(完整版)培优辅导：《圆的证明与计算》专题

1、培优辅导：圆的证明与计算专 题(郭艳超2016/3/14 )一、考点分析：1. 圆中的重要定理：(1) 圆的定义：主要是用来证明四点共圆(2) 垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等(3) 三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等(4) 圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等 (5) 切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系.(6) 切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线(7) 切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等 2. 圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化这在圆中的证明

2、和计算中经常用到二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第 2问主要是与圆有关的计算：求线段长(或面 积)；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：(1) 若切点明确，则连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证 垂直；(2) 若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化

3、，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线例：2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式 复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已 知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：(1) 构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段 可求其它所有线段长)；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三 角函数.(2) 方程思想

4、：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方 程，解决问题。(3) 建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通 过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1 :如图1： AB是O O的直径，点E、C是OO上的两点，基本结论有:(1)在“ AC平分/ BAE； “ADLCD； “DC是O O的切线”三个论断中，知二推一。CEBCEABECB(2)如图2、3, DE等于弓形BCE的高；DCAE的弦心距 OF(或弓形DDDBCE的半弦 EF）。DEC(1) 如图，AB

5、是O O的直径，Bd AB AD/ OC交O O于D点，求证：CD为O O的切线；(2) 如图，以Rt ABC勺直角边 AB为直径作O Q交斜边AC于 D,点E为BC的中点，连结DE求证:DE是O O的切线.(3)如图，以等腰厶 ABC勺一腰为直径作O O,交底边BC于 D,交另一腰于 F,若DEL AC于 E (或E 为CF中点)，求证：DE是O O的切线.(3) 如图(4):若CKLAB于K则：1 CK=C； BK=DE CK= BE=DC AE+AB=BK=2AD2 ADE ACB AC=AD?AB(4) 在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGL CD 于E时(如图5),则:(4)如图

6、，AB是OO的直径，AE平分/ BAF交O O于点E, 点D,交AB的延长线于点过点E作直线EDL AF,交AF的延长线于BC求证：CD是O O的切线. DE=GB DC=CG AD+BG=AB AD?BG= DG 2 =dC4图形2:如图：Rt ABC中，/ AC昏90。点O是AC上一点， 有：BCEABOOC为半径作O O交AC于点E,基本结论OEBDGHFAOE(1)(2)在“ BO平分/ CBA ; “BO/ DE ; “ AB是O O的切线” ；“ BD=B”四个论断中，知一推三。 G是BCD的内心； Cg=GD；Bd CDE BO?DE=CO?cICE;2PRLO 0的半径0盯E,

7、PQ于 Ro(3)(4)在图(1 )中的线段 BC CE AE AD中，知二求四。AF 1 若 BC=CJE贝V： =一=tan / ADE BC AC AB=3： 4： 5 ;(在、AD 2BE CD交于点 H,贝U BH=2EH如图(3),中知一推二)设图形6:如图：直线(1)(2)(3)图形3：如图:Rt ABC中,/ AB(=90 ,以AB为直径作O O交AC于 D,基本结论有:CPQ切O 0于Q BQ交直线如右图：(1) DE切O O E是BC的中点;(2)若DE切O O则： D O B E四点共圆 CD- CA=4Bfe DEDE=BE=CE / CED2/ ACD BCBAR图形

8、特殊化：在(1)的条件下如图1 : DE/ AB ABC CDE是等腰直角三角形；如图2 :若DE的延长线交 AB的延长线于点 F,若AB=BF则:CADFPQ=PR ( PQF是等腰三角形)；在“ PRL OB、“ PQ切O O、“ PQ=PR 中，知二推一2PR- RE=BR RQ=BE 2R=aB图形7 :如图，ABC内接于O O, IABC的内心。基本结论有:(1) 如图 1， BD=CD=ID DI2= DE- DA1/ AIB=90 +上 / ACB2(2) 如图 2，若/ BAC60，则:BD+CE=BC. 21 一 ; Bi 1EF 3R 2图形于E、(1)图形4：如图，ABC

