第5章552均方误差准则MSE和LMS算法

1、数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输1515.5.2均方误差准则（MSE）禾口 LMS 算法引言：均方误差准则同时考虑 ISI及噪声的影响，使其最小化。本节讨论问题：1. 均方误差准则；2. 无限长LMS均衡器（C（z）, Jmin）；3. 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）；4. LMS算法；5. 均衡器的操作；6. 递推LMS算法收敛特性的分析。一.均方误差准则j -：其中，接收数据样本为：VkkP fnIk. k，k为白噪声。；估计误差：:k=Ik-E，；k包括ISI及噪声定义：估计值I?的均方误差J = E环为均衡器的性能指数均方误差准则：使均方误差

2、性能指数J最小（Jmin）,此准则同时考虑使ISI 及噪声影响最小。获得Jmin的途径：调整E ，当J =Jm时，C=Cpt（最佳抽头系数）寻找Copt的方法：1）根据正交性原理（线性均方估计）：E ；kvkJH0,所有I。（注:与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本vk，这就包含了噪声）。即E皿0，所有I。、J2）求函数极值方法：令Or Copt =?EC k2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。这两种方法是等价的，证明如下。证明：求导置零方法与正交性原理等价。I?kkjlim VJcK_.- k假如均衡器为有限长，则I?二 VkT c其中-Tvk =黒

3、七vk敬斗III vklil vk*十vk* ，以及-_Tc= C_K C_K 斗Co IH CkCk I oJ(c)= E胡 2=E(Ik-I?k)(I：-I?)*T=E淑4-Vkc)故E 1 ；M !cc另一种方法：J (C)= E| 珠 |2=E(Ik I?)(I ： ?*)=E( I k -二 CiVk 丄)(I k為 CjVk_j)ij2 *= EL -瓦cElkV一瓦c；ElkV廿+瓦瓦 寓申廿iji j= Elk2-E cEIkvk-E gElkVk+瓦 E CjC：EVkM_Jiji j可见，J(c)是Cj的平方函数(二次型)。求导置零可得：-E l：Vk二 CjE VkjVz

4、 =oQj卄CJj I * *即， 二E ? 11 k 二 CjV k _j v k 丄=,-： | ：2jE ；*Vk_i =0,或E 讥2 =0，一二 i :Vk 二 Vk KVk K4 川 Vk IHVk_K 1结论：求导方法与正交性原理是等价的,满足正交条件，就可以获得最小MSE o、无限长LMS均衡器（C Z , Jmin性能）1.求C z :从正交原理出发,E 丄=0(10-2-27)即QOE(lk - CjVk)vk_l = 0j即oOCj E Vk-jV k-i =E IkVk 丄 |1山川(注：Vkj是收数据样本，其中的噪声已经白化。在（* ）式左边可以得到: * *-fmI

5、 k_m，k 丄-m=E 二二 fn 唧 k-j( k4-mk_j k_l.n mf f * E L I*/ Nn i mk -j -n k -k-m0 ljn m)正交条件nl 心式中利用了Vk 八 Wkk，E J =0。nj -k斗=6（k - j） = 6jk = 6k,j都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。因此我们有:注:EVk_jV2八 Vn mfn fn,m l -jN lj mLfn fn 1 -jN ljn X_jNlj0, elsefm fm l -j N0|j(A)X(z) =F z F (1/z)，F” z代表了 F z序列的共轭颠倒序列。或者说F zA代表

6、了 F z的MF（零时延）X(z)二 F z F (1/z )=(f。+ fl z + 川 + fL z)zL(+ fz+ 川 + 化4 + f,z)LLL LfiZ、=z电芒 fi fL_jzi =0j=0i=0 j =0L L= zLv、fifL_jZi=0 j =0L Lfin _ifn zi =0 nz0LLv fn I fn Z(注：令I二i - n)I =_Ln=0Lx = fn fn I，其支撑为：-L _ I _ Ln =2或者说，可以得到Xk =fn二 f_l fk J八fl fl kIIL八 fn fn k n=0L -k八 fn fn kn z0也可以写为L 4I -j)

7、L-fn fn I -jfn fn n出(* )式右边:E(lNk 丄)二 EIF fnlk 一5*八 fn EU44Eg kJn 遏cm式中，kkIT1,当 n = T0,当 n 1由此可得-L 0(B)将（A）、（ B）两式代入（*式:Q0cjX| No、 = f j -上式就是：C ： X N C = _ f取 Z 变换：C z F z F (z J) N0 =F (z )(10-2-31)则MMSE均衡器F (z JF(z)F (z)N。(10-2-32)等效MMSE均衡器:C zJ-F(z)pz ) +N X(z)+N(10-2-33)Cz2.求J min （最小均方误差）（1）时域

8、J = E闻=Ek（Ik- E） = E% I 订 - E阴 % jj利用正交原理第二项为零，所以Jmin =E（Ik -E）I； = Elk2-ElkC CjVj）j二c-7 CjEVk_jI；- Cj f_j （利用（B）式）jj令信息符号的平均功率为1，则2c = EL =1I =0Jmin 二1cjf=1-C|：f|Tx, Ch, JCs WFC(z)j uf(e)5jofi(z)= 勺几丿i=YJ二厶=1%(2)频域通过z变换及令z二ejT,将Jmin式的Jmin fn 关系变换成Jmin X ej T关系(10-2-35)全传输系统响应：b”Bz=H以z反变换(留数法)求:bn2j

