圆自转了几圈

1、圆自转了几圈当圆无滑动滚动，探讨圆自转圈数的问题，学生不易理解， 容易出差错，现对此加以探讨，供参考。一、问题初探例1如图1，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚， 而另一枚则沿着其边缘滚动一周。这时滚动的硬币滚动了几圈？（2009佛山中考）解：当圆无滑动滚动一个周长，则自转一周。所以只需求出 圆无滑动滚动的路程即可。而圆无滑动滚动的路程需看圆上某一 点滚动的路程。不妨看圆心，设两圆半径为01滚动的路程为2n （f+r） =4n，故001自转了 2周。归纳总结：在平面内，如果一个圆绕某个封闭圆形外部无滑 动地滚动一周，我们把圆心运动的路程称为公转弧长，那么圆的自然圈数：二公转弧长圆的周长

2、。这类问题有下例基本情形：（1）圆沿直线无滑动地滚动， 如图2,半径为r的圆沿着一条直线无滑动地滚动了a，则滚动的圈数为：”二0012n 丁二3.2n。（2）圆沿折线无滑动地滚动，如图3,半径为r的圆沿拐 角a的外部滚动，圆心 O运动的路线为001、弧0102 （以B为圆心r为半径，圆心角为180- a）,线段0203,则滚动的圈数为:h=010 2 180 -al80 n 一0 20 3 2n r :如图4,半径为 的圆沿拐角a的内部滚动，圆心0运动 的路线为：线段001,线段0102,其中01,刚好与角a两边相切，则滚动的圈数为： h=00 HO 1022 n 1(3)圆沿曲线无滑动地滚动

3、，如图 1, 0 1半径为 r ,002,半径为R 001沿002无滑动滚动一周，则圆心0 1运动的路程为2 n ( r-R)，则滚动圈数为:二2n (厂R)2n 丁 二 r+R 二、拓展联想1. 圆在正多边形边上外侧无滑动滚动如图4, 一个等边三角形的边长与沿着它的边按箭头方向滚 动的 C4)1的周长相等，当这个圆按箭头方向的某一个位置沿等边三角形三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置则这个圆共转了几圈？解：设等边三角形边长为 a,N=3a+在三顶点转过的弧长和圆的周长 =3a+aa=4o若圆在正多边形边上外侧无滑动滚动时，设正多边形边长为 a,圆的半径为r,则滚动圈数为：N=n a+n边顶点

4、转过的弧长和2 n 二+2 n f 2 n 1。2. 在不不规则凸多边形上外则无滑动滚动如图6,00沿凸n边形A 1A 2A3A的外侧无滑动一周回到原来的位置。 当oo与凸多边形的周长相等时，证明oo 自身转动了两 圈。当00的周长是a,凸n边形的周长是b时，请写出此时 00自身转动的圈数。(2005年浙江竞赛题)解：当不考虑00滚动经过几个顶点的情况，则00自身恰好转动一周。当oo在某一顶点转动时，不如放在 A 1 ：设 ZA 1二a , 00转过的角度为(180- a ),弧长为180- a 180 n。当转过n个顶点时，共转过的角度刚好是 n 多边形的外角和，而多边形的外角和是360 ，则在n个顶点共转过的弧长和，刚好是圆的周长，则00转过的圈数为N=a+aa=2 N=b+aa=ba=13. 在正多边形内侧无滑动滚动时： 在正三角形内侧无滑动滚动时，如图7正三角形的边长3，圆的半径为r, 00滑动的路程为：0 10 2+0 20 3+0 30 1,0 10 2=0 20 3=0 30 l=a-2X 3r,N=3 x (a -2) 3r2 n r(r 36a)。 在正边形内侧无滑动滚动时，如图8，