9、中, AB=AC以AB为直径作O O,交BC于点D,交AC于点F,CE FDf / I /8 :已知，AB是OO的直径，C是中点，Fo基本结论有：CD：丄 BG BE=EF=C;EGF=2DEBG2/:“oiB EDCDL AB于 D1 BG交 CD11lc/图2ZD d IEO IAC基本结论有：(1) DEL AC DE切 O Q(2) 在DEL AC或DE切O O下，有：DFC是等腰三角形; EF=ECD是 BF 勺中点。与 基本图形1 连AD产生母子三角形。图形5:以直角梯形ABCD勺直腰为直径的圆切斜腰于A的结论重合。O(反之，由 CD： 一 BG或 BE=EF可得：C是BG点 )2

10、1 OE=AF, OB/ AC; OD邑AGF2BE- BG=BD BA若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形；(2)(3)(4)四、范例讲解BC=CG=AGAO图1(1)如图 1: AD+B&CD、及“ CD是O O的切线”EOFJE图2/ COD/ AEB90 ;四个论断中，知一推三)CE,基本结论有：1. ABP中，/ ABP90。，以 AB为直径作O O交AP于C点，弧CF =CB，过C作AF的垂线, MC勺延长线交BP于D.(1)求证：CD为OO的切线；(2)连BF交AP于 E,若BE=6, EF=2，求旦AF的值。垂足为MOD平分/ ADC(或 OC平分/ BCD;(注：在、AD

11、- BC= 一 ABR;4(2) 如图2,连AE CO则有：CO/ AE, COABZR与基本图形2重合)2.直角梯形ABCD,/ BCD90, AB=AD+BCAB为直径的圆交BC于 E,连OC BD交于F.(3) 如图3,若EFLAB于F,交AC于G贝卩：EGFG求证：CD为O O的切线若BE 3，求_BF的值AB 5DF6 如图，AB为O O的直径，C、D为OO上的两点，AD=DC，过D作直线BC的垂线交直线 AB于点E, F为 垂足.(1) 求证：EF为O O的切线；(2) 若 AC=6, BD=5,求 sinE 的值.3.如图，AB为直径，PB为切线，点 C在O O上, AC/ OP

12、(1)求证：PC为O O的切线。(2)过 D 点作 DEI AB E 为垂足，连 AD 交 BC于 G C(=3, DE=4,求 D2DB的值。7 .如图，AB为OO的直径，半径 OCL AB D为AB延长线上一点，过 D作O O的切线, 交AB于点F.(1)求证：DE=DF(2)连结 AE 若 Of=1, BF=3,求 tan A 的值.E为切点，连结CED4。如图，已知 ABC中，以边BC为直径的O O与边AB交于点D, 分线，且AFL EC(1) 求证：AC与O O相切；(2) 若 AC= 6, BC= 8，求 EC的长点E为BD的中点,ABC的角平8如图，Rt ABC中, Z C=90

13、, BD平分/ ABC以AB上一点O为圆心过B、D两点作O O, O O交AB于 点一点E, EEL AC于点F.(1) 求证：O O与ACt目切；(2) 若 EF=3, BC=4,求 tan A 的值.5.如图，RtA ABC以AB为直径作O O交AC于点D,，过(1) 求证：DF为OO的切线；-(2) 若Df=3,O O的半径为5,求tan BAC的值.D作AE的垂线，F为垂足.B9.如图，等腰 ABC中, AB=AC以AB为直径作O O交BC于点D, DEL AC于 E.CDBBONFHFOFCEABAOCCFABOoD求证：CF是OO的切线；设O O的半径为1,且AGCE ,.3，求A

14、M的长.14、如图，AB是半O O上的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D过点C作交AD的平行线交 OE的延 长线于点F.且 / ADO/ B.(1)求证：CF为O O的OO切线；(2 )求sin / BAD的值13、(1)(2)若AEEA AO12、如图，AB是O O的直径，BCL AB过点C作O O的切线CE点D是CE延长线上一点，连结AD且AD+BC=CD(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 设OE交AC于 F,若OF=3, EF=2，求线段BC的长.15、如图，ABC中, AB= AC,以AC为直径的O O与AB相交于点E,点F是BE的中点(1)求证：DF是OO的切线.(2)若AE= 14, BO 12,求BF的长E CE10.如图，BD为OO的直径，A为BC的中点，AD交BC于点E,F为BC延长线上一点，且FD=FE.(1) 求证：DF为OO的切线；(2) 若 AE=2, DE=4, BDF的面积为 8；3，求 tan EDF 的值.a11、直线(1)(2)EFCNnMA(1) 求证：DE为O