9、丄 B(z 2n-1dzB(z才dz =X(z) d z X z N0 dz(10-2-36)令z=ej竹，且兰一,bo=-；x eX ej Tj T NoX ejTee肉(jT )dw(10-2-37)2二：Xej LNod，代入Jmin = 1 - g，得N。X ej T N0d将X(ej T)以信道折叠谱表示。因为Xk =x(kT)二 h(t) ： h (t)2h(t)轻ht)的傅里叶变换为H)，故2二 noo送 xk6(tkT)- t 丄 H I +k =FT 心(t -kT) =Xk、(t -kT)e.k-. k =qQ2叭27fdt = Z xke二 DTFT (Xk)所以X宀专n

10、Hf31T Cj,opt g 0Gj(k)= dJk)为第k次迭代时，J5曲线的梯度jdjk)jGk= =-EO,lm(x)O)定义复符号函数:i1j (Re( x ) 0,1m (x )v 0 )csgn x(11-1-15)-1 +j (Re(x)c0,lm(x)n0)T - j Re x : 0, Im x : 04均衡器结构五.均衡器的操作过程1.方框图2. 两种工作模式（状态）(1)训练模式(training mode):二 I k - I?(2)工作模式(run mode):k - I?k, P/10在完成训练之后，进入正常的工作模式情况下，P10，k三lk，即使有错判，由于厶很小

11、，由此引起的误调整影响很小。3. 步长厶选择与收敛特性:1大一加速初始调整，接近Jmin :2小一稳态误差小，J Jmin训练时：纠:九2 d工作时：丄2步长选择考虑：稳定且收敛快稳态MSE小六.递推LMS算法收敛特性的分析1、引言说明三个问题：要解决什么问题；分析从何入手；分析的方法。(1) 算法表示(A)?k 1 - Ck- kVk( B)理论上LMS算法:实用的递推算法：梯度向量有噪无偏估计值：Gk = - ；kVk(2) 问题收敛特性与厶的关系？如何选择厶，以确保收敛？因为G k二 E也：， 即Gk为真值G k的无偏估计，所以，厶对收敛特性的影响，对(A)( B)两式是相同的。为数学分

12、析方便，我们 只研究(A)式的收敛特性。(3) 收敛特性的分析方法采用反馈系统稳定性的分析方法：建立以Cki输出的闭环系统模型，定性分析厶的影响;建立系统的差分方程，定量分析八的影响2、闭环系统模型定性分析收敛特性算法：Ck 1 - Ck -八G k(A)式中，G k = rC k- E = -( E - rC k)(B)r-接收信号自相关矩阵，由EVk_jVk_L确定。E互相关矩阵，由ElkVkd确定。分析：由(A )式可看出(1) C k的迭代过程可以看作：每次迭代增量(、；Ck二Gk)的累积过程由保持器实现；(2) 第k时刻计算的增量(k)应在第(k+1)时刻反映出来由延迟(Z 1)来实

13、现。图3结论：对闭环输出ck1收敛特性影响因素：厶，r3、系统的差分方程定量分析收敛特性由（A）式Ck i = Ck - Gk=5 -上（rCk- E）得Cki（lr）Ck r E（ A ） （11-1-20）为一阶差分方程组，即-;1Ck卅-1 :1-+ 一-I Il 1CCk+JJ 一11)因为r不是对角矩阵，故，（2K+1）个一阶差分方程是相互耦合的，必须联解 所以，用解联立方程组来定量分析收敛特性是困难的。解决方法：利用线性变换（酉变换）来解耦。r为Hermite （厄米特）矩阵，可用U（酉矩阵）表示为r= u au(U-1)(11-1-21)式中，u（酉矩阵）由r的特征向量确定。a（

14、对角矩阵）的对角元素为r的特征值，特征值 j为特征方程r-?a= 0 的根。 再利用U矩阵的性质：U U= I （U-2） 将（U-1）式代入（A J式，两边再乘U ,然后利用（U-2）式，可得C k i = (I - : A)Ck * 二 了(11-1-22)式中,Ck 1=U Ck 1C “ U C kE 二 U EC，止反映迭代产生的变化量（与k有关）+也E信道特性不随迭代而变化（与k无关）说明：（1）因为A为对角矩阵，所以一阶差分方程组是线性不相关的（即解耦）（2）收敛特性取决于其齐次方程组：Ck1 =（I - ：A）Ck（11-1-23）即表示成（2K+1）个一阶差分方程组:-C C

15、C_K,(k+)+1-亠 1h-C-K,(k)b+C CC0,(k+)+=1 -0IIbC0,(k)b+-CK：k 出)-1q13-bCK ,(k)-可见，（2K+1 ）个 J与（2K+1 ）个G对应对第j个抽头系数Cj的差分方程为Cj,(k 1)j 一心II , 0U Kk =0,1,12，其相应的闭环系统模型为:Cj,(k -1)Cj,(k)系统函数为：11 -(1- S Z令=0，得极点：z=1-j要使迭代过程收敛，应使极点在单位圆内，即1山打 1(11-1-24)即,一1 ：1 ：1又因为 j为r的(2K+1)个特征值；而r为自相关矩阵、Hermite型、正定2的，因此，0 (all j),则 0 ： j又因为各抽头用统一的步长:，为保证稳定收敛，以max确定厶因此，若步长厶满足：0 则递推算法是稳定的，收敛的。式中，max是的最大特征值，其上界为Kmaxj = trace r= (2 K 1)】j,j =(2K1)(x0 N。)j #】j,j -0,0 =(2K1)(x)N0), all j4、收敛特性的分析（1）收敛特性.:在满足稳定递推运算条件下（即0 ： .:一 ）,max收敛速度迪如、口*矛盾解决方法：分厲2（ 一般1/10 ）J稳、心2差|LMS算法的优点：简单，