第二章：初等模型习题解答

1、1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温， 能 量与从心脏到全身的血流量成正比， 而体温主要通过身体表面散失，建立一个动 物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g）心率（次/分）田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马45000038解:动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为，则P S每次心跳泵出的血流量,上可得r 1/3，或r与模型结果比较如下表:2/3。P正比于血流量Q，而Q qr，其中q是动物r为心率。合理地假设q与k 1

2、/3。由所给数据估计得k成正比，于是P r。综20.897 103，将实际数据动物实际心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠670715家鼠420375兔205166小狗120122大狗8567羊7057人7251马38272 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给 予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量， 请你设计按照测量的长度估计鱼的 重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼 身的最大周长）：身长cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量g756 482 1162 737 482 138

3、9 652 454胸围cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的 重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼， 但是一般而言世界上没有两种完全 相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设设鱼的重量为；语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w与身长|的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即w kiv3, ki为

4、 比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的 平方成正比，于是w k2d2l，k2为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：k1=0.0146， k2 =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量g76548211627374821389652454模型w k1v372746912267274831339675483模型w k2d2l73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂

5、钓者满意，上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的 体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一 些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算 原型摆的周期。本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析

6、各个物理量的量纲，由于阻力 f与 摆的速度成正比所以f 的量纲与 v 的量纲相同f=v=LT 1,t=T,m=M;g=LT2,l=L。设这些物理量之间的关系为：tmT2ga3 fa4，因此量纲表达为：t maila2ga3f a4把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：T M a1La2(LT 2)a3(LT 1)a4按照量纲齐次原则应有印 0a 283 a 402a3 a41kl12最后解得：t J（） g mg 2作物理模拟的比例模型时，设g和k不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：t,t,l,l ,m,m那么只要,r / r m /m就有 tt / r4 题目：小球做竖直上抛运动

7、：质量为 m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正 比，比例系数k。设初始位置为x=0，x轴竖直向上，则运动方程为：? ? ?mx+kx +mg=O,x（O）=O, x（0）=v ，方程的解可表为 x=x（t； v, g, m, k）.试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论 k很小时求近似解的可能性30建模与解题：1g12注意到k = m t ,（1）选取特征尺度tc=mk , Xc = v ,则方程化为? ? ?2 2 1x + x+1=0, x（ 0）=0， x （ 0）=（1）其中=kv/ mg ，解可表示为X=X（ t ；）。k很小时 很小，（1）无解。? ? ?t121_c=v g

8、，Xc=v g ，则 x +x+1=0,x（0）=0,x（0）=1同上，x表达式同上。但当k很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近 似解。5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器，计数器的读数并非均匀增长，而是先 快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型.、模型假设:1) 录象带的线速度是常数V ；2) 计数器的读数n与右轮盘转的圈数(记作 m )成正比m k* n , k为比例系 数；3) 录象带的厚度(加上缠绕时两圈间的空隙)是常数w，空右轮盘半径为r;4) 初始时刻t =0时n =0;三、建立

9、模型：当右轮盘转到第i圈时其半径为r w*i，周长为2 *(r+w*i)，m圈的总长度恰等于录象带转过的长度v*t，即：m2 *( r w* i) v* ti 1四、模型求解：m因为 m=k*n有：2 *( r w* i) v*ti 1推出：(r考虑wr推出：tw)*2 k* *n K2*n2* *w v*t2所以有 2k* * r * n k2 * n2*w*v*t2 22k* *r*n k * n * wvv我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下：k*nSlove 2*( r w* i) v*t, ti 1结果为：2 22k* n* r k* n* w k * n * w *

10、t*v6 问题：质量为m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为k，设初始位置为x 0,x轴竖直向上，则运动方程为mx kx mg 0, x(0)0, x(0) v方程的解可表示为x （t;v,g,m,k）。试选择两种特征尺度将问题无量纲 化，并讨论k很小时求近似解的可能性。问题分析： 所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的参数组 合Xc和tc，使新变量x ,tXc为无量纲量。Xc称为特征长度，tc称为特征时间。统称特征尺度或参 考尺度。问题求解：k mt 1可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1） 选取尺度tc mk1,Xc v2g 1，则方程化为2 _2 1a

11、x a x 1 o,x（o）o,x（o）a（ 1）其中a -kv，解可以表示为x x（t; a）。k很小时（1）无解。 mg（2） 选取尺度tc vg：Xc v2g 1，则方程化为x ax 10,x（0）0,x（0）1（ 2）其中a 空，解可以表示为X X（t;a）。 k很小时（2）有解。它是原问 mg题忽略阻力时的近似解。结果：原问题忽略阻力时运动方程为mx mg 0,x(0)0, x(0) v(3)解方程（3）可得:舟 gfvt,t 0,g/ t7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予 奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量， 请你设计按照测量的长度估计鱼的

12、重 量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身 的最大周长）：身长cm36.831.843.836.832.132.145.135.9重量g75648211627374821389652454胸围24.821.327.924.821.631.822.9cm21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。 所以在此，我们应该先不妨假设同一 种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假

13、设设鱼的重量为；语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w与身长I的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即w kiv3，ki为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比， 于是w k2d2I，k2为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：ki=0.0146，k2 =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量g76548211627374821389652454模型w k1v372746912267274831

14、339675483模型w k2d2I73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表 中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑 鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。 可见这种类比法对于解释一些问题，还 是非常重要的，我们得多多借鉴。8 题目.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘 积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。解：符号说明设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的 特征

