向量与三角形四心结合

1、三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结卜+k1)O 是 ABC 的重心二 OA OB 0C =0；1 “右 O 是二ABC 的重心，则 S BOC =S aoc =S aob S abc ,故 OA OB OC = 0,1 3 PG 二丄(PA PB PC) = G 为 ABC 的重心.32) O是 ABC 的垂心 u OA OB =OB OC =OC OA；若O是AABC(非直角三角形)的垂心，则 S bOC : S AOC : S AOB = tanA: tan B : tan C,故 tan A OA tan B

2、 OB tan C OC = 03) O是 ABC 的外心=OA =|OB - |OC (或O =QB2 =OC)若O是，ABC的外心,则 S boc ： S AOC : S aob 二 sin _ BOC : sin _ AOC : sin AOB 二 sin 2A : sin 2B ： sin 2C故 sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 二 04） O是内心ABC的充要条件是OA(abAB AC)=OB(ACBA BC)BC)BA=OC (CA 一 CB) =0CBCA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为,62,03，则刚才O是 ABC

3、内心的充要条件可以写成 OA 03）= OB g e2）= OC G 仓）=0O是ABC内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC =0若 O是 ABC 的内心，则 S boc : S aoc : S aob 二 a ： b： c故 aOA bOB cOC =0或 sin AOA sin BOB sin COC =0| AB | PC |BC | PA | CA | PB = 0 二 P ABC 的内心;向量，（_AB空）（.=0）所在直线过 ABC的内心（是.BAC的角平分线所在直线|AB| |AC|知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例1 : O是平面上的一定点，A,B,C是平面

4、上不共线的三个点，动点P满足OP =0A ，(AB AC、) I / ?ACAB八三0,亠侧P点的轨迹一定通过ABC的( )(C)重心(D)垂心(A)外心(B)内心B【解答:因为AB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为和e2， 又IABI_OP -OA =AP，则原式可化为 AP V(e - e2)，由菱形的基本性质知 AP平分.BAC，那么在=ABC 中， AP平分.BAC，则知选B.练习：在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(, 4),若点C在/ AOB的平分线上，且|0C|=2 , 则oc =显)=迥1)+心刍=(3日),|5 555【解答】：OA点C在/AO

5、B的平线上，则存在(0,=)使OC(丄|OA| |OB|而|Och，可得=严，.定十浮严).)=0C (-BC +-CA)|BA| |CB|BC | |CA|【例2:三个不共线的向量 Oa,Ob,OC 满足 Oaa+-ca)=Ob|AB| |CA|BA| |CB|=0 ,贝y 0点是 ABC的()A.垂心 B.重心c.内心 D.外心解:AB CAOA () = 0知OA垂直|AB| |CA|OB和OC分别是/ B和/ C的平分 线，故选C .表示与 ABC中/A的外角平分线共线的向量，由|AB| |CA|/ A的外角平分线，因而 0A是/ A的平分线，同理，【例3:已知O是厶ABC所在平面上的

6、一点，若 aOA bOB - cOC =0，贝U O点是 ABC的()A.外心 B.内心 C. 重心 D.垂心解：/ OB =OA AB ， OC =OA AC ，贝U (a b c)OA bAB cAC =0 ，得AO(_AB+_AC_).因为与 上C分别 a b c | AB | |AC|AB| |AC|AB| |AC|平分/ BAC.又启、TP共线，知为AB和AO平分/7C 方向上的单位向量，设BAC.同理可证 BO平分/ ABC CO平分/ ACB所以O点是 ABC的内心.是什么？没见过！想想，一个【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABlABl非零向量除以它的模不

7、就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识， 如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到 一起，解这道题一点问题也没有。AB AC )/ ，【针对性练习】：1. O是平面上的一定点，代B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = 0A(IAB lACl - 0：则P点的轨迹一定通过 ABC的( )(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2. 设 0 是.ABC 的内心，AB 二c,AC =b.若 AO =AB 2AC,则()A.:2 CB.223. 在 ABC中，AB二BC = 2, AC =3,设O是.=ABC的内心，若 AO

8、二pAB qAC，则卫的值 q为 .4. 已知:ABC 的内心为 O,且 AB =5,BC =2.、3,AC =3，则 AO BC -知识点二、将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”【例4】：(湖南)P是厶ABC所在平面上一点，若 PAPB =PBPC =PC PA，贝U P是厶ABC的(D )A.外心B.内心C.重心D.垂心【解答】：由 PAP B 二 PB 卩C得 PA PB-PB PC=0.即 PB(PA-PC)=0,即 PBCA=0则PB _CA,同理PA _ BC, PC _ AB,所以P为ABC的垂心.故选D.【例5:已知O是平面上的一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，

