等比数列前项和，不等式放缩【名师点睛】本题主要考查前项和关系求项值及通项公式，等比数列前项和，不等式放缩等，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（3）问难度较大，首先应能求得，并由得到，再用构造函数（）结合不等（）放缩方法或用数学归纳法证明【反馈练习】1【2016-2017年河南西平县高级中学高二十月月考数学试卷，文5】数列的前项和为，若，则等于（ ）a b c d【答案】b【解析】考点：数列的

18、求和.2.【2017届河北武邑中学高三文上期中数学试卷，文18】已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立（1）记，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（2），所以考点：等比数列裂项相消求和等有关知识的综合运用3. 【2017届海南省海南中学高三上月考三数学试卷，文18】设等差数列的前n项和为，已知=24，=0.（）求数列的前n项和；（）设，求数列前n项和的最大值.【答案】（i）；（ii）.【解析】试题分析：（i）根据已知条件求得，再求等差数列前项和；（ii）先求，并判断为等差数列，再求和及最值.试题解析：（i）依题意有，解之得，考点：等差数列的判定及前项

19、和.4. 【2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考模拟文数试卷，文19】设为各项不相等的等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由等差数列的基本量计算,可以得通项公式；(2)由裂项相消法求出前项和,代入,成为关于的函数形式,用基本不等式放缩求出最值.试题解析：解：（1）设的公差为，则由题意知解得（舍去）或，. （2）当且仅当，即时“=”成立，即当时，取得最大值.考点：1.等差数列；2.裂项相消求和；3.基本不等式.5. 【2016-2017学年河南郑州一中网校高二上期中联考卷，理21】已知等差数列

20、中，公差；数列中，为其前项和，满足（1）记，求数列的前项和；（2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足数列的前项积，若数列满足，且，求数列的最大值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为【解析】试题解析：（1），3分（2），时， ，符合上式，故数列是等比数列7分考点：数列的综合应用6. 【2016-2017学年辽宁鞍山一中高二上期中考试文数卷，文16】设数列的前项和为，数列为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用数列的与的关系，即可求解数列的通项公式，再利用等比数列的通项公式，求解数列的通项公式；（2）由（

21、1）知，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和试题解析：（1）时，当时，设公比为，；（2）由错位相减得（略解）考点：数列的通项公式；数列的求和7. 【2017届福建连城县三中高三理上期中数学试卷，理21】已知数列的前项和和通项满足（是常数且，）.（i）求数列的通项公式；（）当时，试证明； （）设函数，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(i)；(ii)证明见解析；(iii)存在，.【解析】当时， 数列是首项，公比为的等比数列， （）由（）知当时，即 （*）对都成立 是正整数，的值为1,2,3.使对都成立的正整数存在，其值为：1,2,3. 考点：数列的前项和

22、与通项的关系及裂项法放缩法等有关知识的综合运用.8. 【2016-2017学年河北冀州中学高二上期中考试数学卷，文17】已知是各项均为正数的等比数列，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知列出关于首项和公比的方程组，解出首项和公比的值即可求得的通项公式；（2）由（1）可知，分三组分别求和即可.试题解析：（1）设公比为，则，由已知有，化简得又，故，所以考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、“分组求和”的应用.9. 【2016-2017学年河北冀州中学高二理上期中考试数学卷，理19】已知是各项均为正数的等比数列，且，（1）求的通项

23、公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知列出关于首项和公比的方程组，解出首项和公比的值即可求得的通项公式；（2）由（1）可知，分三组分别求和即可.（2）由（1）可知，因此考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、 “分组求和”的应用.10. 【2016-2017学年广东湛江一中高二上大考一数学（理）试卷，理19】已知数列的前项和是,.（i）求数列的通项公式；（ii）若数列满足，求数列的前项和；（iii）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围,使时，都有.【答案】（i）；（ii）；（iii）且【解析】试题分析：（i）由当=1时，得到，当时，即可求解数

24、列的通项公式；（ii）由（i）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和；（iii）由（i）得，根据，整理得，即分为奇数和偶数，分类讨论，即可确定实数的取值范围试题解析：（i）当=1时， 当时，是首项为1，公比为2的等比数列 。（iii） 即即即即 即 当为偶数时 当为奇数时 即 又 且 考点：数列求和；数列与不等式的综合问题11. 【2016-2017学年辽宁大连第二十高级中学高二10月月考数学试卷，理16】已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等比数列，公比为且，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（2）由（1）可知，又，所以.又数列是公比为正数等比数列，所以，又，所以所以数列的前项和考点：数列求通项公式及等比数列求和12. 【2016-2017年河南西平县高级中学高二文十月月考数学试卷，文16】设数列的前项和为，若对于任意的正整数都有.（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）求数列的前项和.【答