15、尺寸L,重力fl,空气阻力f2.,雨滴下降速度为v.二 问题分析与模型建立：根据已知条件可知：3 2mx 如 l , S x l .可得：sx m/3。我们知道，雨滴在重力fl和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的, 从而可以得出：f 1=f 2 .2又 f ix m,f 2X Sv .由以上关系可以得出：1/6v x m .三 结果分析：本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。9 动物的体重与心率之间的关系生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量 与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主

16、要通过身体表面散失，建立一个动物体 重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验.动物体重(g)心率(次/分)田鼠25670家鼠200420兔子2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马45000038解2.建立模型动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积 S散失，记 动物体重为 W，贝U P*S*W2/3。又P正比于血流量Q=qr,其中q是动物每次心 跳泵出的血流量，r为心率，合理的假设q与w成正比，于是P*wr.综上可得r *w-1/3,或r=k.由所给数据估计得k=2089.7将实际数据与模型结果比较如下表：动物模型结果实际心律(

17、心/分)田鼠715670家鼠357420兔166205小狗122120大狗6785羊5770人5172马2738由于只是粗糙的作出假设，所以拟合的并不是很好10 题目：雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比建模描述雨速与雨滴质量的关系.假设：1.雨滴是圆滑规则球体。2. 雨滴下落过程中除了空气阻力和自身重力外不受其他外力3. 雨滴一旦产生，就一定会下落一直到地面4. 雨滴质量均匀，且重心位于球心5. 雨滴下落过程中重力加速度的改变可以忽略不计6. 雨滴由密度固定的单一物质组成参量、变量：雨滴半径r(cm),雨滴质量M(kg)，重力加速度g(m/sA2),空气阻力F(N),圆周

18、率n，雨滴密度卩(kg/mA3)雨滴的表面积 S ( 口八2), 比例系数k,雨滴速度v(m/s)分析：应用条件：雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正 比.根据力的平衡原理，建立等式，可求得题解。解答：第一步，求雨滴的体积。第二步，求雨滴的质量r3第三步，求雨滴的表面积.S 4 r2第四步，求空气阻力。由空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比2 2 2F kSv2 即 F k4 r2 v第五步，由力的平衡原理列等式。由于雨滴匀速下降，所以F Mg口卄 4P g22即 3 k4 r v即2r pg 3 k v第六步，得出结论。2 2k4 r v M g11 题目风车功率问题

19、、问题提出:速度为的风吹在面积为s的风车上，空气密度是,用量纲分析法确定风车获得的功率p与,s,的关系。二、问题分析：风的速度越大、风车的面积越大，则风车转动的越快 即：风车的功率p就越大。空气的密度是常数。三、模型假设:用量纲分析法对模型假设：令：f（p，,s,）=0（ 1）假设（1）式形如:y1y2sy3其中y1y4是待定常数，是无量纲常数，将p，,s,用量纲表达式可表示为：p=M 1L2T-3,=M0L1T-1， s=ML2T,=M1L-3T0o四、问题解决(M1L2T-3,) y1 (M 0L 1T-1)y2(M 0L2T0)y3(M 1L-3T0)y4=( M 0L0T0)由量纲齐次

20、原则给出:yi+ y4=02 yi+ y2+2 y3-3 y4=0-3 yi- y2=0于是可解得:F () =0,=P-1-3s , p=3s（其中是无量纲常数）。12题目生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用与维持 体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比， 而体温主要通过身体表 面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型， 并用下面的数据 加以检验。动物体重心率（次/分）田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马45000038一、模型假设：1. 设动物消耗的能量为P ,动物体重为W.2. 设体内热量

21、通过表面积S散失.3. 设动物的血流量为Q,心率为r,每次心跳泵出血流量为q,则Q qr .4. 设能量P与血流量Q成正比.5. 设每次心跳泵出血流量为q与动物体重W成正比,P Wr .、模型建立与求解：2P S W3P正比于血流量Q，贝y Q qr每次心跳泵出血流量为q与动物体重 W成正比,P Wr.1综上可得：r kWT输入MATLAB软件求解:fun cti on f=myfu n( W,Wdata);F=r-k*W;rdata二670,420,205,120,85,70,72,38Wdata二25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000X0=19;

22、10;0;x,resnorm=lsqcurvefit( myfun ， x0,rdata,Wdata)k=2089.7将实际数据和模型结果比较如下:动物心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠670715家鼠420357兔205166小狗120122大狗8567羊7057人7251马3827由于假设的粗糙，结果不够满意13 题目用一定宽度的布条缠绕直径为d的圆形管道要求。要求布条不重叠，问 布条什么时 是最短的，在这时的布条的夹角是a应该是多大的。 现在我们已经 知道管的长度是L,问需要多长的布条。如下图我们可以看到布条和管道是有一 顶的夹角的：在这里我们假设：他的长度d和布条的宽度w;其中他的夹

23、角是a:布条的宽为w夹角为a;模型假设由题目知道我们可以布条的张度，于他的夹角和管道的之间是有一定的关系 的，当它的缠绕的角度很好的时候就可以很节约布条。 假设他的长度我们是已经 知道的，为L,布条的宽度是w,夹角是a;由上面的我们知道布条的合适宽度是 w=pi*dCOSa。对应的长度是d。这 样就可以有布条的总的长度是：w*d;（三）。建立模型： 由题目知道以下的模型：MinS，tS=w*Lw=pi*dCOSa；a(0opi/2);（四）结果，以及结果的分析；将管道展开可以看到有这样的情况而且 w=pi*dCOSa,如果长度是已经知道 的d而且是一定的，w0, api/2 。w-pi*d。 a-0。如果管道的长度为 L。不思考来年感端的影响是，布条的长度应该就是为 pi*d*w/Sin a。对于其它 的