9、动点OP = OA ( AB AC|AB|cosB |AC|cosC), 0,=),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的(P满足)B.垂心=(AB | AB APBC(笙CA.重心C.外心D.内心解：由已知得APAC -AC BC )| AB | cosB | AC | cosC| AB |cosB|AB| |BC |cos(i _B) 1 AC且BC 1 COSC)二(_ |五 | - | BC |)= 0, | AC | cosC,即API BC,所以动点P的轨迹通过 ABC的垂心，选B.A【例6 .如图，AD、BE。卩是厶ABC的三条高， 求证：AD、BE CF相交于一点。证：设 BE CF

10、交于一点 H，AB = a, AC = b, AH = h,贝U BH = h-a , CH = h-b , BC = b-a BH _AC , CH _ AB.(h a) b= 0、=(h-a) b = (h-b) a h (b-a)=0(h -a) a = 0 AH _BC又点D在AH的延长线上， AD、BE、CF相交于一点【例7:已知H是厶ABC的垂心，且 AH=BC试求/ A的度数 解：设 ABC的外接圆半径为 R,点O是外心。：H是厶ABC的垂心 OH = OA OB OC AH = OH - OA = OB OC AH 2 =| AH |2 = (OB OC)2 = 2R2 (1

11、2cos2A) BC =OC - OB， BC2 =| BC |2 二(OC - OB)2 二 2R2(1 - 2coS2A) AH=BC 1+2cos2A =12cos2A cos2A = 0【例8】： ABC中，AB=1, BC=、6, CA= 2, ABC的外接圆的圆心为,求实数,的值解:，两边平方得AB=-.分别取ABAC的中点MN,连接OMON.则 OMAM 一启2=1AB_（ABAC）=（匚）AB-AC.2 2又OABC的外接圆的圆心，贝U OM AB = 0,i1即有-二乜同理有on ac = ,得丁24。.4 3解得，5 5【方法总结】：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零

12、，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在 直线垂直”等相关知识巧妙结合。【针对性练习】：1.在同一个平面上有ABC及一点0满足关系式：OA BC = OB CA = OC AB ，贝U 0 为ABC 的（）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心2. 已知点H为 ABC的垂心，且HAHB 3,则BHHC的值为AB ac3. 在斜三角形ABC 中, A*5，H是ABC的垂心，*二硫耐，则知识点三、将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”【例9】. P是厶ABC所在平面内任一点.6是厶ABC的重心u PG =-(PA + PB

13、 + PC).3【解答】：证明： PG 二PA AG 二PB BG 二PC CG 二 3PG 二(ag bg cg) (pa pb pc)/ 6是厶ABC的重心 GA GB GC =0= AG BG CG =0，即 3PG 二 PA PB PC由此可得PG =1(PA - PB - PC).(反之亦然(证略)3【例10】.若O为ABC内一点,OA OB OC=0 ，贝y O 是 : ABCA.内心B.外心C .垂心D.的(重心C【解答】：由OA OB 0 0得OB O - -OA，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则OB OC.OD由平行四边形性质知2OA=2OE，同理可证其它两边上的

14、这个性质，所以是重心，选D。【例11】：已知O是平面上的一定点，A、OP =OA (| AB|sin Br AC|AC|sinC)，B、C是平面上不共线的三个点，则动点P的轨迹一定通过厶ABC的()动点P满足A.重心B.D.内心垂心C.外心| AB|sinB | AC |sinC由正弦定理知| AB |sin B =| AC | sin C，解：由已知得AP二| AB|sinB(AB AC)P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过厶设BC的中点为D,则由平行四边形法则可知点 ABC的重心，故选A .【方法总结】：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心

15、性质：2重心是三角形中线的内分点，所分这比为 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与1平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。【针对性练习】：1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA (AB AC)， 0，则点P的轨迹一定通过 ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP =OA (ABAB sinBACAC sin C0：则P点的轨迹一定通过 ABC的(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心7 OBOCe则角B等于（3.已知O是ABC的重心，且满足

