2016年长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解

1、2016年中学生理化报课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分）72 m8则P1.已知Pm 1 ,Qm（m为任意实数），、Q的大小关系为（)1515A、Pv QB、P QC、P = QD、不能确定解：Q28722133门P mmm1m m 1m 0,1515244Q P,即卩 P V Q,故选 A.72.已知X 123axa?x3a3X7ra?x，则 aa3a5a7 =().A、16B、32C、64D、128解：令x = 1,得a0a1a2a3a4a5a6a70令 x= 1,得 a0a1a2a3a4a5a6 a7

2、128 -一得：2 312a32 a52 a7128 ,a1a3a5a764，故选C.2 120173.已知有理数 a、b、c满足关系式a 4-a b c40,则5a 3b3c的末位数字为（）A、2B、4C、6D、8解：易知a= 4,b c= 4，从而5a 3b3c 5a 3 bc=54 34 = 8而82017的个位数字与 81的个位数字相同，故5a 3b 3c2017末位数字为8,所以选D.4. 平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作 出的直线的条数为（）.A、9B、12C、13D、15解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5 +

3、 4+ 3 + 2+ 1= 15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15-3+ 1 = 12 （条），故选C.5. 如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（）.A、内心B、外心C、重心D、垂心解：如图，设直线平分的周长和面积，D, E分别在边AB和上，作/ A的平分线交于P,记P到AB ,的距离为r , P到BC的距离为r1，于是依题意有rrEBCNCAOPrL1由此容易解得r r1，即P到厶ABC三边的距离相等，所以 P是厶ABC 的内心.故选A.6. 如图，以 Rt ABC的斜边BC为一边在厶ABC的同侧作正方形 BCEF , 设正方形的

4、中心为 O,连接AO.如果AB = 4, AO = 6.2，那么AC的长 为（_）.A、4、3B、8、2C、12D、16解：如图，在 CA上截取CM = AB = 4,连接OM，设OB与AC的交点 N./ ABO = 90/ ANB，/ MCO = 90/ CNO又/ ANB =/ CNO / ABO = / MCO，又 AB = MC , BO = CO,故厶 ABO MCO , AO = MO , / AOB =/ MOC , / BOM +/ MOC =/ BOC = 90, / BOM +/AOB = 90，即/AOM = 90，故 AOM 是腰长为 6、三 的等腰直角三角形，由勾股定

5、理可得其斜边AM = 12, AC = AM + MC = 12+ 4 = 16,故选 D.7. D是厶ABC的BC边延长线上一点，且 CD = BC , E为AC的中点，DE的延长线交 AB 于点F,贝U DE : EF等于（）.A、2 : 1B、2 : 3C、3 : 1D、3 : 2解：如图，过点 C作CG / AB交ED于点G.由E是AC中点易证厶AEF CEG，从而EF = EG. CG / AB，且C为BD的中点， G为FD的中点，GD = GF = 2EF，从而 DE = GD + EG= 2EF+ EF= 3EF, DE : EF= 3 : 1.故选 C.8如图，0为坐标原点，四

6、边形 OABC为矩形，A （10, 0）, C （0, 4）, 点D是0A的中点，点P在BC上运动，当厶ODP是腰长为5的等腰三 角形时，点P的坐标不可能是（）AC第6题第7题解：易知0A =10, 0C =4,点P的纵 坐标为4.因为D为 0A的中点， 故 0D = 5./ 0DP 是 腰长为5的A、（8, 4）B、（ 7, 4）C、（ 3, 4）D、（2, 4）等腰三角形， 0D是等腰 0DP的一条腰. 当0P= 0D = 5时，如图1，由于0C = 4，因此由勾股定理得 CP = 3, 此时点P的坐标为（3, 4）; 当PD= 0D = 5时，如图2，过点D作DE丄BC于E,贝U DE

