浮点数的表示和基本运算

1、浮点数的表示和基本运算1浮点数的表示通常，我们可以用下面的格式来表示浮点数SP其中S是符号位，P是阶码，M是尾数对于IBM-PC而言，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。两者的S, P, M所占的位数以及表示方法由下表可知SPM表示公式偏移量1823(-1)S*2 (P-127)*1.M12711152(-1)S*2 (P-1023) *1.M1023以单精度浮点数为例，可以得到其二进制的表示格式如下S (第31位)P (30位到23位)W（22位到0位）其中S是符号位，只有0和1,分别表示正负；P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一

2、样。对于正数而言，原码，反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1） 为了简单起见，本文都只讨论单精度浮点数，双精度浮点数也是用一样的方式存储 和表示的。2浮点数的表示约定单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE754标准定义的，其中有一些特殊约定。(1) 当 P = 0, M 二 0 时，表示 0。(2) 当P二255, M二0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无 穷大。(3) 当 F 二 255, M !二 0 时，表示 NaN (Not a Number,不是一个数)。当我们使用Net Framework的时候，我们通常会用到下面三个常量Cons

3、ole. WriteLine(float. MaxValue); / 3. 402823E+38Console. WriteLine(float. MinValue);/-3. 402823E+38Console. WriteLine(float. Epsilon);/1.401298E-45如果我们把它们转换成双精度类型，它们的值如下Console. WriteLine(Convert ToDouble(float MaxValue); /3. 40282346638529E+38Console. WriteLine(Convert ToDouble(float MinValue);/- 3

4、.40282346638529E+38/1.401Console. WriteLine(Convert. ToDouble(float. Epsilon);29846432482E-45那么这些值是如何求出来的呢？根据上面的约定，我们可以知道阶码P的最大值是11111110 (这个值是254,因为2亦用于特殊的约定，那么对于可以精确表示的数来说，254就是最大的阶码T)。尾数的最大值是uiiio那么这个最大值就是：0 11111110 lllllo也就是 2(254-127)* (1. 11111)2= 2127* (1+1-2-23) = 3. 40282346638529E+38从上面的双

5、精度表示可以看出，两者是一致的。最小的数自然就是-3.40282346638329E+38。对于最接近于0的数，根据IEEE754的约定，为了扩大对0值附近数据的表示能 力，取阶码P二-126,尾数M二(0. 00001)2 o此时该数的二进制表示为：0 00000000 00001也就是 2-126* 2-23= 2-149 = 1. 40129846432482E-45。这个数字和上面的 Epsilon是一致的。如果我们要精确表示最接近于0的数字，它应该是0 00000001 00000也就是：2-126* (1+0)=1.229E-38。3浮点数的精度问题 浮点数以有限的32bit长度来

6、反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近 似值。同时，对于浮点数的运算还同时伴有误差扩散现象。特定精度下看似相等的 两个浮点数可能并不相等，因为它们的最小有效位数不同。山于浮点数可能无法精确近似于十进制数，如果使用十进制数，则使用浮点数的数 学或比较运算可能不会产生相同的结果。如果涉及浮点数，值可能不往返。值的往返是指，某个运算将原始浮点数转换为另 一种格式，而反向运算乂将转换后的格式转换回浮点数，且最终浮点数与原始浮点 数相等。由于一个或多个最低有效位可能在转换中丢失或更改，往返可能会失败。4将浮点数表示为二进制4.1无小数的浮点数转换成二进制表示首先，我们用一个不带小数的浮点数来说明

7、如何将一个浮点数转换成二进制表示。 假设要转换的数据是45678. Ofo在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部分转化为二进制表示：0.0,这时要加上一位默认的1 (这是因为按照浮点数规格化的要求，尾数必须化 成1.M的格式)，那么可以表示成：10.0。然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，也就是1.0, 共移动了 16 位，我们知道，左移位表示乘法，右移位表示除法。所以原数就等于这样：1.0 * (216 )。现在尾数和指数都出来了。因为最高位的1是根据标准加上去的，只是为了满足规格化的要求，这时候需要把这个1去掉。尾数的二进制就变成了： 0。最后在尾数的后面补0, 直到补够23