16、出OA sinB 3A.30B.60C.90D.120知识点四、将平面向量与三角形外心结合考查OA【例12】：若0为ABC内一点,，则0是:ABC的（B .外心C .垂心D .重心A.内心【解答】：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是UABC的外心 ，选Bo 【方法总结】：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。【例13】:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足+叽 一2| AB | cos B垂心A.重心 B.AC ),| AC |cosCC.外心 0, ：）,则动点P的轨迹一定通过厶 ABC的 （）D.内心OB +OC解

17、：设BC的中点为D,则2AB=OD，则由已知得DP = ()，| AB | cos B | AC | cosCT TT T| AB | J_gC | cos(二- B) | AC丄BC | cosC) | AB | cos B| AC | cosCAC）| AB |cosB | AC | cosC(-| BC | |BC |) = 0 . DP丄BC, P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过 ABC的外心.选C .T T T T T T【例14】：已知0是 ABC所在平面上的一点，若（OA OB） AB=（OB OC） BCBC =(0C OA) CA=0,贝U O点是 ABC的（）A.

18、夕卜心B.内心解：由已知得：C.重心D.垂心(OA OB) (OB -OA) =(0B OC) (OC -OB)=(OC OA) (OA-OC)= 02 2 2 2 2 2二 OB -OA OC -OB =OA -OC = 0= |OA|=|OB F|OC|.所以0点是 ABC的外心.选A .【针对性练习】1.设：ABC的外接圆的圆心为O,半径为 1,且 OA OB OC =0,则 OA 0B =(A. 一1B.0C.1D.12、如图，在圆0 中，若弦 AB= 3, 弦 AC = 5，贝UBC的值是（(A) - 8(B) - 1(C) 1(D) 83.已知0是平面上的一定点,A,B,C是平面上

19、不共线的三点，动点P满足0P=0C.(2ABAB cosBA.内心B.外心ac|c.垂心AC）,（0,二），则动点P的轨迹一定通过 ABC的（）cosCD.重心4. 已知=ABC的外接圆的半径为1，圆心为点0,且30A 40B 50C =0,则二ABC的面积为（）a.85B.75C.65D.-55.已知 0 为厶 ABC 的外心，且 AB =2, AC = 1, BAC =120 ,设 AB 二a,AC =b，若 A0 二 ra，pb 则6.已知点0为 ABC的外心,角A, B, C对边分别为a, b,c.(I )若 30A 40B50C -0 ,求 cos BOC 的值;(n )若 CO A

20、B 二 BO CA,求J 2 b c2a的值.（第6题）知识点五、将平面向量与三角形四心结合考查【例15】：已知点0是厶ABC内一点，oA 2OB 3OC = 0,贝U：（1） AOB与厶AOC的面积之比为; ABC与厶AOC的面积之比为; ABC与四边形ABOC的面积之比为.解： 将0B延长至E,使0E = 20B将0C延长至F,使OF = 30C则0A OT*6一* = 0,所1 1S AOC = 3 S.AOF = 9 S aef , S aob以0是AAEF的重心.11.=2 S AOE = 6 S AEF ,S AOB : S.AOC = 3： 2 Sbo6seof -Saef ,-

21、S.ABC 二 S AOB . S.AOC . S boc =(6 93S AEF,又 S AOC=9 Saef，-S.abc : S AOC = 3：11 1 SABOC = SOB 中 S也OC =(6 + 9)SEF嗚Saef,S ABCS.ABC ： SABOC =6：5 .【例16 】:已知向量0P1,0P2,0P3 满足条件OP1+OP2 +0P3 =0,|OP1 |=|OP2|=|OP3 |=1 ,求证： RF2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B组第6题）1【解答】证明：由已知OR +0P2 =- 0P3，两边平方得0P1 0P2 = -一，21同理 0P2 0

22、P3 =0P3 0P1 =-2-1 p1p2|=| P瓦1=1 P百i=，从而 prr是正三角形反之，若点0是正三角形P1P2F3的中心，则显然有OR +0P2+0P3=0且|0P1 |=|0P2|=|0P3|.即0是厶ABC所在平面内一点，OP1 + OP2 + 0P3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3 I=点0是正的中心.【例17】.在 ABC中,已知Q G H分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证：Q G H三点共线，且QG:GH=1:2【解答】：证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。 设A（0,0）、玫X1,0 ）、C（x2,y 2）,D E、F分别为A