7、= 0C= 4，从而由勾股定理 得PE= 3，又易知 CE= 0D = 5，所以CP = 5- 3= 2，此时点P的坐标为（2, 4）,显然，点P关于点E的对称点P1也符合题意，其坐标为（8, 4）. 综上只有点（7, 4）不可能，故选 B.9定义a b a,b a,b，其中 a,b表示a, b的最大公约数，a,b表示a, b的最小公倍数，则 2 46 8的值为（）.A、383B、384C、385D、400解：由“ ”的定义可得2 4 2 4 8, 6 8 2 24 48, 2 46 8 = 8 48 = 8 48 = 384,故选 B.10.甲、乙、丙三个学生分别在 A、B、C三所大学学习数

8、学、物理、化学中的一个专业，若甲不在A校学习；乙不在 B校学习；在B校学习的学数学；在 A校学习的不学化 学；乙不学物理则（）A、甲在B校学习，丙在 A校学习B、甲在B校学习，丙在 C校学习C、甲在C校学习，丙在 B校学习D、甲在C校学习，丙在 A校学习解：在B校学习的学数学，在 A校学习的不学化学，在A校学习的必然学物理，从而在C校学习的必然学化学，又乙不学物理，且乙不在 B校学习，乙必然在 C校学习，又甲不在 A校学习， 甲在B校学习，丙在A校学习，故选A. 二、填空题（本大题共 8小题，每小题4 分,1 111.已知a b c 0，则代数式a -b c共32分）1111b 11c_的值为

9、c aab解：答案为3.abc0 ,abc, b ca, cab,111111acbb a cc b aab -c bccaabbccaab2acbb a cc b aabc2 2 2 ,22.2a c a b b a b c c b c aabca2c c2aa2b b2ab2c c2babcac a c ab a b bc b cabcac b ab c bc aabc3abcabc=3.12.已知X3x则X3的值为解：答案为18.显然XH 0,把方程两边同时除以X得：X1，从而X1-3.X9，故x31- X TX1x Xx21 4X3 ( 7 1 )= 18.3x4y5m 1卄口13.已

10、知关于x,y的方程组的解满足7x8y4m 3解：答案为1.3x4y5m1也14m 1解万程组得X代入3x7x8y4m3133 14m123m 164y 5m 13x5m11313/ x 4y 214m 123m162，解得m=1.131314.如图，D为等边 ABC内一点，DBDA , BE AB ,4y 2，贝U m =4y5m 1，得/ DBE =Z DBC ,则/ BED =B解：答案为30 .由 AD = BD, AC = BC, CD = CD ,得厶 ACD BCD ,所以/ ACD =Z BCD. 因为/ ACD + Z BCD =Z ACB = 60,所以/ ACD =Z BC

11、D = 30 ./ BE = AB，而 AB = BC, BE = BC，又/ DBE =Z DBC , BD = BD , DBE DBC，从而/ BED = Z BCD = 30 .连 AF、CE,设 AF、CFB15. 如图，矩形ABCD的面积为24,点E、F分别是边AB、BC的中点,CE交于点G,则四边形BEGF的面积为 .连接BG.1111SABF = AB-BF = AB-BC =AB-BC =24= 6,2244解：答案为4.同理 SBCE = 6. E、F分别为AB、BC的中点， SAGE = SBGE , SCGF= SBGF. 设 SAGE = SaBGE = X, SCG

12、F = SBGF = y,则有下面的方程组：2x y 6x 2y 62x y x 2y 12，故 x y 4，即 S 四边形 begf = x y 4 .16. 如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A (4, 3),一次函数的图象与 y轴交于点B，且OA = OB ,则这两条直线与 x轴围成的厶AOC的面积 为 解：答案为 .4过点A作AD丄x轴于点D，由A (4, 3)得AD = 3, OD = 4,故 在Rt AOD中由勾股定理得 0A = 5,从而OB = OA = 5,所以点 B的坐标为(0， 5).设一次函数的解析式为 y kx b，将A、B 两点坐标分

13、别代入，得：3 4k b5 b 解得k 2 , b= 5, 一次函数的解析式为 y 2x 5.令 y= 0,555可得x=，即C点坐标为(一，0),所以OC =.21221515SA AOC =OC AD =-3 =.222417. 有一个六位数，它的个位数字是6,如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位 数的4倍，则这个六位数是 .解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x,则这个六位数可以表示为10x + 6,而新的六位数则可以表示为 600000+ x，根据题意得：600000 + x= 4 (10x+ 6) 解得x= 15384故所求六位数为153846.