8、位，就是：00000o再回来看指数，根据前面的定义，P-127二16,那么P二143,表示成二进制就是： lOOOllllo45678. Of这个数是正的，所以符号位是0,那么我们按照前面讲的格式把它拼起 来，就是：0 10001111 00000c这就是45678. Of这个数的二进制表示，如果我们要得到16进制的表示，非常简 单，我们只需要把这个二进制串4个一组，转换成16进制数就可以了。但是要注 意的是x86架构的CPU都是Little Endian的（也就是低位字节在前，高位字节在 后），所以在实际内存中该数字是按上面二进制串的倒序存储的。要知道CPU是不 是little endian

9、的也很容易。BitConverter. IsLittleEndian;4.2含小数的浮点数表示为二进制对于含小数的浮点数，会有精度的问题，下面举例说明。假设要转换的小数为123. 456f o对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。对于整数部分的处理不再赘 述，直接化成二进制为：100100011c小数部份的处理比较麻烦一些，我们知道， 使用二进制表示只有0和1,那么对于小数就只能用下面的方式来表示：al*2l+a2*22+a3*2-3+an*2-n其中di等数可以是0或者1,从理论上将，使用这种表示方法可以表示一个有限 的小数。但是尾数只能有23位，那么就必然会带来精度的问题。在很多

10、情况下，我们只能近似地表示小数。来看0.456这个十进制纯小数，该如何 表示成二进制呢？ 一般说来，我们可以通过乘以2的方法来表示。首先，把这个数字乘以2,小于1,所以第一位为0,然后再乘以2,大于1,所以 第二位为1,将这个数字减去1,再乘以2,这样循环下去，直到这个数字等于0 为止。在很多情况下，我们得到的二进制数字都大于23位，多于23位的就要舍去。舍入 原则是0舍1入。通过这样的办法，我们可以得到二进制表示：1111011. Olo现在开始向左移小数点，一共移了 6位，这时候尾数为：1.11001,阶码为6加上 127得131,二进制表示为：10000101,那么总的二进制表示为：0

11、10000101 11001表示成十六进制是：42 F6 E9 79由于CPU是Little Endian的，所以在内存中表示为：79 E9 F6 42。4. 3将纯小数表示成二进制对于纯小数转化为二进制来说，必须先进行规格化。例如0.0456,我们需要把它 规格化，变为1. xxxx * (2n )的形式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公 式：n = int( 1 + log 2X )0. 0456我们可以表示为1. 4592乘以以2为底的-5次方的幕，即1. 4592 * （ 2-5 ）。转化为这样形式后，再按照上面处理小数的方法处理，得到二进制表示1. 10001去掉第一个1,得到尾数

12、10001阶码为：-5 + 127 = 122,二进制表示为0 01111010 10001最后转换成十六进制11 C7 3A 3D5浮点数的数学运算5. 1浮点数的加减法设两个浮点数X二Mx*2Ex , Y=My*2Ey实现XY要用如下5步完成：（1）对阶操作：小阶向大阶看齐（2）进行尾数加减运算（3）规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位（就是使用00表示正数，11表示负数，01表示上溢出，10表示下溢出）的补码 尾数来说，就必须是001X X X-X X 或 11OX X X-X X 的形式若不符合上述形式要进行左规或右规处理。（4）舍入操作：在执行对阶或右规

13、操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾 数数值进行舍入，以确保精度。（5）判结果的正确性：即检查阶码是否溢出若阶码下溢（移码表示是00-0）,要置结果为机器0；若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。现在用一个具体的例子来说明上面的5个步骤例题：假定X=0 .0110011*211, Y=0.1101101*2-10 （此处的数均为二进制）,计算 X+Y；首先，我们要把这两个数变成2进制表示，对于浮点数来说，阶码通常用移码表 示，而尾数通常用补码表示。要注意的是T0的移码是00110X 浮：01 010 *Y浮：00 110 1101101符号位阶码尾数（1）求阶差：| AE | =11010-0110 二0100（2）对阶：Y的阶码小，Y的尾数右移4位Y浮变为0 1 010 * 1101暂时保存（3）尾数相加，采用双符号位的补码运算00 1100110 +00 000011000 1101100（4）规格化：满足规格化要求（5）舍入处理，采用0舍1入法处理故最终运算结果的浮点数格式为：0 1 010 *即 X+Y二+0. 1101101*2105. 2浮点数的乘除法（1）阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）即Ex+Ey移二Ex移 + Ey补Ex-Ey移二Ex移 +-Ey补（2）浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理例题:X=0 .0110