23、B BCD（工0）、E（2 2x由题设可设Q（才，y3）、G（中33AC的中点，则有：专）、F育为H (x2,y4),AH =(x2,y4),QF =(专_节,专 _y3)BC =(X2 -x-,y2):AH _ BCX 2(x2 Xi)y4.AH *BC =X2(X2 -xj y?y4 =0y2x2 x1y2QF此号X2(X2 -xjy22y 2.QH =(x2今，yy3）/ 竺-X-3X2(X2-X-)y2)2y2X-X- y2/ 2X2 -X- y2 X2(X2 - Xi)丄）2x2 Xj3x2g -xjy6y2)(2八2y23x2(X2-x-) y2y22）= -QH3qH=3QG，故

24、Q G H三点共线，且 QG GH1: 2【方法总结】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借 用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一 起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。【例18】.若O H分别是 ABC勺外心和垂心.求证：OH =OA OB OC .【解答】 证明：若厶ABC勺垂心为H,外心为Q如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结AD CD AD_AB，CD_BC.又垂心为 H, AH _ BC，CH _ AB， AH/ CD CH/ AD四边形AHCD平行四边形，

25、 Ah 二DC 二DO OC，故 OH =OA Ah =OA Ob Oc .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：/1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；/ 2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到 外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 1 求证 OG OH3【解答】 证明：按重心定理 6是厶ABC的重心：=OG =1（0A OB OC） 3按垂心定理 OH =OA OB OC,由此可得 OG =OH .3【例20】.在:ABC中，O,G,H分别是：ABC

26、的外心、重心、垂心。A（1）求证：OH =Oa Ob Oc ；（2）求证：o,g,h三点共线；（3）若AH =OA，求.BAC的大小.解：连接BO并延长交. ABC外接圆于点D连接AD,CD,AH,CH显然AH _ BC , CD _ BC，所以AH / CD ,同理 CH / DA ,所以 HA = CD ,即 0 - Oh = Od - Oc = -0 - Oc ,所以OH = OA OB OC因为G是是. ABC的重心，所以OG - A -2 - AB AC 0A312丿1 12. 设M为 ABC内一点,且AM =-AB 1 AC,则- ABM与 ABC的面积之比为（）4 5 1 =AB

27、 AC OA= OA OB OC。3 3ah =oa，则|oH-oA卜OA，所以|ob+oC卜OA，两边平方并注意到 国=阿=岡，又1 丿兀亠2兀cos BOC=cos2 BAC =, BAC 或2 33【针对性练习】：A.1B.1C.41. 已知点O是 ABC内一点，且OA =，OB,若 ABC与 OBC的面积之比为3:1 ,则 - J =3. ：ABC的面积为S,：是三角形的内角，0是平面ABC内一点，且满足.2OA sinOB - cos OC=0,则下列判断正确的是()1A.S aoc的最小值为2 S1C.S AOC S A OBSB.S-aob的最小值为(-2 -1)SD.S boc

28、的最大值为(. 2 一 1)S【课后练习】1.已知A B、C是平面上不共线的三点,0是三角形ABC的重心，动点P满足0P=-(丄0A+-OB+2OC ),3 22则点P一定为三角形ABC的A.AB边中线的中点B.ABC.重心D.AB(B )边中线的三等分点(非重心)边的中点1. B取 AB边的中点 M则 OA OB=2OM ,由 OPnROA + OB+zOC)可得 30P = 30M 2MC , 3 22一 2 MP “Me，即点p为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点p不过重心，故选B.HPC PA局式式,则p点为A外心B 内心 C重心 D垂心3 .在三角形ABC中，动点P满足:2

29、2CA = CB -2AB CP，(B )A外心B 内心 C重心 D垂心4.:ABC 中，0为其外心，P为平面内一点， OA OB OC =0PA.重心B. 垂心C.外心 D.内心三角形的)，贝U P是ABC的( D2.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:则P点轨迹一定通过厶ABC的：5.已知非零向量AB与AC满足(|AB I |AC|AB AC AB+) BC=0 且、IIABI |AC|则厶ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.解析：非零向量与满足(|AB|AC) =0,即角等腰非等边三角形A的平分线垂直于D.等边三角形|AC|BC, AB=AC,又 COSA 二|AB|AC|6.已知：ABC三个顶点A、A.等腰三角形B 等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形7:已知0是厶ABC所在平面上的一点，若P0bPBcPC（其中P是厶ABC所在平面内任意一点一 2 . .B、C，若 AB 二 AB AC AB CB BC CA，则:ABC 为(则0点是 ABC的()A.外心 B.内心 C. 重心 D.垂心bPB cPC -cPA-bPA bAB cAC 解：由已知得P0