14、118. 已知函数y x 2 x x 2 ( 1 x 0.112x_ xx 2 x41x0 yx 21 18+ 0.02xxv 2000当节能灯费用低时有49 + 0.0045xv 18+ 0.02x x 2000当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于 2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低 .（3 ）分下列三种情况讨论： 如果选用两盏节能灯，则费用是：98 + 0.0045 3000= 111.5 （元）, 如果选用两盏白炽灯，则费用是：36 + 0.02 30000= 96 （元）， 如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于 200

15、0小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67+ 0.0045 2800 + 0.02 200= 83.6 （元）.83.6 v 96v 111.52800小时，白炽灯用 200小时，可使选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用 总费用最低.20. 如图， ABC是等腰直角三角形，/ C = 90,点M、N分别是边AC、BC的中点，点D在射线 BM上，且 BD = 2BM，点E在射线NA上，且 NE = 2NA.求证：BD丄DE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形BNCABCD是平行四边形. AD / BC, AD = B

16、C.1=/ 2，/ 4=Z 5.AC = BC , M、N分别是AC、BC的中点， - CN = CM，又/ C=/ C, BCM ACN./ 2=/ 3,从而/ 1 = / 3.取AD中点F,连接EF.则由AD = BC可得AF = NC./ NE = 2NA , AE = NA，又/ 4 =/ 5,/ AFE = Z NCA = 90，从而 EF是AD的垂直平分线 AE = DE，故/ 4 =Z 6.在 Rt ACN 中，/ 3 +Z 5 = 90,./ 3+/ 4= 90 . / 1=/ 3,/ 6=/ 4,/ 1+/ 6= 90，即/ BDE = 90 . BD 丄 DE.21.如图所

17、示，四边形 OABC是矩形，点A、C的坐标分别为段BC上的动点（与端点 B、C不重合），过点D作直线y（3，0），（ 0，1），点 D 是线1-x b交折线OAB于点E.2（1 ）记厶ODE的面积为S,（2）当点E在线段OA上时，若矩形试探究四边形 O1A1B1C1与矩形OABC部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B1x21x21 x2求S与b的函数关系式；OABC关于直线DE的重叠部分的面积是否发生变化,的对称图形为四边形 O1A1B1C1,若不变，求出重叠若直线若直线若直线的坐标是（3， 1）.b经过点b经过点b经过点2b 1.3点E在OA上时，1v b w丄，如图1,此时点E

18、的坐标为（2b, 0）2 S= OE CO =丄 2b 1 = b;2 2当点E在AB上时，? v b v 5，如图2,此时点E的坐标为（3, b22为（2b 2 , 1）. S= S 矩形 OABC SaOCD -Sa OAE -Sa BDE11315=32b 213b5 2bb22222=5b b2.2-），点D的坐标2综上，S3 b2O1A1与CB相交于点点N，则两个矩形重叠部分面积就是四边形（2）如图5b23,设b2C1B1与OA相交于 DNEM的面积.显然，四边形 DNEM是平行四边形. 又由对称知，/ MED =/ NED，而/ / MED =/ MDE , MD = ME,四边形DNEM是菱形，设其边长为 过点D作DH丄OA于H，由题意可知MDE =/ NED，a.D （ 2b 2，1 ），E （2b，0）.B1图3 DH = 1, HE = OE OH = 2b （ 2b 2）= 2. HN = HE NE = 2 a.在Rt DHN中，由勾股定理得：DH2+ HN2= DN2,5 解得a 5.455.S 菱形 DNEM = NE DH =1 =.445矩形OABC与四边形OiAiBiCi重叠部分面积不变